西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第1章二阶与三阶行列式习题课

1、第一章 习题课 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 1n阶行列式的定义阶行列式的定义., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示对表示对个排列的逆序数个排列的逆序数为这为这的一个排列的一个排列为自然数为自然数其中其中ntnppppppnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变

2、号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列kk 2n阶行列式的性质阶行列式的性质., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不变行列式的值不变对应的元素上去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面

3、提到行列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式.,)1(1 的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素；记；记的余子式，记作的余子式，记作阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素列划去后，留下来的列划去后，留下来的行和第行和第所在的第所在的第阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij 3行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAai

4、jijjknkikijkinkki当当当当其中其中当当当当或或当当当当 4克拉默法则克拉默法则., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，换成常数项换成常数项列列中第中第）是把系数行列式）是把系数行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值., 0., 22112222212111212111唯一唯一那么它一定有解，且解那么它一定

5、有解，且解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必为零必为零解，则它的系数行列式解，则它的系数行列式解或有两个不同的解或有两个不同的如果上述线性方程组无如果上述线性方程组无定理定理定理定理., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它没有非零解那么它没有非零解的系数行列式的系数行列式如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系数行列式必为零它的系数行列式必为零组有非零解，则组有非零解，则如果上述齐次线性方程如果上述齐次线性方程定

6、理定理定理定理【例例1】计算计算0112012120112110D【解解】0112012121102011D) 4() 1 (2) 3() 1 (201121102110 4130 )4()2(3)3()2(2110201100-2400-22) 4() 3(1420021102011 0 0 0 -2=41用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算【例例2】计算计算n阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbbaDn特点特点：各行（列）元素相加后都相等：各行（列）元素相加后都相等. 方法方法：可把行列式的各列（行）都加到第一列（行）：可把行列式的各列（行）都加到第一列（行） 上，提出公因子后

7、再化简成行列式计算上，提出公因子后再化简成行列式计算. 【解解】abbbnababbnabbabnabbbbnaDn) 1() 1() 1() 1() 1(bnaabbbabbbabbb1111)() 1 (1)2() 1 (1n)1(bnababababbb0000000001.)()1(1 nbabna练习练习计算计算48 3111131111311113D【例例3】 计算计算.5021011321014321 D【解解】4444343424241414AaAaAaAaD021113101)1(441021113321)1(242+0113101321)1()5(446521294242用

8、降阶法计算用降阶法计算【例例4】计算计算n阶行列式阶行列式.000000000000abbababa【解解】 原式原式111nbAaA 按按第第一一列列展展开开 abaabaa0000000000babbabbn0000000000)1(1 nnnba1)1( 例例5 5 证明：证明：证：利用行列式性质及行列式按列展开（性证：利用行列式性质及行列式按列展开（性质法、展开法）质法、展开法） 3424231413123433323124232221432141111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD142413231222144133122141312112213314343332

9、31242322214321400011111111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaararrarraraaaaaaaaaaaaD242322432141312111aaaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展开此例中的四阶行列式，称为四阶此例中的四阶行列式，称为四阶范德蒙范德蒙（Vander MondeVander Monde）行列式）行列式, , n n阶范德蒙行列阶范德蒙行列式为：式为： 234233242314131212222300111aaaaaaaaaaaaaaaararrar43242314131211aaaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展开342423

10、141312aaaaaaaaaaaanijjinnnnnnaaaaaaaaaaa11121122221211113利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例6计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至幂次数便从幂次数便从则方则方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，递升至递升至而是由而是由变到变到序排列，但不是从序排列，但不

11、是从次数自左至右按递升次次数自左至右按递升次方幂方幂数的不同方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个中各行元素分别是一个10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin练习练习求解方程求解方程01111333322224 cbaxcbaxcbaxD例例7 7 计算计算dcbacbabaadcbacbabaadcbac

