数学问题的内部表征及其图式

1、数学问题的内部表征及其图式（华南师范大学 数学科学学院 吴跃忠 510631）学习者在头脑内部对于数学问题的表征与数学问题的呈现方式往往不一样，同时，学习者在头脑内部对问题的解答模式也与教师的呈现的模式不一样认知心理学试图设计出学习者对于数学问题的表征图式，以替代数学家给出的形式化的数学结果，实验结果表明，初学者对于图式的理解优于抽象的数学结论；此研究结论对于数学教师的启示在于，教师的解题经验往往不能成为学习者的图式关键词：表征；图式；模式；隐含条件1 问题提出数学知识经由数学家千锤百炼而成，它不适合学习数学史告诉我们，几乎数学的每一项知识都从某个水平上开始，经历抽象化、形式化和符号化的过程，

2、最终被逻辑地形成数学知识结构，在教学中，恰恰很难复制这个过程，因而这个过程常常被掩埋，弗赖登塔尔说过，如果将数学知识按照数学家最后形成的形态直接传授给学生，那就是“数学教学法的倒置”1，认为这样的数学教育抹杀了数学的创造精神，以及切割了绚丽多彩的思维活动；事实上，不仅数学教育家认识到这个问题严重性，数学教育工作者以及有经验的数学教师在实践中同样也识到了这个问题，他们一直在与这个问题搏斗在过去的数学教材教法著作中，将数学家的知识改造为符合教学规律、学生认知规律，以及心理特征的方法，称之为“教学法处理”用认知心理学的术语来讲，教学法处理的实质是使得学习者内化数学知识，并将呈现于纸质媒介上的数学知识

3、知识结构，内化为学习者头脑中合理的知识结构认结构数学教师在对数学材料进行教学法处理的实践活动中，创造了许许多多的优秀方法，这些方法是我国数学教育的特色之一，也是“双基”实践的重要基石如三角函数中的8个同角关系式的六边形记忆法，诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”等，这些工作都试图将繁杂的数学公式的记忆进行教学法处理，以帮助学习者优化认知结构，我们将经过教学法处理后的数学知识，称之为图式，以下我们还将从认知心理学的角度认识图式概念把写在纸上的知识（结构）内化为学习者头脑内部的知识（结构），这就要求教师评估知识结构在学习者的头脑内部结构中是什么样的形态，或者说，学习者在其头脑中如何描述知识结

4、构；例如，数学家在形式化定义函数之前，他在头脑中的函数形态应该不是写在纸上的那种形式，到底是什么样的形态，可能永远都是一个迷因此，问题产生了，对于一个初学者，如果我们不知道他头脑里关于当前学习材料的图式，因而我们给出的教学法处理所得的图式就是臆断的，并非学习者在头脑中所描述的，如果这个图式与学习者头脑内部所描述该项知识的形态相差较远，教学效果必然受到这个差距的不利影响，因此，寻找合适的图式，是提高教学效率的一个重要因素心理学家将人们头脑中对外界事物的描述称为表征2，由此我们可将教学法处理理解为，创建适应于大部分学生的关于某个数学材料的共同表征，事实上，表征是极具个性化的，对于同一个数学材料，或

5、许不同的人具有不同的表征，对于数学问题的内部表征将决定该问题的解决，以及对数学的理解本文将讨论数学问题表征的图式，揭示表征的困难性，以及经验对于表征的误解2 问题的表征结构研究表明，人们确实能对外界事物进行表征，认知心理学家已经研究了不同的表征类型，但是，认知心理学家并没有真正解决人们关于事物的清晰的表征，亦即，并不能为人们头脑中关于外界事物的表征画一张图谱，因此，所有的写在纸上的所谓表征都是猜测，或者是被表征对象与表征之间的媒介物，因此，我们对表征的描述只是学习者的内部表征与学习材料之间的某个点，而表征则是这个点最终的极限位置由于描述表征的困难性，部分心理学家将注意力放到研究表征的属性上2，

