西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数测试题及答案

1、第一章第一章 测试题测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式则行则行的三个根的三个根是方程是方程设设行列式行列式 . 3 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四阶行列式四阶行列式 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD则则设四阶行列式设四阶行列式的的符符号号为为在在五五阶阶行行列列式式中中3524415312 . 6a

2、aaaa 的系数是的系数是中中在函数在函数321112 . 7xxxxxxxf abcdbadccdabdcba四阶行列式四阶行列式 . 8, . 9时时且且则当则当为实数为实数若若 baba010100 abba二、计算下列行列式二、计算下列行列式( (每小题每小题9 9分，共分，共1818分分) )0112210321011322211313211 . 15 D. .10121121iiiiiiiinnnn 次次对对换换后后变变为为排排列列可可经经排排列列xzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齐次方程组齐次方程组取何值取何值问问, 0200321321321xxxxxxxxx 有非零

3、解？有非零解？三、解答题三、解答题(9(9分分)四、证明四、证明( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) ) ; 0321321321321 . 12222222222222222 ddddccccbbbbaaaa cos211cos21111cos211cos2 . 2 nD ;sin1sin n用用数数学学归归纳纳法法证证明明 .3nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxD321223222122322213211111 2,121 nxxxxxjinijn五、五、(9(9分分) ) 设设 行列式行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数

4、余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA .21 .10 ; 0 , 0 . 9 ; . 8 ; 2 . 7 ;. 6 ; 0 . 5 ; . 4 ; !1998 . 3 ; 0 . 2 ;1 . 122222 41413232 nndcbabbaabbaaan一、一、 . . 2 ;170 . 1zyyxzzxynn 二、二、. 00 或或三、三、.11!2 njjn五、五、测试题答案测试题答案第二章测试题第二章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共3232分分) ) AAAAnA1541det,31det,. 11则则为其伴随矩阵为其伴随矩阵阶方

5、阵阶方阵为为设设 tOABtBOA则则且且阶方阵阶方阵设设,35342531,3. 2 13,. 3AEA则则已知已知 1008050200. 4AA的逆矩阵的逆矩阵矩阵矩阵 131125221001100124. 5AAA的的逆逆矩矩阵阵则则阶阶矩矩阵阵设设 12, 032. 6AEAAAn则则满足方程满足方程阶矩阵阶矩阵若若 AAAA32, 1,. 71且且为三阶矩阵为三阶矩阵设设 nAA则则设设,400010003. 8. , , , A )6( 2并求其逆并求其逆可逆可逆证明证明且且阶方阵阶方阵均为均为、设设分分二、二、ABEABBnB 四、四、(8(8分分) )解下列矩阵方程解下列矩

6、阵方程.021102341010100001100001010 X五、五、( (每小题每小题5 5分，共分，共2020分分) )求下列矩阵求下列矩阵 ,23121n ;2, 13122 ., )6( 可逆可逆证明证明且且阶实方阵阶实方阵设设分分三、三、AAAOAnT ;510013101121lim3nn 六、六、(6(6分分) )设设 求求 ,2,321011324BAABA 七、七、( (每小题每小题3 3分分, ,共共6 6分分) )设设 阶矩阵阶矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵为为 ，证明：，证明： A ; 0, 01 AA则则若若 .21 nAA .1000101014nA BnA八、八、

7、( (每小题每小题5 5分，共分，共1010分分) )求下列矩阵的逆矩阵求下列矩阵的逆矩阵;1000021000002000003100011 A.1133223210101010008200031 B其其中中求求设设.,111ABAPP 九、九、(6(6分分) ).2001,1141 BP ;008105102100. 4 ;. 3 ; 4. 2 ; 31. 12 Atn一、一、;3161343102125210010002121. 51 A ;231. 6EA 测试题答案测试题答案.400010003. 8 ;125. 7 nn .321211AEBEEBA 二、二、.201431012

8、X四、四、 ; ,2312 ,2312. 1 为奇数为奇数为偶数为偶数五、五、nnEn;632142. 2 ;000000000. 3 .10001001. 4 n.9122692683 B六、六、;100002100000210000041410004143. 1 八、八、.21616712112031326732161611272000211000234. 2 .68468327322731 九、九、第三章测试题第三章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2424分分) )1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方

9、程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是nrk的通解为的通解为则则设设0,111111111 . 3 AXA4 4线性方程组线性方程组 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要条件是有解的充要条件是的秩是的秩是矩阵矩阵 0011102210111000. 6A二、计算题二、计算题 ARARA则则且秩且秩阶方阵阶方阵为为设设, 3,4. 5.,. 1确确定定矩矩阵阵的的秩秩值值的的范范围围讨

10、讨论论 ( (第第1 1题每小题题每小题8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每小题小题9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分) ) 06865035322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解下列线性方程组求解下列线性方程组 342231771110441132161015122111 4423321321321bxxxxaxxxaxx有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解求其通解线性方程组线性方程组取何值时取何值时,. 3ba 55493123236232

11、3325432154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵,011012111. 1 1111111111111111. 2 . :,. 11nABEABEBABAnBA 秩秩秩秩证明证明且且阶方阵阶方阵为两个为两个四、证明题四、证明题( (每小题每小题8 8分，共分，共1616分分) )( (每小题每小题7 7分，共分，共1414分分) ) .:,. 2AAAnmAT秩秩秩秩证明证明实矩阵实矩阵为为设设 . 2 . 6 ; 1 . 5 ; 0. 4 ;. 3 ;53. 2 ;,. 1

