第六课微分方程(讲稿)2010924

1、第六课微分方程第一节微分方程的基本概念1 微分方程凡表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变量之间关系的方程称为微分方程. 简称方程.（1）常微分方程未知函数是一元函数的微分方程；本章只讨论常微分方程. 是例如: , 等等.(2) 偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程.例如: 等.2 微分方程的阶方程中未知函数的最高阶导数的阶数.例如: 为一阶(常)微分方程, 为二阶微分方程.为三阶微分方程.3阶微分方程(1) 一般形式 .注：是个变量的函数；必须出现.(2) 标准形式.注：本章仅讨论是连续函数(在讨论范围内)类型微分方程.(3) 一阶微分方程对称形式 4微分方程的解若函数在区间上使得，

2、则称函数为微分方程在上的解.(1) 通解含有任意常数,常数的个数与微分方程阶数相同，且各个常数互相独立的解.例如，例1中的通解 ；例2中的通解.(2) 特解确定了通解中任意常数以后的解.例如：例1中的特解 ；例2中的特解 .5.初始条件求出特解的条件: .注：的初值；的初值； 此时解微分方程的问题称为初值问题.记作例如:例1中初始条件,例2中的初始条件,.提问：（1）关于微分方程的下列结论:该方程式齐次微分方程 ； 该方程是线性微分方程；该方程式常系数微分方程 ； 该方程为二阶微分方程.其中正确的是 .(A), (B),(C), (D),答由于方程不能化成的形式,因此错;而由方程的形式知其为二

3、阶常系数非齐次线性微分方程,因此,对选(D).（2）微分方程的通解是 .(A) ； (B) ；(C) ； (D) 答由于方程是二阶方程,所以其通解必含两个相对独立的任意常数;(A)求导后代入原方程不能使得等式成立选(B).（3）下列方程中有一个是一阶微分方程,它是 .(A) ；(B) ；(C) ；(D) .答选(D).第二节 一阶微分方程一阶微分方程的常见形式： 或 .一、可分离变量的微分方程1 分离变量的微分方程：形如 或的一阶微分方程.2可分离变量的微分方程：必存在隐式通解(微分方程积分得).例1求微分方程的通解.(1)解分离变量得,两边积分得,即(为任意非负常数).（2）.（3）满足的特

4、解.提示：原方程可化为由得，故通解为 (4)(05.4)微分方程满足初始条件的特解为.巧解由知,故微分方程的通解为,由知,故所求特解为.二、齐次微分方程1齐次方程：形如的一阶微分方程.2齐次方程的解法：设有齐次方程 ,解法：(1) 令则 ；（ 注意 ） (2) 代入原方程得 , 即 ；(3) 两端积分,得上述方程通解 , 其中 ；(4) 再将代入原方程得通解.例2()微分方程满足的特解为.【答案】应填 【详解】作变量代换，则，代入原方程得，即 ，积分由, 故所求特解为 .例3(98.7)设函数在上连续,若由曲线,直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，试求所满足的微分方程,并

5、求该微分方程满足条件 的解.解由于,两边对求导,得即,也即 令,则.当时,方程变为,解之得,所以方程有解,为任意常数,由,知,故所求解为 .当时不符合已知条件（舍）.三、一阶线性微分方程1【定义】方程 称为一阶线性微分方程.(1) 非齐次方程；(2) 齐次方程 ；.2齐次方程的通解：,其中为任意常数.3非齐次方程解的结构：方程 的通解为.其中为原方程的特解,为齐次方程的通解.例4 (06.4)设非齐次线性微分方程有两个不同的解,为任意常数,则该方程的通解是 ( )(A)(B)(C)(D)答(B).因为是非齐次方程两个不同的解,那么就是齐次方程的一个非零解,于是是齐次方程的通解,从而是非齐次方程

6、的通解选(B)不选(A),(C),(D).4非齐次方程特解的形式. ( )5常数变易法解非齐次线性微分方程的步骤(1) 将齐次通解的换成即（将其视为非齐次解）显然.(2) 代入非齐次方程得即.(3) 显然为非齐次的一个特解.6非齐次方程的通解：，其中为任意常数.例5（07.4.10）设函数具有连续的一阶导数, 且满足，求的表达公式.【详解1】即 也即 由题设知，故有 ，从而 = 将代入上式得c =1，所以【详解2】所以 由题设知，故有， 得 两边积分得于是有 由 得 C =0，所以. 【详解3】由题设知，故有由 有 两边积分得 于是 令 代入式得 两边积分得, 因此 将代入上式得c =1，所以

