梁昆淼 数学物理方法教学大纲

1、梁昆淼 数学物理方法教学大纲    梁昆淼 数学物理方法教学大纲    数学物理方法教学大纲 数学物理方法（供物理专业试用）前一、课程概述言1数学物理方法是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前导课程高等数 学的延伸，为后继开设的电动力学、量子力学和电子技术等课程提供必需 的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生 必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所 有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2本课程的主

2、要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力 学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论 等，虽然也属于数学物理方法的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课 中加以介绍。 3本课程的内容为数学课程，注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与 其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课 的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不 必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其 应用技巧和处理方法。 4本课程的内容是几代数学家

3、与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀 创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维 方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、目的要求1本课程要求学生对规定的内容有一个总体了解。掌握其中的基本概念，熟悉一些重要 的理论及公式，并使所学到的知识在头脑中形成合理的结构。 2本课程要求学生能运用学到的基本数学方法解决一类常见的物理问题，能较顺利地学 习本专业后继的物理课程。 3本课程要求学生能熟悉在数学物理方法的创立过程中用过的创新思维方法，如类比、 推广、猜想及模型化等，为写出有特色的学年论文和/或毕业论文创造条

4、件。三、教材教科书： 教科书：梁昆淼编，数学物理方法，北京：人民教育出版社，1995 年第三版。 参考书： 参考书：四川大学编，高等数学第四册，北京：高等教育出版社，1996 年第三版； 刘连寿、王正清编，数学物理方法，北京：高等教育出版社，1991 年；大纲-1严镇军编，数学物理方法，合肥：中国科学技术大学出版社，1999 年。四、教学建议1本课程课堂讲授约需 54 课时（50 课时讲授基本内容，4 课时作为机动，每篇章的标题 后注明了讲授参考学时数）。 2学生在学习过程中应注重各章节所要求内容的全貌，以掌握基本思想和基本方法为主， 培养创新精神。 3学生需独立完成本大纲所列出的习题，并适当

5、自选做一些其它的习题，提高应用能力。 4在学习过程中，应以教科书教材为主，适当参考所列出的或其它的参考书，要适应各 种不同的教材的编排体系和书写符号等。第一篇本篇概述复数函数论（20+1） 复数函数论（20+1）复数函数论是指自变数为复数的函数。它是实变函数在自变数方面的延伸，并形成了 一个独立的理论分支。 复变函数在物理学中有极其广泛的应用。 首先， 由于复变数的引入， 赋予了一些物理量以新的意义。例如，物理学中普遍使用复阻抗、复势、复频率、复介电 常数、复磁导率、复哈密顿量等等，这些复数量都具有新的物理内涵。其次，许多复变函 数论的方法，如柯西积分、回路积分、罗朗级数筹，给物理学许多领域中

6、大量的实际问题 提供了有效的处理手段。因此，复变函数论成为数学物理方法的一个重要组成部分。 在本篇中，首先引人复变函数的基本概念，特别是复导数、柯西?黎曼条件及解析函 数的概念。其次讨论复变函数的积分，论述柯西定理，并在这个基础上导出柯西公式，得 到一个函数在解析点处及其高阶导数在该点处的积分表达式。然后，讨论复变函数的幂级 数展开理论，同时对复变函数的孤立奇点进行分类和各类奇点的性态分析。最后，指出留 数定理及其应用。鉴于复变函数所涉及的范围很广，对于其它的内容，在本大纲中不作要 求。 在本篇的教学中，学生要善于将复变函数与实变函数进行比较。一方面，要注意它们 之间的理论相似之处，充分利用已

7、学的实变函数的知识，来认识复变函数相应的理论。另 一方面，要注意它们的不同之处，了解复变函数有关理论的特点进行学习。在本篇中特别 要重视解析函数的有关内容，这是贯串本篇知识的轴线。 幂级数的每一项都是以幂函数作为基本函数的，由于幂函数不是周期函数，所以将某 一函数展开成幂级数后，就很难体现周期性的这个特征。如果要着重研究某一函数的周期 性时，需要用到傅立叶级数展开理论。这部分内容虽然是前导课程的范围，但在本课程的 第二篇中有重要应用，学生必须进行很好地复习巩固。大纲-2傅立叶级数理论，还可以延伸到无穷区间上定义的函数，形成了傅立叶积分理论。傅 立叶积分理论，是数学物理方程的一个较重要的内容，也

8、是本篇的一个重要组成部分。同 傅里叶级数理论一样，它在物理学的许多领域中被广泛地应用。 傅立叶展开还有进一步的理论，即广义傅立叶级数展开理论。这部分的内容，将在第 二篇的有关特殊函数理论中阐述。 本篇的教学时间为 20 课时，另安排 1 课时作为机动（可以用来复习傅立叶级数以及 学习其他需要的扩展内容）。复变函数（ 第一章 复变函数（6）基本要求： 基本要求：1熟悉复数的基本概念和基本运算； 2了解复变函数的定义，连续性； 3了解多值函数的概念； 4掌握复变函数的求导方法及柯西?黎曼方程； 5了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。 6了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想

