第三章--函数的概念与性质

1、精选优质文档-倾情为你奉上31函数的概念及其表示31.1函数的概念知识点一函数的有关概念(一)教材梳理填空1函数的概念函数的定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yf(x)，xA定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域函数值与x的值相对应的y值值域函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集微思考(1)在函数的概念中，如果函数yf(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？(2)如果函数yf(x)的定义域、值域

2、确定，那么对应关系确定吗？提示：(1)确定，一一对应(2)不确定，例如函数的定义域为A1,0,1，值域为B0,1，则对应关系f(x)x2或f(x)|x|均可2函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可3同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同如yx与y3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数(二)基本知能小试

3、1判断正误(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系()(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合()(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2若f(x)x2，则f(3)_.解析：f(3)9927.答案：73函数f(x)的定义域是_解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域是x|x<4答案：x|x<44给出下列三组函数，其中表示同一函数的是_(填序号)f(x)x，g(x)；f(x)2x1，g(t)2t1；f(x)x，g(x)

4、.解析：中f(x)x与g(x)的定义域不同，不是同一函数；中f(x)2x1，g(t)2t1虽然自变量不同，但定义域和对应关系相同，是同一函数；中f(x)x与g(x)定义域相同对应关系也相同，是同一函数答案：知识点二区间及相关概念(一)教材梳理填空1区间的概念设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b；(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；(3)满足不等式ax<b或a<xb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b)，(a，b这里的实数a与b都叫做相应区间的端点实数集R可以用区间表示为(，)，

5、“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”我们可以把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合，用区间分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b)2区间的几何表示区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.定义名称区间数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)定义名称符号数轴表示x|axb半开半闭区间(a，bx|xaa，)x|x>a(a，)x|xb(，bx|xb(，b)(二)基本知能小试1区间(0,1)等于()A0,1B(0,1)Cx|0x1 Dx|0x1答案：C2用区

6、间表示下列数集：(1)x|x1_；(2)x|2<x4_；(3)x|x>1，且x2_.答案：(1)1，)(2)(2,4(3)(1,2)(2，)3设A(6,1，B(1,9，则AB_.答案：(1,1题型一函数的概念 学透用活典例1(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2 D3(2)下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是()AMx|xZ，Ny|yZ，对应关系f：xy，其中yBMx|x>0，xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中y±2xCMx|xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中

7、yx2DMx|xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中y解析(1)中，因为在集合M中当1<x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是，故选B.(2)对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应y，不是x的函数；对于B，M中每个元素在N中都有两个不同元素与之对应，y不是x的函数；对于C，M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；对于D，M中x0在N中没有元素对应，y不是x的函数，故选C.答案(1)B(2)C1判断对应关系是否为函

8、数的2个条件(1)A，B必须是非空数集(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数对点练清1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()AAR，BR，x2y21BA1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy解析：选BA错误，x2y21可化为y±，显然对任意xA，y值不唯一B正

9、确，符合函数的定义C错误，2A，在B中找不到与之相对应的数D错误，1A，在B中找不到与之相对应的数2(多选)下列对应为函数的是()Axyx，xx|0x6，yy|0y3Bxy6x，xx|1x6，yy|0y5Ctst2t1Dxy±，xx|x0，yy|y0解析：选AC对于A，符合函数的定义，所以是函数；对于B，当x6时，y0不在集合y|0y5中，不符合函数的定义，所以不是函数；对于C，符合函数的定义，所以是函数；对于D，对于x0，都有两个元素y±与之对应，不符合函数的定义，所以不是函数故选A、C.题型二已知函数解析式求定义域 学透用活典例2求下列函数的定义域(1)f(x)3x；(

10、2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x).解(1)函数f(x)3x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x10，即x1.又x20，即x2，所以x2且x1.所以函数f(x)的定义域为x|x2且x1(3)要使函数f(x)有意义，自变量x的取值必须满足解得x5，且x±3，所以函数f(x)的定义域为x|x5且x±3(4)要使函数f(x)有意义，则即解不等式组得1x<1.因此函数f(x)的定义域为1,1)深化探究(1)若函数yf(x)的定义域是1,2，则函数f(x1)定义域是什么？已知f(x)的定义域如何求f(g(x)的定义域？提示：由1x12，得0x1，由此得函数f