6、而对数学教育比较接近的表征属性是表征结构，也就是大家熟悉的图式图式是一种类别表征，这与数学问题解决中将问题分类的训练方法颇为相似心理学家一直在寻找抽象的形式化数学结论与人的内部表征之间的桥梁，为学习者理解数学提供途径，以下我们介绍一个相关研究如所之，方程由算术发展而成，是人们将某类应用问题的解法形式化的结果美国心理学家Reed（1987）、中国心理学家莫雷（2004）研究了一次代数方程图式与一次代数方程对学习的影响，研究结果表明，对于初学者而言，图式较之方程更易理于解数学问题解决的原理以下的案例属于Reed3火车A以200km/h的速度开出车站向东行驶，两小时之后，火车B开出同一车站也向东行驶

7、，但速度是250km/h问火车B何时将会赶上火车A？其方程类型为： 图式类型：每个D-R-T图式模式都对应一列火车，表示为垂直方向，而与之相关的信息则被安排在水平方向无论是从垂直方向还是水平方向，由直线相连的椭圆中都能读出一个完整的方程显然，上述两位心理学家是利用学生易于理解的准“流程图”来替代数学中的字母符号与方程，用这个代数图式去接近人脑对于应用题模型的表征显然，我们只能证明，对于初学者，这个图式表征优于方程，而不能证明这是最好的，正如前述，图式是一个动态的过程，而代数图式这是这个过程中一个点从图式视角来看，我们也可以将寻找图式的过程看成是降低难点过程，数学教师在自己的职业生涯中，做得最多

8、的工作就是帮助学生克服数学理解、记忆上的困难，并为此发明了许多方法，以下我们将讨论其中与问题解决有关的一种图式3 解题模式中的图式解题教学在我国高中数学教学中占有主导地位，教师们丰富的解题经验自然增进了对解题的理解，并且力求上升为解题模式，这些模式中最为引人注目的作用是将数学问题分类，每类数学问题的解决形成一个解题模式，理想状况是，学生一旦掌握了这个模式，将能够顺利解决这个模式所包含的所有问题仔细一想，这里至少产生两个问题，其一，在浩瀚的题海里可能存在着无数这个样的模式，我们无法穷尽所有模式，因为从无穷的观点来看，模式总类和数学问题的个数一样多；其二，老师或熟练的解题者所发展的模式，不一定是学

9、生头脑中表征的结构图式前一问题的讨论涉及到“双基”训练，超出本文讨论范围，我们重点讨论后一问题上述表征理论告诉我们，如果用一个模式来代表一个类，这个模式就应该接近图式，模式越接近图式，学生就越能更好地掌握该模式代表的问题类，上述表征理论还告诉我们，所谓模式，是教师以成熟的解题者的身份来界定的某个类，而学习者的内部表征里，或许根本就不存在这个模式以下，我们以一篇解题经验论文所讨论的解题模式为例，讨论模式与图式的关系傅世球先生（2005）4从类比、概念、联想、推理、计算和数形结合六个方面论述隐含条件的挖掘，给出了六种对付隐含条件的模式，充分展示了作者丰富的解题经验，如该文第一个模式为“仔细分析已知

10、条件，从类比中挖掘隐含条件”，作者是这样论述通过类比发现隐含条件的： 例 已知，求证：. 例1 已知，且，求证：将待解的例与熟知的例1类比，从而发现隐含条件，因此例变为例1，由于例1已经是熟悉的结论，例随之迎刃而解请注意，该文将类比应用于发现隐含条件，如果类比源例1已经被解题者表征为图式，而且，解题者还具备发现隐含条件的类比图式，则解题者容易将类比源的方法或结论应用于靶问题例上相反，若解题者的内部表征中根本不存在例1这样的图式，进一步，解题者的认知结构中亦不存在发现隐含条件的解题模式，此方法只是熟练解题者“一箱情愿”地将类比源与靶问题相组合以构作发现隐含条件的模式我们要讨论的是，学生在实际解题

