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文档简介
1、中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题共5小题,每题6分,共30分.1甲如果实数a,b,c在数轴上的位置如下图,那么代数式可以化简为 A B C Da1乙如果,那么的值为 A B C2 D2甲如果正比例函数y = axa 0与反比例函数y =b 0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为3,2,那么另一个交点的坐标为 A2,3 B3,2 C2,3 D3,22乙 在平面直角坐标系中,满足不等式x2y22x2y的整数点坐标x,y的个数为 A10 B9 C7 D53甲如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 A1 B C D3乙如图,四边形ABCD
2、中,AC,BD是对角线,ABC是等边三角形,AD = 3,BD = 5,那么CD的长为 A B4 C D4.54甲小倩和小玲每人都有假设干面值为整数元的人民币小倩对小玲说:“你假设给我2元,我的钱数将是你的n倍;小玲对小倩说:“你假设给我n元,我的钱数将是你的2倍,其中n为正整数,那么n的可能值的个数是 A1 B2 C3 D44乙如果关于x的方程 是正整数的正根小于3, 那么这样的方程的个数是 A 5 B 6 C 7 D 85甲一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为,那么中最大的是 A
3、 B C D5乙黑板上写有共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数,然后删去,并在黑板上写上数,那么经过99次操作后,黑板上剩下的数是 A2021 B101 C100 D99二、填空题共5小题,每题6分,共30分6甲按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x到“结果是否>487?为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .6乙.如果a,b,c是正数,且满足,那么的值为 7甲如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,那么DMN的面积是 .7乙.如下图,点A在半径为20的圆O上,以OA为一条对角线作矩形O
4、BAC,设直线BC交圆O于D、E两点,假设,那么线段CE、BD的长度差是 。8甲. 如果关于x的方程x2+kx+k23k+= 0的两个实数根分别为,那么 的值为 8乙设为整数,且1n2021. 假设能被5整除,那么所有的个数为 .9甲. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规那么是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,那么m的值为 .9乙如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数假设和均为三角形数,且abc,那么的取值范围是 .10甲
5、如图,四边形ABCD内接于O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BFEC,并与EC的延长线交于点F. 假设AE = AO,BC = 6,那么CF的长为 .10乙是偶数,且1100假设有唯一的正整数对使得成立,那么这样的的个数为 三、解答题共4题,每题15分,共60分11甲二次函数,当时,恒有;关于x的方程的两个实数根的倒数和小于求的取值范围11乙. 如下图,在直角坐标系xOy中,点A在y轴负半轴上,点B、C分别在x轴正、负半轴上,。点D在线段AB上,连结CD交y轴于点E,且。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。12甲. 如图,O的直径为,过点,且与O内切
6、于点为O上的点,与交于点,且点在上,且,BE的延长线与交于点,求证:BOC12乙如图,O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是ABD的内心. 求证:1OI是IBD的外接圆的切线;2AB+AD = 2BD.13甲. 整数a,b满足:ab是素数,且ab是完全平方数. 当2021时,求a的最小值.13乙给定一个正整数,凸边形中最多有多少个内角等于?并说明理由14甲. 求所有正整数n,使得存在正整数,满足,且.14乙将,n2任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数 可以相同,使得,求的最小值参考解答 一、选择题1(甲) .C解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知,且,所以 1
7、乙B解:2甲D解:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3,2.2乙B解:由题设x2y22x2y, 得02.因为均为整数,所以有 解得 以上共计9对.3甲D 解:由题设知,所以这四个数据的平均数为,中位数为 ,于是 .3乙B解:如图,以CD为边作等边CDE,连接AE. 由于AC = BC,CD = CE,BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE,所以BCDACE, BD = AE.又因为,所以.在Rt中,于是DE=,所以CD = DE = 4. 4甲D解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,均为非负整数. 由题设可得消去x
8、得 (2y7)n = y+4, 2n =.因为为正整数,所以2y7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,74乙C解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为,故方程的根为一正一负由二次函数的图象知,当时,所以,即 . 由于都是正整数,所以,1q5;或 ,1q2,此时都有. 于是共有7组符合题意 5甲D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以,因此最大5乙C解:因为,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘
9、积不变设经过99次操作后黑板上剩下的数为,那么,解得 ,二、填空题6甲7x19解:前四次操作的结果分别为 3x2,3(3x2)2 = 9x8,3(9x8)2 = 27x26,3(27x26)2 = 81x80.由得 27x26487, 81x80487.解得 7x19.容易验证,当7x19时,487 487,故x的取值范围是7x196乙.7解:在两边乘以得即7甲8解:连接DF,记正方形的边长为2. 由题设易知,所以 ,由此得,所以.在RtABF中,因为,所以,于是 .由题设可知ADEBAF,所以 , .于是 , . 又,所以. 因为,所以.7乙. 解:如图,设的中点为,连接,那么因为,所以,8
10、甲解:根据题意,关于x的方程有=k240,由此得 (k3)20 又(k3)20,所以(k3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2=. 故=8乙.1610解:因此,所以,因此所以共有2021-402=1610个数9甲8解:设平局数为,胜负局数为,由题设知,由此得0b43. 又 ,所以. 于是 043,87130,由此得 ,或.当时,;当时,不合题设.故9乙.解:依题意得:,所以,代入2得,两边乘以a得,即,化简得,两边除以得 所以另一方面:abc,所以 综合得另解:可令,由1得,代入2化简得,解得,另一方面:abc,所以, 综合得10甲解:如图,连接AC,BD,OD.
