大一高数数学习题测答案

1、第一章 极限一、1、解：因的定义域不同，故此两函数不是同一函数；2、解：因，故此两函数的对应关系不同，于是此两函数不是同一函数；3、解：因，故两函数是同一函数。二、求函数的定义域。解：要使函数有意义，必须满足，故函数的定义域为三、设，求。解：四、求下列数列的极限：1、；解：当时，数列总在与之间来回摆动，不能无限趣近于一个确定的常数，故数列当时极限不存在。2、；解：3、；解：4、；解：5、；解：6、。解：五、设，判断当时极限是否存在？解：，故当时极限不存在。六、求下列函数的极限：1、；解：2、；解：3、；解：6、；解：7、；解：8、；解：9、；解：因，而为有界函数，故=010、；解：11、；解：

2、12、；解：13、；解：14、；解：15、。解：七、求下列函数的间断点，并指明间断点的类型：1、；解：因函数为初等函数，故函数在其定义域内都是连续的，从而函数的间断点为。又因，故为函数的第二类无穷间断点，为第一类可去间断点。2、 ；解：因，故不存在。从而此函数的间断点为且为第一类跳跃间断点。3、；解：因不存在，故此函数的间断点为，且为第二类间断点。4、 。解：因，故此函数的间断点为，且为第一类跳跃间断点。八、当为何值时，函数为连续函数。解：因函数为连续函数，故函数在连续，从而，于是九、证明方程在区间内至少有一根。证明：设，显然函数在区间连续，因，故由零点定理知函数在区间内至少存在一点，使，所以

3、即为方程的一根，从而方程在区间内至少有一根。第二章 导 数一、证明函数在点可导。证明：，故，即函数在点可导。二、曲线上哪一点处的切线与直线平行？解：因，设曲线上点处的切线与直线平行，而平行则斜率相等，故，从而，将代人得，所以曲线上点处的切线与直线平行三、讨论函数的连续性和可导性。解：因，而，故函数在连续，又因故函数在不可导。四、求下列函数的导数：1、在点处的导数；解：，故2、；解：3、；解：因，故4、；解：5、；解：6、；解：7、 ；解：8、解：9、；解：10、；解： 11、 ；解：因，故12、。解：五、求下列函数的二阶导数：1、；解：，2、；解：，3、 。解：，六、求下列函数的导数：1、由方

4、程确定的隐函数的导数；解：对方程两边求关于的导数，得 2、；解：两边取对数，得，再对上式两边求关于的导数，得3、 ；解：两边取对数，得，再对上式两边求关于的导数，得，所以。4、 ， ；解：两边取对数，得，再对上式两边求关于的导数，得5、由方程确定的隐函数的导数；解：对方程两边求关于的导数，得，故6、由方程确定的隐函数的导数；解：对方程两边求关于的导数，得，故7、由方程确定的隐函数的导数；解：对方程两边求关于的导数，得七、求下列由参数方程所确定的函数的导数：1、 ；解：2、，求当的导数。解：，故八、求下列函数的微分。1、；解：，故2、；解：，故3、 。解：，故第三章 导数的应用自测题答案一、填空

5、题（本题共6小题，把答案填在题中的横线上）。、。、。、。、。 6、。二、用洛必达法则求下列极限。1、 2、解：原式= 解：原式= =3、 4、解：原式= 解：原式=三、求下列函数的单调区间。1、 解： 在区间内单增；在内单减。 2、解：在区间内单增；在内单减。四、处有极大值。解：，由题意得：五、证明题； 1、当时，证：令, 则当时,单增。又2、证明：当。证：令, 则当时,单增。当 六、求函数的渐进线=为水平渐近线。=是垂直渐近线。七、某商行能以5%的年利率借得贷款，然后它又将此贷款给顾客，若它能贷出的款额与它贷出的年利率的平方成反比，问年利率为多少时贷出能使商行获利最大？ 解：令为年利率，则贷

6、出款额为，获利为： 令 则 答：年利率为时贷出能使商行获利最大。第四章 不定积分自测题答案一、填空题（本题共9小题，把答案填在题中的横线上）。1、。2、；。3、。4、。5、无限多；常数。6、 。7、。8、。9、 。二、计算题 1、用基本积分公式计算下列积分 （1） 解：原式= （2）解：原式=（3） 解：原式= （4） 解：原式=2、用第一类换元积分法计算下列积分（1） 解：原式= （2） 解：原式=（3） 解：原式= （4）解：原式= （5） 解：原式= （6）解：原式=（7） 解：原式= （8） 解：原式=3、用第二类换元积分法计算下列积分（1） 解：令 原式= （2） 解：令，则原式=（

7、3） 解：令 原式= （4） 解：令原式= （5） 解：令原式= 4、用分部积分法计算下列积分 （1） 解：原式= （2）解：原式=（3） 解：原式= （4）解：原式= （5） 解：原式= （6）解：原式= 第五章 定积分一、 利用定积分的性质证明下列不等式：1. 2. 1解：令，则，在0,1上，故单调递增，所以 ，于是据定积分性质有2解：因为，所以 二、 求下列函数的导数1. 2. 1解：2解： 三、 求下列极限1. 2. 1 解： 2解：四、 计算下列定积分1. 2 2. 3. 4. 5. 6. 1解： 3.解：令 原式=4.解：令 5解：令 6. 五、已知，求在区间0,3上的最大值，最小