11、中是否真的通过这样的类比发现隐含条件如果学生不是用类比发现隐含条件，就证明了，解题者不具备用类比方法发现隐含条件的图式我们用该例做了一个小实验选取某师大二年级数学系的68名学生作为被试，每人发一张A4答题纸，将例投影到屏幕，要求被试在40分钟内独立完成该题，不写姓名要求无论是否会做，都应将思路写在答题纸上，同时草稿也书写在答题纸上.实际回收64份，从中挑出成功发现隐含条件，以及用其它方法正确解答的试卷，一共27份我们发现，学生发现隐含条件的模式有明显集中的二种趋势，这些趋势与文关于通过类比发现隐含条件的论述大相径庭，以下将描述并讨论这些差异3.1 化归图式在27份有效答卷中，经过检查草稿纸，发

12、现有19名被试利用换元法化或观察法发现隐含条件，这19名被试中有9人给出了正确的证明从草稿上，没有发现任何存在类比源例1的迹象，而是采用化归的手段发现隐含条件如所知，化归与类比的关键差别是化归经过一系列化简或变形等手段，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题；类比需要类比源，然后比较两者之间的通过比较异同，从而发现隐含条件另外，下面的发现也足以证明，被试并未获得类比源被试对于化归为例1后的解答方法形形色色，表明他们是将例1作为全新数学题来求解，据此可知例1并未成为类比源这里给出被试所使用的两种方法：方法1：求平面上的点，使得其在球中的半径最短，从而求得当时，的最小值为方法2：，使得，则有根据上述分析，

13、利用化归发现隐含条件的被试并没有形成利用类比挖掘隐含条件的图式，亦没有形成类比所需要的类比源图式，而化归成为被试的解题图式，或者被试首先具有换元图式3.2 双基中的图式与上述的化归图式不同，有4名被试并未明确提出隐含条件，隐含条件在解题过程中被自然地使用这四名被试解题过程虽有不同，却都是使用综合法，我们称之为双基中的综合图式如有被式这样做：由幂平均不等式（这里是正数，是正整数）知例是的特殊情形即，. 注意到不等式右边运算中使用了隐含条件上述解答表明综合法成为被试的图式，并且常用的不等式也已成为被试的图式另有4名被试利用不等式证明中的分析法与作差法，姑且称之为分析图式与作差图式，成功避开文预设的

14、隐含条件分析图式：将原不等式左式换底，得经不太繁复的运算，最终有作差图式：左式减右式再换底，得注意到，上述解答过程中没有出现新的条件，也没有式子“消失”，只是利用换底公式替换掉隐含条件“”分析法与作差法是不等式部分的重要知识，被试形成这两种方法图式不足为奇这个实验证明，对于一般的解题者（广东重本考生）而言，发现隐含条件的图式并非通过类比，其原因在于，这种水平的解题者并未在头脑内部表征大量的问题模型而是将化归方法和不等式证明的基本方法（综合法、分析法、作差法）表征为问题解决的图式需要指出的是，作者作用类比发现隐含条件虽然有大运动量训练的局限性，但也有其合理的一面，即解题者若熟练至能将数学问题结构

15、化，则可以较大地提高解题效率14 问题解决的图式与经验本文从人脑对于外界事物的内部分表征视角，介绍了心理学家关于数学问题表征的图式方法，虽然心理学家已经证实了表征的存在性2，但心理学家并没有发明一种探知学习者个体对于问题表征的形态的方法，而是假设问题解决模式的某种呈现方式为学习者的图式，由于这种图式较之抽象的数学表达式更为直观，因而可成为某个水平上的数学问题的入门级的学习材料另一方面，教师根据解题经验获得的问题分类模式，可能存在适应性的问题，即这些分类并非适合于大部分学习者，因为学习者和有经验的解题者关于问题解决的图式有着根本的不同，这就是所谓“新手”与“专家”的区别数学问题的表征结构图式，使我们以新的视角观察学习者的解题，寻找最为接近学生的图式成为备课的一项重要工作，教师