9、与方法。教学内容： 教学内容：§1.1复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运 算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连 续性。 §1.3导数。导数，导数的运算，柯西?黎曼方程。 §1.4解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5平面标量场。稳定场，标量场，复势。本章重点： 本章重点：复变函数的运算，柯西?黎曼条件，解析函数习 题：§1.1（第 5?6 页）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5

10、）（7）3（1） （3）（5）（7） §1.2（第 9 页）：2（1）（3）（5）（7）（9），3。 §1.3（第 13 页）：1。 §1.4（第 18 页）：1，2（1）（4）（6）（7）（10），3。大纲-3复变函数的积分（ 第二章 复变函数的积分（3）基本要求： 本要求：1正确理解复变数函数路积分的概念； 2深透理解柯西定理及孤立奇点的定义； 3理解并会熟练运用柯西公式。教学内容： 教学内容：§2.1复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2柯西定理。柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 &#

11、167;2.3不定积分*。原函数。 §2.4柯西公式。柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不 作要求）本章重点： 本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。习 题：§2.4（第 38 页）：1，2。幂级数展开（ 第三章 幂级数展开（6）基本要求： 基本要求：1理解复数项级数概念； 2了解幂级数的敛散性的判别法及收敛半径的计算方法； 3会对一些简单的解析函数进行泰勒级数展开； 4了解解析延拓的含义*； 5会对一些简单的函数在孤立奇点邻域内进行罗朗级数展开； 6熟悉孤立奇点的三种类型，了解极点的阶；教学内容： 教学内容：§3.1复数项级数，复数项无

12、穷级数，收敛性，科西判据，绝对收敛，一致收敛。 §3.2幂级数、幂级数的概念，比值判别法，根值判别法，收敛圆，收敛半径，幂级数 的性质。 §3.3泰勒级数。泰勒级数的系数计算公式。 §3.4解析延拓*。解析延拓的基本思想。 §3.5罗朗级数。广义幂级数，收敛环，罗朗展开。 §3.6奇点分类。罗朗级数的解吸部分、主要部分，留数，极点，极点的阶，单极点， 本性极点，无穷远点为奇点的情况。（支点不作要求）。大纲-4本章重点： 本章重点：幂级数，比值判别法，泰勒级数，罗朗级数、收敛圆，收敛环，函数按幂级教展开技巧。习 题§3.2（第 46 页

13、）：1，3（1）（3）（5），4（1）（3）。 §3.3（第 52 页）：（1）（3）（6）（8）。 §3.5（第 60 页）：（1）（3）（5）（7）（9）（11）（14）。 §3.6（第 64 页）：（1）（2）（3）。留数定理（ 第四章 留数定理（3）基本要求： 基本要求：1掌握留数定理，了解留数的计算方法； 2应用留数定理计算实变函数的定积分。教学内容： 教学内容：§4.1留数定理。留数定理概念，计算留数的一般方法，判断极点的阶，极点留数的计 算方法，例 1?3。 §4.2应用留数定理计算实变函数的定积分。类型一，类型二。本章重点： 本

14、章重点：留数定理及其计算方法。习 题：§4.1（第 71 页）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（2）（3），3。 §4.2（第 81?82 页）1（1）（2）（5）（6），2（3）（4）（6），3（2）（4）（6） （8）。傅立叶变换（2+1） 第五章 傅立叶变换（2+1）基本要求： 基本要求：1了解非周期函数的傅里叶积分表达式和傅立叶变换的概念。 2掌握傅立叶变换的基本性质与方法。 3了解提出狄拉克函数过程中的创造性思想。 4掌握狄拉克函数的定义、基本性质和常用表达式。教学内容： 教学内容：§5.2非周期函数的傅里叶积分，傅里叶积分的导出，傅立叶变换

15、式，奇函数的傅里叶 正弦积分，偶函数的傅立叶余弦积分。 §5.3狄拉克函数，广义函数的提出，狄拉克函数的定义、表达式和性质。大纲-5本章重点： 本章重点：非周期函数的傅里叶积分的概念，傅里叶变换的定义。狄拉克函数的定义、表达式 和性质。习 题：§5.2（第 103?104 页）：1，3，5。 §5.3（第 113 页）：2。数学物理方程 30 方程（ 第二篇 数学物理方程（303）本篇概述数学物理方程是本课程的重点， 本篇主要是讨论与三类典型的二阶线性偏微分方程对应 的定解问题以及由此而连带引出的本征值问题和特殊函数理论。这三类方程在物理学的许 多领域中具有其广泛的应用，例如在理论力学中的哈密顿方程，电动力学中的麦克斯韦方 程，量子力学中的薛定谔方程等等都与这三类方程有密切的关系。 数学物理方程的意义还在于，对本质上不同的物理问题可以具有相同的数学模型。通过 同一数学模型的研究，反过来就可用类比的方法对不同本质的物理问题进行探讨。所以， 系统地了解这些典型的数学物理方程及其求解方法，无疑是研究物理学的重要手段。 本篇主要是涉及几种常用的方程所对应的定解问题的基本解法， 侧重介绍行波法和分离 变数法。这两种方法是求解数学物理方程定解问题的最基本