11、(x1)定义域是0,1已知f(x)的定义域为A，求f(g(x)的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围(2)若函数yf(x1)的定义域是1,2，这里的“1,2”是指谁的取值范围？函数yf(x)的定义域是什么？已知f(g(x)的定义域如何求f(x)的定义域？提示：1,2是自变量x的取值范围函数yf(x)的定义域是x1的取值范围2,3已知f(g(x)的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x)中的x的取值范围为B，求g(x)的范围(值域)，即为f(x)的定义域方法技巧求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次

12、根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义对点练清1函数f(x)的定义域为_解析：要使有意义，需满足解得x0且x1，故函数f(x)的定义域为x|x0且x1答案：x|x0且x12函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，需满足解得2x3，且x.答案：题型三求函数的值、值域问题 学透用活典例3(1)f(x)2x22，g(x)，则f(2)_；g(f(2)_；g(a)g(0)(a2)_.(2)求下列函数的

13、值域：yx1，x1,2,3,4,5；yx22x3，x0,3)；y；y2x.解析(1)因为f(x)2x22，所以f(2)2×22210，又因为g(x)，所以g(f(2)g(10)，g(a)g(0)(a2)答案：10(2)观察法：因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6配方法：yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)分离常数法：y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)换元法：设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t22，由t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.方法技巧1函数求

14、值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法对点练清1变条件在本例(1)的条件下，若f(b)10，求b的值解：因为f(x)2x22，所以

15、f(b)2b2210，解得b±2.2变设问在本例(1)的条件下，判断点(3,20)是否在函数f(x)的图象上解：因为f(3)2×32220，所以点(3,20)在函数f(x)的图象上3求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.解：(1)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以0<2，则y(1,1所以所求函数的值域为(1,1题型四同一个函数的判断问题 探究发现在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备什么条件？提示：起决定作用的是函数的对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定

16、；当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数就相等 学透用活典例4下列各组函数中，表示同一函数的是()Ay·与y By|x|与yCyx与yDy与yx0解析A选项：y·的定义域为x|x2，y的定义域为x|x2或x2，两函数不是同一函数B选项：y|x|与y的定义域均为R，yx，可知两函数的对应关系不同，两函数不是同一函数C选项：yx与y的定义域均为R，y|x|，可知两函数的对应关系不同，两函数不是同一函数D选项：y与yx0的定义域均为x|x0，y1x0，可知两函数的对应关系相同，两函数是同一函数故选D.答案D判断两函数为同一个函数的方法判断两函数是否为同一个函数，关键是树立

17、定义域优先的原则(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同对点练清判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)f(x)，g(x)x5；(2)y·，y.解：(1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数(2)y·的定义域为x|1x1，y的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y·，两函数的对应关系也相同故y·与y是同一函数课堂思维激活一、综合性强调融会贯通1有一道题“若函数y的定义域为一切实数，求k的取值范围”，某位同学给出了如下解题过程：解：由y的定义域为一切实数，可知分母kx24kx30对一切实

18、数x恒成立，(4k)24k·3<0，解得0<k<，k的取值范围为.分析以上的解题过程是否正确，若不正确，请说明理由提示：错误的原因是没有对k的值进行分类讨论，当k0时，kx24kx33不是二次函数，但是能成立正解如下：由y的定义域为一切实数可得分母kx24kx30对xR恒成立当k0时，kx24kx330对xR恒成立当k0时，(4k)24k·3<0，解得0<k<.综上可知，当0k<时，函数的定义域为一切实数二、应用性强调学以致用2有一个半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆上，写出这个梯形的周长

19、y与腰长x之间的函数关系式，并求出其定义域析题建模利用等腰梯形的性质，求出上底与腰长x之间的关系即可表示出周长y与腰长x之间的函数关系式，再根据实际意义求出x的取值范围解：如图所示，腰长ADBCx，作DEAB于点E，连接BD.因为AB是O的直径，C，D在圆上，所以ADB90°，所以EDADBA，即AD2AE·AB，所以AE，所以CDAB2AE2R，所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y2R2x2x4R.因为四边形ABCD的各边长都为正数，所以AD0，CD0，即解得0xR，所以所求函数的定义域为x|0xR三、创新性强调创新意识和创新思维3若一系列函数的解析式相同，值域相同，但

20、其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y2x23，值域为1,5的“孪生函数”共有()A7个B8个C9个 D10个解析：选C由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数函数解析式为y2x23，值域为1,5，由2x231得，x±1；由2x235得，x±2.则定义域可以为1,2，1，2，1,2，1，2，1，1，2，1，1，2，1,2，2，1，2,2，1，1,2，2，因此“孪生函数”共有9个课下梯度训练层级(一)“四基”落实练1设f：xx2是集合A到集合B的函数，如果集合B1，那么集合A不可能是()A1 B1C1,1 D1,0解析：选D若集合A1,0，则0A，但