12、54321 aaaaaknrnr零解零解一、一、; 2,3; 3,3)1( . 1 秩为秩为时时当当秩为秩为时时当当二、二、 测试题答案测试题答案. 2,0; 4,0)2( 秩为秩为时时当当秩为秩为时时当当 ;100454101047430014349)1( . 2321 kkkX.10520510151057000130054053)2(321 kkkX., ;,121 ;,10. 3方程组无解方程组无解其余情形其余情形方程组有无穷多解方程组有无穷多解时时且且当当方程组有唯一解方程组有唯一解时时且且当当 baba;12321011031. 1 1 A三、三、.1111111111111111

13、41. 21 A.,101222Rkkx 通解为通解为第四章测试题第四章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题5 5分，共分，共4040分分) ) .,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321线性相关线性相关时时则则设设 kk .,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321线性无关线性无关时时则则设设 tt 则则该该向向量量组组的的秩秩是是已已知知向向量量组组,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4

14、 , 3 , 2 , 1 . 34321 则向量个数则向量个数线性表出线性表出均可由向量组均可由向量组维单位向量组维单位向量组, . 42121snn ARA则秩则秩已知已知1101001100001100001100101 . 5 ARA则秩则秩设设,3 , 2 , 1,321 . 7 的的一一个个极极大大无无关关组组是是向向量量组组7 , 6 , 5 , 46 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 84321 二、计算题二、计算题 .,4 , 5, 2 , 3,3, 4 , 1, 2,2 , 1, 8, 5, 0432. 1321321 求求其

15、中其中已知已知 则则该该方方程程的的系系数数矩矩阵阵为为础础解解系系为为其其基基以以方方程程组组,1, 1 , 0,2 , 0 , 10 . 621 AX( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) )?,321线线性性无无关关线线性性相相关关向向量量组组为为何何值值时时试试求求出出 t .1 , 2 , 1 , 0,2 , 1 , 1 , 2,1 , 11 , 1 , 0 , 00 , 1 , 1 , 0,0 , 0 , 1 , 1, . 3321321等价等价与向量组与向量组使向量组使向量组和和求实数求实数 baba 1 , 1, 1,0 , 2,1 , 2 , . 2321 tt已

16、已知知向向量量组组三、证明题三、证明题 ( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) ). 0)det(,. 1 ABnmmnBnmA试证明试证明且且矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设 证明证明且秩且秩矩阵矩阵是是矩阵矩阵为为设设,. 2snnBRsnBnnA .,2; 0, 01EABABAAB 则则若若则则若若 . 4,:, 4, 3,;,;, . 34532153214321321秩为秩为的的向量组向量组试证明试证明为为如果各向量组的秩分别如果各向量组的秩分别已知向量组已知向量组 IIIRIIRIRIIIIII四、向量组四、向量组 线性无关线性无关, ,问常数问常数 满足满足什么条件时什

17、么条件时, ,向量组向量组线性无关线性无关321, ml,133221, ml(12(12分分) ) ., . 8 ; 1 . 7 ;112 . 6 ;5 . 5 ; . 4 ;2 . 3 ; . 2 ;153 . 1 21 sn任任意意实实数数一一、 ;22 , 1 , 0 . 1 二、二、.,3 , 2 ;,3 , 2 . 2321321线性相关线性相关时时当当线性无关线性无关时时当当 tt. 0 . 3 ba测试题答案测试题答案. 1 lm四、四、第五章测试题第五章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共3232分分) )特征向量是特征向量是的特征值是的特征值是则方

18、阵则方阵的伴随矩阵的伴随矩阵是是阶方阵阶方阵是是设设, 2,A,n. 1 AABAAA的的特特征征值值为为则则的的特特征征值值为为三三阶阶方方阵阵2332, 2 , 1, 1. 2AABA 的的特特征征且且设设ABA 200031141,201034011. 3 yxyBxA,1000000210100002. 4则则相相似似与与已已知知矩矩阵阵 的的矩矩阵阵是是二二次次型型232123222143212432,. 5xxxxxxxxxxxf .4225,. 6323121232221321是正定的是正定的实二次型实二次型时时当当xxxxxtxxxxxxxf 的特征值为的特征值为那么那么二重二

19、重和和值为值为B),( 12对应的二次型是对应的二次型是矩阵矩阵 314122421. 7A二、计算题（共二、计算题（共40分）分）.2)2( ;)1( ,321311032)7( . 1的所有特征向量的所有特征向量对应于对应于的值的值求求的特征值的特征值是矩阵是矩阵设设分分ttA .222, . 8323121232221321是是负负定定的的二二次次型型时时满满足足当当xxxxxxtxtxtxxxxft 其中其中相似相似与与设矩阵设矩阵分分,)10.(2BA 10001000,00010221yBxA.,)2( ;)1(1BAPPPyx 使使得得求求可可逆逆阵阵的的值值和和求求试试求求矩矩阵阵设设的的特特征征值值为为已已知知三三阶阶矩矩阵阵分分,32, 1, 2, 1)10( . 332AAABA ;)1(矩矩阵阵的的特特征征值值及及其其相相似似对对角角矩矩阵阵B.3)2(2的值的值及及行列式行列式EAB .,?020212022)7( . 41为对角矩阵为对角矩阵使使求出可逆矩阵求出可逆矩阵若可对角化若可对角化可否对角化可否对角化判断矩阵判断矩阵分分AUUUA .444,)6( . 5323121232221321化化为为标标准准型型将将二二次次型型分分xxxxxxxxxxxxf 三、证明题