空间直线和平面总结 知识结构图+例题

1、【同步教育信息】一. 本周教学内容：期中复习知识串讲空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 3. 平行与垂直关系的转化： 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角：0°90° （2）直线与平面所成的角：0°90° （3）二面角：二面角的平面角，0°180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出

2、有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）定理：截面与底面平行则有 正棱锥的性质概率与统计（一）散型随机变量的分布列性质：二项分布：若则期望：方差：（二）抽样方法【典型例题】 例1. 如图，在四面体ABCD中作截面EFG，若EG，

3、DC的延长线交于M，FG、BC的延长线交于N，EF、DB的延长线交于P，求证M、N、P三点共线。 证明：由已知，显然M、N、P在平面EFG上 又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上 故也在平面BCD上 即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点 它们必在这两个平面的交线上 根据公理2. M、N、P三点共线 例2. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（ ） 分析：如图，取AB中点E，CC1中点F 连结B1E、B1F、EF 则B1E/AM，B1F/NC EB1F为AM与CN所成的角 又棱长为1 选D 例3. 其中正确

4、的两个命题是（ ） A. 与B. 与C. 与D. 与 分析： 错 错 正确，选D 例4. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1）证明PA/面EDB。（2）PB平面EFD。 证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO 底面ABCD是正方形 点O是AC中点 又E为PC中点 EO/PA PA/面EDB （2）PD底面ABCD BCPD BC面PDCBCDE 又E为等直角三角形中点 DE面PBCDEPB PB面DEF 例5. 正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，求证：A1CBC1。 证明：设E、E1分别是

5、BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C 注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。 例6. 下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l面MNP。 分析： 如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直 l面MNP 例7. ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。 分析： 证明： 又ACB=90°，即ACBC D为AC中点 例8. 已知RtABC中，C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将ABC折成直二面角，使A到

6、A的位置（如图）。求： （1）C到AD的距离； （2）D到平面ABC的距离； （3）AD与平面ABC所成角的正弦值。 解：（1）二面角ADEB是直二面角 又AEED，CEED ED面AEC及EC面AED 作EFAD于F，连结CF，则CFAD CF即为C点到直线AD的距离 在RtAED中，EF·AD=AE·ED DE/面ABC E到面ABC的距离即为D点到平面ABC的距离 过E作EMAC于M ED面AEC 又BC/ED BC面AEC BCEM EM面ABC 或者用体积法： 例9. （1）证明： （2）解： 又取BC中点N，连结NF 例10. 将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验

7、，如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时，则称为这次试验成功。（1）求一次试验成功的概率；（2）在试验成功的所有情况中，以表示两次抛掷的骰子出现的点数和，求的概率分布列及数学期望。解：（1）两次抛掷出现点数之和大于9的有（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）（2）在成功的条件下，=10，11，12【模拟试题】一. 选择题 1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ） A. 成异面直线B. 相交C. 平行D. 平行或相交 2. 已知直线a，b，平面，有下列四个命题 ； ； 其中正确的命题有（ ） A. B. C. D.

8、以上都不对 3. 边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，这时二面角BADC的大小为（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 4. 设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 过P有一条直线和a，b都平行 B. 过P有一条直线和a，b都相交 C. 过P有一条直线和a，b都垂直 D. 过P有一个平面与a，b都平行 5. 若a，b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD=AC，BD=BC，则直线a，b所成的角为（ ） A. 90°B. 60°C

9、. 45°D. 30°二. 填空题 6. 设正方体的棱长为1，则 （1）A点到的距离为_ （2）A点到的距离为_ （3）A点到面的距离为_ （4）A点到面的距离为_ （5）的距离为_ 7. 如图，正方形ABCD中，E、F分别是中点，现沿AE、AF、EF把它折成一个四面体，使B、D、C三点重合于G，则=_。 8. 把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离为_。 9. 如图PAO面，AB是O的直径，C是O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：AFPB，EFPB，AFBC，AE平面PBC，其中正确命题的序号是_。

10、10. 平面，其交线为l，AB与所成角为30°，则AB与所成角的取值范围是_。三. 解答题 11. 四面体ABCS中，SB、SC、SA两两垂直，SBA=45°，SBC=60°，M为AB的中点。求： （1）BC与面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成角的正弦值。 12. AB为O的直径，C为弧AB上的一点（异于A、B），PA平面ABC。（1）求证：面PAC面PBC；（2）若AEPC于E，则面AEB面PBC，BE为交线。 13. 在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将ABE折到的位置，使。 （1）求证：平面平面BCDE。 （2）求和面BCD所成角的大

11、小。 14. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90°，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，。 （I）求； （II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。 15. 一个由5人组成的数学课外活动小组，其中2名女生，3名男生，老师每天从5人中随机抽查3人。（1）求一次抽查时，2名女生全被抽到的概率；（2）用表示一周5天中，2名女生同时被抽查的次数，求随机变量的概率分布和它的数学期望。【试题答案】一. 1. C2. C3. C 4. C（当P点和直线a确定的平面与b平行时，则过P点的直线与a不相交，B错，当P点在a或b上时，D不成立） 5. A二. 6. 7. 8

12、. 9. 10. （0°，60° （如图ABD30°，90°BAD30° BAD60° 0<BAD60°）三. 11. 解：（1）SCSA，SCSB SC面SAB SB是CB在面SAB上的射影 SBC是直线BC与面SAB所成的角，且为60° （2）连SM，CM，则SMAB（SAB为等腰Rt） AB面CSM 设SHCM于H，则ABSH SH面ABC SCH为SC与平面ABC所成的角 设SB=SA=a 则 注：“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，却又是面ABC的斜线。 12. 证：（1）PA面ABC，PC在面

13、ABC上射影为AC 又AB为O直径 BCAC BCPC BC面PAC 又BC面PBC面PAC面PBC （2）由（1）知BC面PAC 又AE面PAC BCAE，又PCAE AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 或者：由（1）知面PAC面PBC，PC为交线 又AEPC AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 注：线线垂直线面垂直面面垂直 13. （1）取BE中点M，CD中点N， 连分别为中点 （2）连结MC， 就是与面BCDE所成的角 设AB=a，则 14. 分析：易证AD面SAB （I） （II）延长CD、BA交于点E 连结SE，SE即为面CSD与面BSA的交线 又DA面SAB

14、 过A作AFSE于F 连FD，则DFSE 又易知SAE为等腰直角三角形，F为SE中点 15. 解：（1）2名女生全被抽到的概率为（2）某一天中2名女生全被抽到的概率为则不全被抽到的概率为的取值为0，2，3，4，5则（k=0，1，3，4，5），即，【励志故事】扛船赶路一个青年背着一个大包裹千里迢迢跑来找无际大师，他说：“大师，我是那样的孤独、痛苦和寂寞，长期的跋涉使我疲倦到极点；我的鞋子破了，荆棘割破双脚；手也受伤了，流血不止；嗓子因为长久的呼喊而喑哑为什么我还不能找到心中的阳光？”大师问：“你的大包裹里装的什么？”青年说：“它对我可重要了。里面是我每一次跌倒时的痛苦，每一次受伤后的哭泣，每一次孤寂时的烦恼靠着它，我才能走到您这儿来。”于是，无际大师带青年来到河边，他们坐船过了河。上岸后，