12、babaadcbaD 36103632342324用递推法计算用递推法计算cbabaacbabaacbabaadcbaDrrrrrr 363023200233412解解1 1： baabaacbabaadcbarrrr 300200034234000200034aabaacbabaadcbarr 解解2 2： cbabaacbabaacbabaadcbaDrrrrrr3610363023423200131214 43000200034aabaacbabaadcbarr baabaacbabaadcbarrrr373002000232423 例例8计算计算.nnnaaaaaxxxD1210100

13、000100001 解解展展开开列列把把依依第第Dnn12210111100000100001110001000100011 nnnnnnnnaaaaaxxxxxxxaD)()()()()()(1 nnnnDxaD0111axaxaxannnn 10111aaxxaxannnn 111Dxaxannnn 211 nnnnnDxaxa5折项法折项法例例9证明证明yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33 解：解：bzaybyaxbxbyaxbxazbzbxazbzaybybzaybyaxazbyaxbxazaybxazbzayax 左式

14、左式bzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa bzaybyxbyaxbxzbxazbzybaybyaxzaxbxazyazbzayxa bzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa 22bzyxbyxzbxzybyaxzxazyzayxa22 zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33 yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33 用数学归纳法用数学归纳法例例10证明证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用

15、数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由归纳假设由归纳假设;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结论成立结论成立所以对一切自然数所以对一切自然数n例例1111nnnnnknkkkkkbbbbccccaa

16、aaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明7其他方法其他方法解解 ( (分析：对分析：对D D1 1作行运算，相当于对作行运算，相当于对D D的前的前k k行作相行作相同的行运算，且同的行运算，且D D的后的后n n行不变；对行不变；对D D2 2作列运算，作列运算，相当于对相当于对D D的后的后n n列作相同的列运算，且列作相同的列运算，且D D的前的前k k列列不变。不变。) ) 对对D D1 1作适当的运算，可将作适当的运算，可将D D1 1化为下三角形；同化为下三角形；同理

17、作适当的列运算，可将理作适当的列运算，可将D D2 2化为下三角形，分别化为下三角形，分别设为设为kkkkkpppppD1111110nnnnnqqqqqD1111120故对故对D D的前的前k k行作上述行运算，和对行作上述行运算，和对D D的后的后n n列作上述列作上述列运算后，列运算后，D D可化为可化为21111111111111110DDqqppqqqccccpppDnnkknnnnknkkkk注：注： 这个例题有很深刻的意义：行列式可进行某种分块这个例题有很深刻的意义：行列式可进行某种分块运算，且关于块的运算同于行列式的运算。运算，且关于块的运算同于行列式的运算。【解解】44434

18、241AAAA 444342411111AAAA 6902111187511111=0.,734369021111875144434241AAAAA 求求设设【例例12】例例13 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx27D解解1082D274D811D273D, 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx例例14 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非

19、零解？ 解解 111132421D 101112431 31214313 312123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种

20、方法小结小结练习练习计算计算.4abcdbadccdabdcbaD )()(dcbadcbadcbadcba MATLABMATLAB给出了直接计算方阵行列式的函数给出了直接计算方阵行列式的函数det.mdet.m其调用格式为：其调用格式为： D=det(A)D=det(A)用用MATLABMATLAB计算方阵行列式计算方阵行列式例例15 15 求下列矩阵的行列式求下列矩阵的行列式解：列出程序：解：列出程序： A A 10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1;10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4

21、,0;9,4,2,9,1;10 8 6 4 12 5 8 9 46 0 9 9 85 8 7 4 09 4 2 9 1A nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排

22、为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接

23、情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .nm nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA .,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.例如例如 346

24、95301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵. .也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列

25、向量列向量).). 称为称为( (或或）. n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵, ,OO不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA (5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. . 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念OO 1. 1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时,

26、 ,称为称为同同型矩阵型矩阵.主对角线主对角线全为全为1 2. 2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.例例1之之个变量个变量与与个变量个变量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到变量到变量表示一个从变量表示一个从变量mnyyyxxx,212

27、1线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换. . nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵. .线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincosXYO yxP, 111, yxP

28、这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换. 、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.9864474111

29、3 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵

30、， 为数）为数） ,nm BA、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例例222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2故故 12111312143041500311210

31、1ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如不存在不存在.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k