用基本不等式证题的技巧与策略

1、用基本不等式证题的技巧与策略在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题现举例说明如下一、凑项 在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项例1 设a、b、c均为正数，且a + b + c = 1，求证： + +分析：考虑等号成立的条件时，必须注意a、b、c在问题中的对称地位，即只有a = b = c =时，才有可能达到最值，而此时4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=证明：=· ·，同理·，· + +·4(a + b + c) + 3

2、+ 7 =当且仅当4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=，即a = b = c =时，上式“=”号成立二、配项在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化例2 已知a，a，a均为正数，且a+ a+ + a= 1，求证： + + + 证明：因a，a，a均为正数，故 + a， + a， + a 又因 + + + =( a+ a+ + a) =，所以，把以上各同向不等式相加，得： + + + +a+ a+ + a= 1 故 + + + 三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决例3 已知a，a，a均为实数，且a+ a+ + a=

3、 A (A0)，a+ a+ + a= (nN，n2) ，求证：0a ( k =1，2，n) 证明：构造基本不等式如下：· a()+ a， · a()+ a，· a()+ a 将上述(n1)个同向不等式相加得：( a+ a+ + a)(Aa)+ a+ a + + a，即+a na2aA0，0a 同理可求得0a ( k =1，2，n) 四、平方通过平方运算，一可以把和(积)凑成定值，二可以把和(积)问题转化为积(和)问题例4 若a、b、cR+，a + b + c =3，求证： + +3证明：( + +)= 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 +2 +2

4、+ 22(a + b + c) + 3 + (2a + 1) + (2b + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2c + 1) + (2a + 1) = 6(a + b + c) + 9 = 27 +3五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用例5 已知a、b、cR+，a + b + c = 1,，求证： +4证明：引入待定正参数t ，t=(t+ 13a + 1) ，同理t=(t+ 13b + 1) ，t=(t+ 13c + 1) 。 + + 得：t( +)(3t+ 13a + 13b + 13c + 3) =t+

5、8 t0 ， +t + 由于t0 ，则t +2= 3当且仅当t =，即t =时，式取等号，将t =代入得： +4 六、换元通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使证题思路自然、简捷例6 已知a、b、c为ABC三边的长，求证：abc(a + bc)(b + ca)( c + ab)证明：设m = b + ca，n = c + ab，p = a + bc，则由三角形两边之和大于第三边，得m0，n0，p0，且a =， b =，c = 于是abc =····= mnp = (a + bc)(b + ca)( c + ab)七、配对根据已知不等式的某一边结构，给其配上一个与之对称的代数式，然后将两个代数式联立再使用基本不等式，完成不等式的证明例7 设a，a，a和b，b，b均为正数，且a+ a+ + a= b+ b+ + b ，求证： + + + ( a+ a+ + a)证明：设M = + + + ，给M配对：N = + + + 则MN = + + + = (ab) + (ab) + + (ab) = (a+ a+ + a)(b+ b+ + b) = 0 M = N 当注意到a+ b(a + b)和a+ a+ + a= b+ b+ + b得：M + N = +