7、例6（灵活解题）解微分方程 .（并不是线性方程，转化为下列形式才可以变为一阶线性微分方程）解 原方程可化为 解相应齐次方程 得通解 .利用常数变异法，令代入原方程整理得，代入得原方程的通解为 .例7（1）（）微分方程的通解为 .（）提示：方程可化为，对应齐次方程的解为，常数变易法得 ，通解为.（2）(90.5) 求微分方程的通解.解 由一阶线性微分方程的通解公式得通解为.解法二 解相应齐次方程 得通解，令代入原方程得，所以原方程的通解为 .（3）(92.5)求连续函数,使它满足.分析：注意方程中隐含的条件.解 对方程两端求导,得,这是一阶线性方程,通解为.由得 ，故所求函数为.（4）(95.6

8、)已知连续函数满足条件,求.解令,则 .（将被积函数化为简单函数）代入题设函数所满足的关系式,得.令,得,上式两端对求导得,故是一阶线性方程满足的特解,由通解公式得,再由知.于是所求函数为 .分析：注意方程中隐含的条件.解积分方程时注意：变限函数积分求导数，定限函数积分求积分.例如：(97.4) 若求.解 将方程两边同时求从0到1上的积分得即 所以 . (97.3)若函数 .答案：.例8 (06.8)在坐标平面上,连续曲线过点,其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数),()求的方程；()当与直线所围成的平面图形的面积为时,确定的值.解()设曲线的方程为且,则,解齐次微分方程得,令,代

9、入原方程,由常数变易法解得 积分得 ,于是,由得故的方程为 .()解方程组 得交点坐标为与直线所围成的平面图形如图,其面积为,又,由,得.例9(03.9) 设,其中函数在内满足以下条件:且,.(1)求所满足的一阶微分方程;(2)求出的表达式.解(1) 由条件有,可知所满足的一阶微分方程为.(2)由一阶线性微分方程的通解公式得方程的通解为.将代入,可得,所以的表达式为.例10(01.7) 已知满足(为正整数),且,求函数项级数之和.解由已知条件可知满足一阶线性微分方程其通解为由,得,故,这样.设,其收敛域为,且,当时,有,于是,由及在的连续性知,上述和函数在也成立,所以当时,有.例11(2010

10、.3.4)设是一阶非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是对应齐次方程的解，则（ ）（A）; (B)；（C）； （D）.答案：（A）.解 利用解性质与解结构判断.由是该方程的解得将代入上述方程得，同理是对应齐次方程的解综合（1）（2）解得.第四节 可降阶的二阶微分方程二阶微分方程通过适当的变量替换可以转化为一阶微分方程，具有此类性质的方程称为可降阶的二阶微分方程.一、型的微分方程（直接积分求通解）由得原方程通解为 .例12求方程的通解.解：两边积分得 ；两边再积分得原方程的通解为 .二、型的微分方程（不显含y的方程）解法：(1) 令（注意为的函数）, 方程化为；解此方程得通解；(1)

11、 再解方程得原方程的通解.对不显含y的方程，通过变量替换，使原方程变为只含、的一阶微分方程，求出通解后再回代得到关于、的一阶微分方程，进而求出原方程组的解.三、型的微分方程（不显含的方程）解法：(1) 令, 视为的函数, 注意到那么 ,代入原方程, 得，解此方程得通解；(2) 再解方程得原方程的通解.对不显含的方程，通过变量替换，使原方程变为只含、的一阶微分方程，求出通解后再回代得到关于、的一阶微分方程，进而求出原方程组的解.例13 解方程 （1）解此方程既不显含也不显含，用不显含的方程求解，设 ，则将 代入方程得，积分得所以 即，积分得通解为 .(2)解此方程既不显含也不显含，用不显含的方程

12、求解，设 ，则代入方程得，两端积分得 所以 即 ，积分得通解为 .例14（96.数12.7分）设对，曲线上一点处的切线在轴上的截距为，求的表达式.解过所给点的切线方程为 ,令得，依题意得，两边求导得（不显含的方程），设，则代入方程得，故 .第七节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程及其解的结构1.【定义】方程称为二阶线性微分方程.其中为实常数，为的已知函数(自由项).齐次方程若,称方程为齐次方程；非齐次方程若,称方程为非齐次方程.2二阶常系数齐次线性微分方程解的结构:1)线性无关：, (为常数,).例如：线性无关. (因常数)2）齐次线性方程解性质：（1）设是方程的解且为任意常数

13、,则仍为方程的解. （2）设与是方程的解,则仍为方程的解.3）结论：设与是齐次线性方程的两个的解,则(是任意常数)为齐次方程的解.4)【 定理1】（齐次微分方程解的结构）设与是齐次线性方程的两个线性无关的解,则(是任意常数)为齐次方程的通解.例:易知均为方程的解,又因线性无关,则方程的通解为, (是任意常数).例:易知均为方程的解,又因线性无关,则方程的通解为, (是任意常数).3.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构：1） 非齐次线性微分方程解性质：（1）设与是非齐次方程的两个的解,则 为对应齐次线性微分方程的解.（2）齐次方程的解,是非齐次方程的解，则是非齐次方程的解.2） 【定理2】（非

