高二数学下高二导数概念学案

1、第七讲 导数概念，运算及几何意义一课时目标1.通过实例分析了解函数平均变化率的意义.会求函数f(x)在x0到x0x之间的平均变化率2.了解函数的平均变化率及导数间的关系掌握函数在一点处导数的定义，以及函数f(x)在区间(a，b)内导函数的概念. 3.理解函数yf(x)在点(x0，y0)处的导数与函数yf(x)图象在点(x0，y0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义4.已知函数解析式，会求函数在点(x0，y0)处切线的斜率，能求过点(x0，y0)的切线的方程.5.掌握基本初等函数的导数公式.掌握导数的和、差、积、商的求导法则6.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.二重点难点1

2、.理解函数平均变化率的意义(难点)2.求函数f(x)在 x0到x0x之间的平均变化率(重点)3.理解函数在某点处的导数(难点) 4.根据导数的几何意义，求函数在点(x0，y0)处的切线的方程(重点)5.准确理解在某点处与过某点处的切线方程(易混点)6导数公式表的记忆.应用四则运算法则求导(重点)7.利用导数研究函数性质(难点)三知识梳理1函数从到的平均变化率:函数从到的平均变化率为若，则平均变化率可表示为.2 函数在处的导数(1)定义:=为函数在处的导数，记作或 |，即为函数在处的导数，记作或|，即 (2)几何意义:函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点 处的切线的 相应地，切线方程为 .3函

3、数f(x)的导函数:称函数 为的导函数，导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)_f(x)xn (nQ*)f(x)_f(x)sin xf(x)_ f(x)cos x f(x) f(x)ax f(x) f(x)exf(x)_f(x)logaxf(x)_f(x)ln xf(x)_5.导数运算法则:(1)f(x)±g(x) ；(2)f(x)·g(x) ；(3) (g(x)0)6复合函数的导数:复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的 关系为yx ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积四正本清源1深刻理解“函数在一点

4、处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系：(1)函数在点处的导数是一个常数；(2)函数y的导函数，是针对某一区间内任意点而言的如果函数y在区间()内每一点x都可导，是指对于区间()内的每一个确定的值都对应着一个确定的导数这样就在开区间()内构成了一个新函 数，就是函数的导函数在不产生 混淆的情况下，导函数也简称导数2曲线 “在点处的切线”“过点的切线”的区别与联系(1)曲线在点处的切线是指P为切点，切线斜率为kf (x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线过点的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条五典例分析题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数

5、在到之间的平均变化率思维启迪：紧扣定义进行计算探究提高： 求函数平均变化率的步骤：求函数值的增量计算平均变化率.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了变式训练1 过曲线yf (x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率，并求曲线在点P处切线的斜率题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)yx（）；(2)yxsin cos ；(3)y(1).思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导探究提高求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有的函

6、数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量变式训练2 求下列函数的导数：(1)y(2)2；(2)ycos ；(3)ylog2(ax3)例3求下列复合函数的导数：(1)y(2x3)5； (2)y； (3)ysin2； (4)yln(2x5)思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆探究提高由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内

7、，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程变式训练3 求下列函数的导数：(1)y(2x1)n (nN*)； (2)y5.题型三导数的几何意义例4 已知抛物线yax2bxc通过点P(1,1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值思维启迪：函数yax2bxc在点Q(2，1)处的导数值等于切线斜率为1，且点Q(2，1)、点P(1,1)都在抛物线上探究提高利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，1)在曲线上这一关键的隐含条件变式训练4 设函数f(x)

8、ax (a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.求yf(x)的解析式题型四 求切点坐标例5 在曲线yx2上哪一点处的切线，满足下列条件：(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135°的倾斜角分别求出该点的坐标 题后感悟解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法变式训练5 已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y

9、30? 特别提醒(1)若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的导数f(x0)不存在，就是切线与y轴平行f(x0)0，切线与x轴正向夹角为锐角，f(x0)0，切线与x轴正向夹角为钝角；f(x0)0，切线与x轴平行(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程 六 易错警示：分不清“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”的区别致误例6 已知曲线yx3. (1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程批阅笔记 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问

10、法(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率kf(x0)，写出其切线方程而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点(3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误(4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点思想方法感悟提高七 课后小结1在对导数的概念进行理解时，特别要注意f (x0)与(f (x0)是不一样的，f(x0)代表函数f (x)在xx0处的导数值，不一定为0；而(f (x0)是函数值f (

11、x0)的导数，而函数值f (x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误失误与防范1利用导数定义求导数时，要注意到x与x 的区别，这里的x是常量，x是变量2利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者4曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 八 家庭作业1，（20

12、11全国高考4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 （A） （B） （C） （D）2，（2011年山东高考4）曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15,3，（2011年江西考4）曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）A.1 B.2 C. D.4，（2011年重庆高考文3)曲线在点,处的切线方程为 (A)(B) (C) (D)5,（2011年江西高考理4）设，则的解集为A. B. C. D.6，(2011年全国高考理8）曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)17，（2011年湖南高考7）曲线在点

13、处的切线的斜率为（ ）A B C D8，(2011年辽宁文高考题20）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2（I）求a，b的值；（II）证明：2x-29，（2011年全国理高考题21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；10，（2011年全国高考题文20）已知函数()证明：曲线11，(2011年天津文高考题20）已知函数，其中（）若，求曲线在点处的切线方程；12,（2011年重庆理高考题18）设的导数满足，其中常数。 （）求曲线在点处的切线方程；答案 例1 解 ，变式训练1解 (1) (1)(1)3133()2()3，割线PQ的斜率为33()

14、2.当0.1时，割线PQ的斜率为33×0.1(0.1)23.31，曲线在点P(1,1)处切线的斜率为 33()23.例2 解 (1)yx31，y3x2.(2)先使用三角公式进行化简，得yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(3)先化简，y 1y.变式训练2解(1)y(2)2x44，y(x44)1.(2)ycos cos sin cos2sin x(1cos x)(sin xcos x)，y(sin xcos x)(cos xsin x)sin.(3)ylog2(ax3)log2a3log2x，y(log2a)(3log2x).例3 解(1)设u2x3，则y

15、(2x3)5由yu5与u2x3复合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由y与u3x复合而成yf(u)·u(x)()(3x) (1).(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyu·ux，y·(2x5).变式训练3 解(1)yn(2x1)n1·(2x1)2n(2x1)n1.(2)y54·54·.例4 解 y

16、2axb，抛物线在Q(2，1)处的切线斜率为ky|x24ab.4ab1. 又P(1,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1， 4a2bc1.联立解方程组，得实数a b c的值分别为3、11、9.变式训练4解 f(x)a，由题意得解得或,又因a，bZ，故f(x)x.例5 解题过程f(x) 2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2,4)(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x0·1，得 x0，y0，即P.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即P.变式训练5 解

17、析：设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0·x2(x)2，4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45°，斜率为tan 45°1.即f(x0)4x01，得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4.即f(x0)4x04得x01.该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8.即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)例6 规范解答解 (1)yx3，yx2，曲线在点(2,4)处的切线的斜率。ky|x24 由y44(x2)，得4xy40.曲线在点(2,4)处的切线方程为4xy40 (2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A 则切线的斜率ky|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx 点P(2,4)在切线上，42xx ，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20 家庭作业答 1【答案】A 2，【答案】C, 3，【答案】A 【解析】 , 4，【答案】：A5.【答