21、02B，故选D.2已知函数f(x)，则f()A. BCa D3a解析：选Df3a.3图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )A BC D解析：选B根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.4(多选)下列各组函数表示同一个函数的是()Ay与yx3(x3)By(x1)2与yx2Cy与y|x|Dyx21，xZ与yt21，tZ解析：选CD选项A、B中对应关系都不同，故都不是同一个函数C、D定义域、对应关系都相同，是同一个函数5若函数f(x)ax21，a为一个正数，且f(f(1)1，那么a的值是()A1 B0C1 D2解析：选Af(x)ax21，f(1)a1，f(f(1)f(a1)a·

22、;(a1)211.a(a1)20.又a为正数，a1.6函数y的定义域为_解析：由题意可知解得0x1.答案：0,17函数y2x4的值域为_(用区间表示)解析：令t，则x1t2(t0)，y2x422t24t2(t1)24.又t0，当t1时，ymax4.故原函数的值域是(，4答案：(，48已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数式为y102x，则此函数的定义域为_解析：ABC的底边长显然大于0，即y102x0，x5，又两边之和大于第三边，2x102x.x，此函数的定义域为.答案：9已知函数f(x)x.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(1)，f(2)的值；(3)当a1时，求f(a

23、1)的值解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x0，f(x)的定义域是(，0)(0，)(2)f(1)12，f(2)2.(3)当a1时，a10，f(a1)a1.10求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)(x1)21，x1,0,1,2,3；(2)f(x)；(3)f(x)x.解：(1)函数的定义域为1,0,1,2,3，则f(1)(1)1215，同理可得f(0)2，f(1)1，f(2)2，f(3)5，所以函数的值域为1,2,5(2)函数的定义域是x|x1，y5，所以函数的值域为y|y5(3)要使函数式有意义，需x10，即x1，故函数的定义域是x|x1设t，则xt21(t0)，于是f(t)t21t2

24、.又t0，故f(t).所以函数的值域是.层级(二)素养提升练1若函数f(x)的定义域为0,4，则函数g(x)的定义域为( )A(1,2) B(1,2C(1,4 D(1,4)解析：选B由题意得解得1x2，因此，函数yg(x)的定义域为(1,22已知函数f(x)的定义域是R，则实数a的取值范围是( )A. B(12,0C(12,0) D解析：选B由题意可知ax2ax30对于一切实数都成立，当a0时，不等式成立，即符合题意；当a0时，要想ax2ax30对于一切实数都成立，只需a24a×(3)0，解得12<a<0，综上所述，实数a的取值范围是12<a0，故选B.3设函数yf

25、(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)f(x)f(y)，已知f(8)3，则f()_.解析：因为f(x·y)f(x)f(y)，所以令xy，得f(2)f()f()，令xy2，得f(4)f(2)f(2)，令x2，y4，得f(8)f(2)f(4)，所以f(8)3f(2)6f()，又f(8)3，所以f().答案：4已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)若f(a)2，求a的值；(3)求证：ff(x)解：(1)要使函数f(x)有意义，只需1x20，解得x±1，所以函数的定义域为x|x±1(2)因为f(x)，且f(a)2，所以f(a)2，即a2，解得a&#

26、177;.(3)证明：由已知得f，f(x)，所以ff(x)5规定t为不超过t的最大整数，例如12.612，3.54，对任意实数x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，f2(x)f1(g(x)(1)分别求f1和f2的值；(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)1，f2(x)3.解：(1)x时，4x，f11，g.f2f1f133.(2)由题意知f1(x)4x1，则g(x)4x1，f2(x)f1(4x1)16x43.解得x.故满足题意的x的取值范围为.31.2函数的表示法第一课时函数的表示法(一)教材梳理填空解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系图

27、象法用图象表示两个变量之间的对应关系微思考函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？提示：要检验一个图形是否为函数的图象，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象(二)基本知能小试1判断正误(1)任何一个函数都可以用列表法表示()(2)任何一个函数都可以用解析法表示()(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线()答案：(1)×(2)×(3)×2函数f(x)3x1，x1,5的图象是( )A直线B射线

28、C线段 D离散的点解析：选Cf(x)3x1为一次函数，图象为一条直线，而x1,5，则此时图象为线段故选C.3y与x成反比，且当x2时，y1，则y关于x的函数关系式为()Ay ByCy Dy答案：C4已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0)_.解析：结合题图可得f(0)3，则f(f(0)f(3)0.答案：05已知下列表格表示的是函数wg(u)，则g(1)_，g(0)_，g(2)_.并判断2_(填“是”或“不是”)为这个函数值域中的元素u21012w34567答案：457不是题型一函数表示法 学透用活三种表示方法的优缺点典例1已知完成某项任务的