14、齐次微分方程解的结构）设是二阶非齐次线性方程的一个特解,是其对应齐次方程通解,则是非齐次方程的通解.提问：为给定非齐次方程的三个线性无关的解，则通解为？5）定理3：（非齐次方程解的叠加原理）设为方程的特解,.则为方程的特解.证明：.二、二阶常系数齐次线性方程及其解法方程 的解形式. 特征方程根方程的通解例15(94.5) 设函数满足条件求广义积分.解 特征方程为,解之得,原方程的通解为, 由初始条件得,故 微分方程的特解为,故.三、二阶常系数非齐次方程及其解法1.方程的形式： (*) 2.解法步骤：(1) 先求出其对应齐次方程的通解 ；(2) 再求出非齐次方程的一个特解；(3) 那么原方程的通

15、解为.3.特解的常见解法：待定系数法；常数变异法.4.待定系数法求非齐次方程的特解两个重要结论：（待定系数法求解）1）设,若是常数（若则），则二阶常系数非齐次方程(*)具有特解,(,均为的次多式).（）的取值如下：（1）若不是特征方程的根,取.（2）若是特征方程的单根,取.（3）若是特征方程的二重根,取.例16(89.5) 求微分方程的通解.解 特征方程为,解之得特征根为和,对应齐次微分方程的通解为 ,其中 为任意常数.由 .设所给非齐次方程的特解为,将代入原方程,得,于是原方程的特解为.综上所述原方程的通解为.例17(00.6) 求微分方程满足条件, 的解.解 对应齐次方程的特征方程为,解之

16、得特征根,对应齐次方程的通解为.由 .设非齐次方程的特解为,则,代入原方程,可得.则.这样原方程的通解为,由初始条件知 ,于是 所求特解为 .例18求微分方程满足条件, 的特解.解 对应齐次方程的特征方程为,解之得特征根,对应齐次方程的通解为.由于为特征方程的根的二重根，设非齐次方程的特解为,则将, ,代入原方程,可得 .则.这样原方程的通解为,由初始条件知,于是所求解为.例19设函数满足微分方程，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求 .解：解微分方程的特征方程 对应齐次方程的通解为，因为 为特征方程的单根，设为原方程的特解，代入原方程得 所以原方程的通解为 .依题意得从而 ，故 .

17、2）设，,若为特征方程的重根,则方程(*)具有特解 , 其中:分别为次多项式，且、均为常数.而的取值如下：（1）若（或）不是特征方程的根,取.（2）若（或）是特征方程的根, 取.例20方程的一个特解.例6解：(1) , , (2) 为特征方程的单根, 取.那么原方程具有特解 (3) , (4) 代入原方程, 有即, .(5) 所以原方程有一个特解.例21 方程的一通解.例7解：由特征方程得对应齐次方程的通解为.又由, , 而为特征方程的单根, 取那么原方程具有特解将,代入原方程, 有即, .所以原方程有一个特解.故原方程得通解为 .（）例22求方程的一个特解.解：(1) , , (2) 不是特

18、征方程的根, ,取.那么原方程具有特解 (3) ,(4) 代入原方程, 有即.(5) 列方程组, , .(6) 所以原方程有一个特解.常数变异法求二阶常系数非齐次线性微分方程特解用观察法找非齐次方程的解很方便，也是可行的.但是对于比较复杂的方程和初学者而言，要观察出特解很不容易.为此介绍一个求非齐次方程的特解的方法：常数变异法.设齐次方程的通解为，其中 ，为任意常数， 是方程的两个线性无关的特解.用取代，即 （1）式（1），以及它的一、二阶导数应使成立，求（1）式对的导数，有 （2）为确定的任意函数，要求满足以下条件：第一个条件是 由此，（2）式变为 （3）将（3）式两边再求对的导数，得将（1）（2）（3）式都代入原方程，整理得由于 是方程的解，所以上式可以化为 （4）（4）式是任意函数满足的第二个条件.即为使 是非齐次方程的特解，应该满足方程组 （5）此为关于的线性方程组，由于线性无关，即不等于常数，所以上面方程组的行列式，因此，上面关于的线性方程组有唯一解.解出后，取积分就可以确定出，代入就得到了非齐次方程的特解.例23 求非齐次方程 的通解.解：不难求出对应的齐次方程组的通解为 设原方程有特解 ，则满足方程组 解之得 ，积分得，从而特解为故原