8、值。解：因为，则在0,1上递减，在1,3递增。有且仅有一个极小值，则为最小值。故为最小值。又因为故最大值为六、 若是连续函数且为奇函数，证明是偶函数；若是连续函数且为偶函数，证明是奇函数。证明：令,则 若为奇函数，则故所以是偶函数。若为偶函数，则因而 故是奇函数。七、 判断下列广义积分的收敛性，若收敛，求其值。 1. 2. 1解：原式=故该广义积分收敛2解：原式=故该广义积分收敛八、求抛物线及其在（0，-3）和（3,0）处的切线所围成的图形面积。解：因为，故 所以两切线分别是，即两切线的交点为又，所以曲线是凸的，则切线在曲线之上，则面积为九、 求由所围得图形的面积。解：十、 求由所围得图形分别

9、绕轴和 轴旋转所得旋转体的体积解：绕轴： 绕轴： 第六章 多元函数微积分一、求下列极限，若不存在说明理由 1 2. 1解： 2解：令，则由于其极限值随k的变化而不同，因此该极限不存在。二、 求的解： ， ，三、 求下列函数的全微分 1. 2. 1解： 2解：， 四、计算下列近似值 1. 2.设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm，内高为20cm，内半径为4cm，求容器外壳体积的近似值。1解：设，由得 故取得 2解：设 当 时五、已知，求解：，而， 所以 故 六、设而解：=七、 设解： 八、设具有一阶连续偏导数，求下列复合函数的一阶偏导数1. 2. 1解：设，则2. 设，则九、设

10、，证明证明：令 则 故十、设解：令 ， ， 十一、计算下列二重积分1. ，其中是由两条抛物线所围成的区域。解：2. ，其中是由圆轴所围成的区域。解十二、改变下列二次积分的顺序1. 2. 3. 4. 1解：相应积分区域为：，故=2解：相应积分区域为：，D也可表示为 故=3.解：相应积分区域为：，D也可表示为故=4. 解：相应积分区域为：，D也可表示为 故=第七章 无穷级数一、 判断下列级数的敛散性1 23 41解：因为，而收敛，由比较判别法知收敛。2解：因为，所以级数收敛。3解：因为当时，故级数发散。4解：解：，所以级数发散。二、 判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？1 2 1解：由，知

11、级数绝对收敛。2解：，由，知收敛故绝对收敛。三、求下列幂级数的收敛域1 2 1、解：因为，所以幂级数的收敛半径为1，当时，级数发散当时，交错级数收敛所求收敛域为-1,1)2、解：所以收敛半径为当时，原级数为，该级数收敛当时，原级数为，该级数收敛所以级数的收敛域为。四、 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数。1 解：由于=故有=2 解： 故有 五、证明下列级数收敛，并求其和。证明： =，故级数收敛，且六、若级数与都发散时，级数的收敛性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么级数收敛性又如何？解：若级数分别为（发散）（发散）则级数显然收敛。但如果另外有级数，则显然发散。即两个发散的级

12、数相加减所得级数可能收敛，也可能发散。若其中一个收敛，一个发散，设收敛，发散，则肯定发散。否则收敛，应该收敛，与假设矛盾。同理，若收敛，则应该收敛，与假设矛盾。七、级数与均收敛，且（），证明级数收敛。证明：因为，（），则由题设知，收敛，根据比较判别法，级数收敛。而=收敛。八 判断题。1 发散，不一定有 （正确 ）2 若，则级数收敛 （ 错误 ）3 若级数收敛，则级数发散 （ 正确 ）4若级数收敛，则级数收敛 （ 错误 ）5 若级数的部分和满足，则该级数发散 （ 错误 ）第八章 微分方程 一. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y¢)2-2yy¢+x=0; 解 一阶.

13、(2)x2y¢-xy¢+y=0; 解 一阶. (3)xy¢¢¢+2y¢+x2y=0; 解 三阶. (4)(7x-6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶. (5); 解 二阶. (6). 解 一阶.二、求下列微分方程的通解1 2 3 4 1 解： 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里的是任意的常数.此外，方程还有解.2 解： 这是齐次方程，以代入，则原方程变为 即 （1） 分离变量，即有 两边积分，得到 这里的是任意的常数，整理后，得到 ( 2 ) 此外，方程（1）还有解,即. 如果（2）中允许，则就包含在(2)中，

14、这就是说，方程( 1 )的通解为（2）。代回原来的变量，得到原方程的通解为 3 解： 将方程改写为 这是齐次方程，以代入，则原方程变为 （1） 分离变量，得到 两边积分，得到（1）的通解 即 (2)这里的是任意常数.此外，（1）还有解注意，此解不包括在通解（2）中.代回原来的变量，即得原方程的通解 及解.原方程的通解还可表为 它定义于整个负半轴上.4 .解 原方程改写为 （1） 把看作未知函数，看作自变量，这样，对于及来说，方程（1）就是一个线性方程了.先求齐次线性方程 的通解为 令,于是 代入（1），得到 从而，原方程的通解为 这里是任意的常数,另外也是方程的解.三、求下列微分方程的特解1.

15、,求满足初始条件：的特解.解：对原方程进行变量分离得两边同时积分得， 即 （这里）把代入得故满足初始条件的特解为2求满足初始条件：的特解.解：对原方程进行变量分离得：两边同时积分得 即 显然是原方程的解时，代入上式得故特解是 四 证明曲线上任意一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证：设为所求曲线上的任意一点，则因此， 即为所求。五 验证下列所给函数是所给微分方程的解。1 ，解：因为 所以是的解。2 ，解 因为由可得，即 所以是的解六、一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点处的切线的斜率为,求这曲线的方程。解：设所求曲线为由题意知，其中时，。，即，求得 所求曲线方程为七、试证: 1一阶线性微分方程的任两解之差必为相应的线性齐次微分方程之解；2 若是的非零解，而是的解，则的通解可表为，其中为任意常数.3 方程任一解的常数倍或两解之和