29、时间t与参加完成此项任务的人数x之间的函数关系式为tax.当x2时，t100；当x14时，t28，且参加此项任务的人数不能超过20人(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象解(1)由题设条件知，当x2时，t100，当x14时，t28，列出方程组解得所以tx.又因为x20，x为正整数，所以函数的定义域是x|0x20，xN*(2)x1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x12345678910t19710068.35344.238.73532.530.829.6x1112131

30、4151617181920t28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示函数的三种表示法的选择和应用的注意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”对点练清1某学生离家去

31、学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析：选D由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(xN*)的函数关系解：这个函数的定义域为x|1x<10，xN*解析法：S22.将上式整理得Sx2x，xx|1x<10，xN*列表法：一段铁丝长x/cm123456789两个正方形的面积之

32、和S/cm2图象法：题型二函数图象的作法及应用 学透用活典例2作出下列函数的图象并求出其值域(1)y2x1，x0,2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2解(1)当x0,2时，图象是直线y2x1的一部分，观察图象可知，其值域为1,5(2)当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分，观察图象可知其值域为(0,1(3)当2x2时，图象是抛物线yx22x的一部分由图可得函数的值域是1,8描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点

33、等要分清这些关键点是实心点还是空心圈提醒函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等 对点练清1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是_，值域是_解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为3,3，值域为2,2答案：3,32,22画出下列函数的图象：(1)yx1(x0)；(2)yx22x(x1或x1)解：(1)yx1(x0)表示一条射线，图象如图.(2)yx22x(x1)21(x1或x1)是抛物线yx22x去掉1x1之间的部分后剩余曲线如图.题型三函数解析式的求法 探究发现(1)什么是函数解析式？(2)一次函数、二次函数、反比例函数的解析式各是什么？提示：(1)用数学表

34、达式表示两个变量x、y之间的对应关系(2)一次函数的解析式是ykxb、二次函数解析式是yax2bxc(a0)、反比例函数的解析式是y(k0) 学透用活典例3求下列函数的解析式：(1)若f(1)x2，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)满足2f(x)f3x，求f(x)的解析式解(1)法一：换元法设t1，则x(t1)2(t1)f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21，f(x)x21(x1)法二：配凑法x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，f(x)x21(x1)(2)(待定系数法)

35、因为f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，所以有3a(x1)b2a(x1)b2x17，即ax(5ab)2x17，因此应有解得故f(x)的解析式是f(x)2x7.(3)(解方程组法)因为2f(x)f3x，将x用替换，得2ff(x)，由解得f(x)2x(x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)方法技巧求函数解析式的4种常用求法配凑法由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法换元法已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范

36、围解方程组法已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)对点练清1配凑法或换元法已知f(x1)x23x2，求f(x)解：法一(配凑法)：f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6，f(x)x25x6.法二(换元法)：令tx1，则xt1，f(t)(t1)23(t1)2t25t6，即f(x)x25x6.2待定系数法已知一次函数f(x)满足f(f(x)4x6，求f(x)解：设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x6.于是有解得或所以f(x)2x2或f(x)2x6.3解方程组法已

37、知f(x)2f(x)x22x，求f(x)解：f(x)2f(x)x22x，将x换成x，得f(x)2f(x)x22x.由得3f(x)x26x，f(x)x22x.课堂思维激活一、综合性强调融会贯通1已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)成立(1)求f(0)与f(1)的值；(2)求证：ff(x)；(3)若f(2)p，f(3)q(p，q均为常数)，求f(36)的值解：(1)令ab0，得f(0)f(0)f(0)，解得f(0)0；令a1，b0, 得f(0)f(1)f(0)，解得f(1)0.(2)证明：令a，bx，得f(1)ff(x)0，ff(x)(3)令ab2，得f(4)f(2)f

38、(2)2p，令ab3，得f(9)f(3)f(3)2q.令a4，b9，得f(36)f(4)f(9)2p2q.二、应用性强调学以致用2一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为_；当物体的质量为10 kg时，y_cm.解析：设所求函数解析式为ykx12(k0)，把x3，y13.5代入，得13.53k12，解得k，所以所求的函数解析式为yx12(x0)，当x10时，y17.答案：yx12(x0)17三、创新性强调创新意识和创新思维3好题共享选自苏教版新

