集合解法与集合思想在高中数学中的应用

1、集合解法与集合思想在高中数学中的应用                 集合解法与集合思想在高中数学中的应用 应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。例1：集合M=yy=x2-1,xR,N=xy=

2、,则MN等于（    ）分析：集合M中的元素是y,它表示函数y=x2-1的值域，从而M= yy-1.集合N中的元素是x,它表示函数y= 的定义域，从而N= x .因此，MN=x 例2：设f(x)= x2+ax+b,a,bR,A=xf(x)=x=a,求a,b.分析：A是方程f(x)=x的解集，A=a表示方程有两个相等的实根a 。方程即为x2+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a= ,b= 更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数

3、方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。                     例3：集合A=(x,y)y=x + m,B=(x,y)y= ,如果AB是单元素集，求m的取值范围。分析：集合A表示的是斜率为1的一组平行直线，集合B表示的方程变形为x2-y2=4(y0)，表示

4、双曲线x2-y2=4在x轴下方的部分（包括两个交点），而AB是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图： 将双曲线的一条渐近线y=x分别向上、向下平移，可得m的取值范围是m-2或0m2。集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。 用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。如：正方体 长方体 直平行六面体 平行六面体 四棱柱 

5、0;                    棱柱；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。例4：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：A .0 B.1 C.2 D.3分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。例5：数列an是等差数列，

6、a1=50,d= -0.6，求此数列的前n项和的最大值。分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集1、2、3、4、n），因此可把数列作为特殊函数理解。思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性 。由a1=50,d= -0.6,得an= -0.6n+50.6,令an0 ,有n84.3 。又 n ,则n85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)max=S84=2108.4    思路2：等差数列的前项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理 。Sn=50n + ,当n取接近于 的自然数，即n=4时，Sn达到最大值 S84=21

7、08.4                      例6：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P在圆 内的概率。（人教B版必修3，118页第3题） 分析：记点P在圆 内为事件A，则A是基本事件空间 的子集。基本事件总数是 ,A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个， . 应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件

8、决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。例7：求函数y= 的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。由 得 所以函数的定义域是（ ） 。                     例8：已知函

9、数y= 在-1,+ 上是减函数，求a的取值范围.分析：本题含着两层意思：3x2-ax+50在-1,+ 上恒成立，t=3x2-ax+5在-1,+ 上是增函数，实数a的范围是两者的交集。由题意得： ，且满足x=-1时3x2-ax+50,综上得-8 。而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。 例9：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是（人教B版必修3，131页第2（3）题）分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有个向上，个向上，个向上类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”

10、的概率。1 。例10：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教B版选修21，31页第6题）                     分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。由 有， 。又 a无解。因此， 。布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意