概率论提纲与部分习题解析 第一部分 概率论及其应用

1、概率论提纲与部分习题解析第一部分 概率论及其应用2.5 麦克斯韦-玻尔兹曼,费米-狄拉克,波斯-爱因斯坦统计麦克斯韦-玻尔兹曼统计:r个不可分辨的质点放入n个小区域中,全部n 个排列都具有相同的概率。费米-狄拉克统计:2个或多个质点在同一个盒中是不可能的,其他情况具有等概率。波斯-爱因斯坦统计:所有可区分的排列具有相等的概率。2.5在连贯中的应用给定a个不可区分的和b个不可区分的,则有 a ba个可以区分的次序。具有n 个连贯,n 1个连贯的排列共有 a 1n 1b 1n 。2.9斯特林(Stirling公式n!2n ne证明见教科书2.9节。2.12二项式系数的一些问题和恒等式12.证明:对

2、于整数0 有1 akb kb 1ba 1=. 证明:1 ak b kb 1ba 1=1kb 2k 11aa kb 2k 11 2a 1ba 119.证明对任何正整数m都有x y z !其中求和号是对全部满足a b c m的非负整数a, b, c来求和的。证明:相当于将三种不可区分颜色的球随机投入m个箱子中。于是有a个x和b个y和c个z 的概率为P a,b,c =mam abm a bc3于是关于 x y z 的展开中x y z 的系数为P a,b,c 3 mam abm a bc!.5.1条件概率在H的假设下A的条件概率是P A|H P AH P H推广到三个事件A,B,C:P ABC P A

3、|BC ·P B|C ·P C称事件A和事件H随机独立(5.3,如果:P AH P A ·P H06年ACM班期末考试题某城市有85%的出租车为白车,有15%的出租车为黑车。今日发生一起出租车司机夜间肇事逃逸事件。唯一的目击者举报肇事车为黑车,且测试发现该目击者可以以80%的概率在夜间正确区分黑车和白车。计算该肇事车为白车的概率。解:此题为一条件概率题目。基本集合S为出租车。发生了事件H为目击者举报黑车事件。A为肇事车为白车。P A|H P AHP H85% 20%85% 20% 15% 80%1729.6.4应用于二项分布的大数定律lim PSnp 1其中S 表

4、示n次实验中成功的次数,p为成功概率。6.5泊松逼近n大,p小,而乘积 大小适中。有泊松逼近b k;n,p p k; e 41.证明k p k; . 证明:e x两边取导数并乘以x得:xe kx两边再取导数并乘以x得:x x e k x !于是k p k; k !e ek !e e 7.1正态分布正态密度函数x12正态分布函数为其积分x129.2期望值E X x f x9.4方差设X 为具有二阶矩 的随机变量,且令 为其均值。我们定义数目Var X E X µ E X µ为X 的方差,其正根叫做X 的标准差。 有Var aX b a Var X9.6 切比雪夫不等式对任何t

5、 0,有P |X | t E X特别的,若E X µ,则P |X µ| t t Var X .10.1同分布的随机变量列大数定律设 X 是相互独立且具有公共分布的随机变量序列。如果其期望µ E X 存在,则对每个 0,当n 总有PX X中心极限定理设 X 是相互独立且具有公共分布的随机变量序列。假定µ E X 和 Var X 都存在,并令S X X ,则对每个固定的,均有P S nµ Part II Markov ChainsSome DefinitionInitial distributionµ µ ,µ , ,&