11、 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90°.依题设BFC = 90°,四边形ABCD是O的内接四边形,所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ,因此 .因为OD是O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,ODBC, 于是 . 因此.由,知因为,所以 ,BA=AD ,故.10乙.12解:依题意得 由于是偶数,a+b、a-b同奇偶,所以n是4的倍数,即,当1100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对,那么:,其中p是素数,因此,k只能取以下12个数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n有12个。三、解答
12、题11甲解: 因为当时,恒有,所以,即,所以 3分当时,;当时,即,且 ,解得 8分设方程的两个实数根分别为,由一元二次方程根与系数的关系得因为,所以,解得,或因此 15分11乙.解:因为sinABC =,所以AB = 10由勾股定理,得易知, 因此 CO = BO = 6 于是,设点D的坐标为由,得所以 ,解得 因此D为AB的中点,点 D的坐标为 因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为ABC的重心,所以点E的坐标为也可由直线CD交y轴于点E来求得. 设经过B,C,E三点的二次函数的解析式为将点E的坐标代入,解得a = 故经过B,C,E三点的二次函数的解析式为12甲 证明:连接BD,
13、因为为的直径,所以又因为,所以CBE是等腰三角形 5分设与交于点,连接OM,那么又因为,所以 10分又因为分别是等腰,等腰的顶角,所以BOC 15分12乙.证明:1如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知:,所以, CI = CD 同理,CI = CB 故点C是IBD的外心连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,所以OIAC,即OICI 故OI是IBD外接圆的切线 2如图,过点I作IEAD于点E,设OC与BD交于点F由,知OCBD因为CBF =IAE,BC = CI = AI,所以所以BF = AE 又因为I是ABD的内心,所以故也可由托勒密定理得:,再将代入即得结论
14、。13甲解:设ab = mm是素数,ab = n2n是自然数. 因为 (a+b)24ab = (ab)2,所以 (2am)24n2 = m2, (2am+2n)(2am2n) = m2. 5分1当时,因为2am+2n与2am2n都是正整数,且2am+2n2am2n (m为素数),所以 2am+2nm 2,2am2n1.解得 a,. 于是 = am. 10分又a2021,即2021.又因为m是素数,解得m89. 此时,a=2025.当时,.此时,a的最小值为2025. 2当时,因为2021,所以,从而得a的最小值为2021素数。综上所述,所求的a的最小值为2021。15分13乙.解:设凸n边形最
15、多有k个内角等于150°,那么每个150°内角的外角都等于30°,而凸n边形的n个外角和为360°,所以,只有当时,k才有最大值12. 5分下面我们讨论时的情况: 1当时,显然,k的值是11; 2当时,k的值分别为1,2,3,4,5;3当时,k的值分别为7,8,9,10. 10分综上所述,当时,凸n边形最多有个内角等于150°;当时,凸n边形最多有个内角等于150°;当时,凸n边形最多有12个内角等于150°;当时,凸n边形最多有11个内角等于150°。. 15分14甲解:由于都是正整数,且,所以1,2,2021于是 5分当时,令,那么 .10分 当时,其中,令 ,那么 综上,满足
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