39、教材已知一个函数的解析式为yx2，它的值域为1,4，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数解：由题意知1x24，则2x1或1x2.函数的定义域为2，11,2画出函数的图象可知有无数个这样的函数如：yx2，x2，1或yx2，x2，11,2课下梯度训练层级(一)“四基”落实练1某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：考试次数x12345成绩y(分)90102106105106则下列说法正确的是()A成绩y不是考试次数x的函数B成绩y是考试次数x的函数C考试次数x是成绩y的函数D成绩y不一定是考试次数x的函数解析：选B根据函数的概念可知B正确2若f(x)对于任意实数x恒

40、有3f(x)2f(x)5x1，则f(x)( )Ax1Bx1C2x1 D3x3解析：选A因为3f(x)2f(x)5x1，所以3f(x)2f(x)5x1，解得f(x)x1，选A.3如果f，则当x0且x1时，f(x)等于()A. BC. D1解析：选B令t，得x，所以f(t)，所以f(x).4若f(12x)(x0)，那么f等于()A1 B3C15 D30解析：选C令12xt，则x(t1)，f(t)1(t1)，即f(x)1(x1)，f16115.5已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为()Ayx(x>0) Byx(x>0)Cyx(x>0) Dyx(x>

41、0)解析：选C正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为，由勾股定理得(2y)222，y2，即yx(x>0)6已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)131x123g(x)321则f(g(1)的值为_；满足f(g(x)>g(f(x)的x的值是_解析：由表中对应值，知f(g(1)f(3)1.当x1时，f(g(1)1，g(f(1)g(1)3，不满足条件；当x2时，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)1，满足条件；当x3时，f(g(3)f(1)1，g(f(3)g(1)3，不满足条件；所以满足f(g(x)>g(f(x)的x的值是2.答案：127已知函数

42、f(1)x4，则f(x)的解析式为_解析：令t11，则x(t1)2，故f(t)(t1)24t22t3(t1)，所以f(x)x22x3(x1)答案：f(x)x22x3(x1)8已知函数f(x)axb(a0)，f(f(x)4x3，则f(2)_.解析：由题意，得f(f(x)f(axb)a·(axb)ba2x(abb)4x3，即解得f(x)2x1，因此f(2)3.答案：39.已知函数pf(m)的图象如图所示求：(1)函数pf(m)的定义域；(2)函数pf(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应解：(1)观察函数pf(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是3m0或1

43、m4，故定义域为3,01,4(2)由图知值域为2,2(3)由图知：p(0,2时，只有唯一的m值与之对应10已知函数f(x)(a，b为常数，且a0)满足f(2)1，且f(x)x有唯一解，求函数yf(x)的解析式和f(f(3)的值解：因为f(2)1，所以1，即2ab2，又因为f(x)x有唯一解，即x有唯一解，所以ax2(b1)x0有两个相等的实数根，所以(b1)20，即b1.代入得a.所以f(x).所以f(f(3)ff(6).层级(二)素养提升练1若函数f(x)满足关系式f(x)2f(1x)，则f(2)的值为()A BC D解析：选D因为f(x)2f(1x)，令x2，则有f(2)2f(1).令x1

44、，则有f(1)2f(2)3.由解得f(2).故选D.2已知函数f(x)对于任意的x0，恒有fx2，则f(x)的解析式为_，f(x)的定义域为_解析：fx222，令tx，t0，则f(t)t22，t0，即f(x)的解析式为f(x)x22，定义域为x|x0答案：f(x)x22x|x03设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为_解析：法一：设f(x)ax2bxc(a0)由f(x2)f(x2)得4ab0.又因为|x1x2|2，所以b24ac8a2.又由已知得c1.由解得a，b2，c1，所以f(x)x22x1.法二：因为yf(x

45、)的图象有对称轴x2，又|x1x2|2，所以yf(x)的图象与x轴的交点为(2，0)，(2，0)，故可设f(x)a(x2)(x2)因为f(0)1，所以a.所以f(x)(x2)22x22x1.答案：f(x)x22x14画出函数f(x)x22x3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1x21，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域解：因为函数f(x)x22x3的定义域为R，列表：x2101234y5034305描点，连线，得函数图象如图所示(1)根据图象，容易发现f(0)3，f(1)4，f(3)0，所以f(3)f(0)f(1)

46、(2)根据图象，容易发现当x1x21时，有f(x1)f(x2)(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(，45某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设ykxb(k0)由题意，得164kb,107kb，解得k2，b24，所以y2