列主消元法课程设计

1、数值分析课程设计列主消元法解方程组院（系）名称 信息工程学院 专 业 班 级学 号学 生 姓 名指 导 教 师2013 年 05 月 31日 数值分析 课程设计评阅书题目列主消元法解方程组学生姓名学号指导教师评语及成绩指导教师签名： 年 月 日答辩评语及成绩答辩教师签名： 年 月 日教研室意见总成绩： 教研室主任签名：年 月 日课程设计任务书20122013学年第二学期专业班级：学号： 姓名：课程设计名称： 数值分析、设计题目：列主消元法解方程组 完成期限：自 2013年 05月 21 日至2013年05 月31日共 10天设计依据、要求及主要内容：一、设计目的 熟练掌握求解方程组的列主消元法

2、，并应用Matlab软件编写列主消元法解方程组的程序，应用列主消元法求解线性方程组.二、设计内容 (1) 掌握列主消元法的背景及其构造原理；(2) 编写列主元高斯消去法和列主消元法的Matlab程序；(3) 调用编写的函数求解方程组；(4) 通过所学知识对列主消元法有一个充分的认识并对该课程设计进行总结.三、设计要求1了解列主消元法的背景及构造原理.2正确编写列主消元法的MATLAB程序并调用求解方程组.3. 对列主消元法求解方程组有一个充分认识，并进行总结. 计划答辩时间：2013年 06 月 5 日工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字指导教师（签字

3、）： 教研室主任（签字）：批准日期： 2013 年 05 月 20 日列主消元法解方程组摘要在自然科学和工程中有很多问题的解决归结为求解线性方程组或者非线性方程组的数学问题。求解线性方程组的直接法主要有选主元高斯消去法、平方根法、追赶法等.列主元素消去法既是选主元高斯消去法的一种，也是实际计算中常用的部分选主元消去法.本文即是讨论利用列主元素消去法求解线性方程组问题.通过掌握的列主消元法的背景及构造原理，编写MATLAB程序并调用函数成功求解线性方程组.并对其结果进行分析与讨论，得到结果比之高斯法更为精确.关键词：列主消元法,MATLAB,线性方程组目 录1 前 言12 列主元消去法的背景13

4、 列主元消去法的构造原理23.1 列主高斯消元法44 MATLAB程序实现54.1 列主高斯消元法75算法分析9总结10参考文献101 前言在科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解线性代数方程组，其中所产生的线性方程组，其系数矩阵大致可分为两种：一种是低阶稠密矩阵；另一类是大型稀疏矩阵（此类矩阵阶数高，但零元素较多）.对于这两种矩阵，我们可以把线性代数方程组的数值解法大致的分为两类：直接法和迭代法。迭代法一般用来求解大型稀疏矩阵方程组（本文不予讨论）；直接法是目前计算机上解低阶稠密矩阵的有效方法，如果计算过程中没有舍入误差，则此种方法通过有限步四则运算可求的方程组的精确解，但实际计算中由于

5、舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得方程组的近似解.直接法主要有选主元素高斯消去法、平方根法、追赶法等。本文所要讨论的列主元素消去法就是选主元素高斯消去法中的一种.2列主元消去法的背景高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，也是解线性方程组问题中较为常见的一种数值方法。但在采取高斯消去法解方程组时，当采用绝对值很小的主元素时，可能导致计算结果的失败，故在消去法中应避免采用绝对值很小的主元素。对于一般的线性方程组，需要引进选主元的技巧，即在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵或消元后的低价矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数 ，以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响.选主元素消元

6、法则是对高斯消去法的改进，是解低价稠密矩阵方程组的有效方法。选主元素消元法则避免了采用绝对值很小的主元素.选主元素消去法主要有完全主元素消去法与列主元素消去法两种。完全主元素消去法即是每次按行列选取绝对值最大的元素作为主元素，进行行列交换，之后再完成消元计算.在完全主元素消去法计算过程中舍入误差能得到有效的控制，对计算的影响较小，具有更好的数值稳定性.列主元素消去法则是对完全主元素消去法的又一次改进。列主元素消去法在完全主元素消去法的基础上减少了在选主元素时所要花费的一定的计算时间.此论文将介绍列主元消去法的基本思想和原理.3列主元消去法的构造原理设有线性方程组其中，为非奇异矩阵.方程组的增广

7、矩阵为:首先在的第1列选取绝对值最大的元素作为主元素，即选择然后交换的第1行与第行（交换后增广矩阵为简单起见仍记为，其元素仍记为）.经过第1次消元计算得到与原方程组等价的方程组：其中 上述过程可记为 ：重复上述计算过程，现假设已完成第k-1步的选主元素过程，交换两行并进行消元计此时约化为：其中的元素仍记为，的元素仍记为.第k步选主元素（在右下角方阵的第1列内选），即确定，使交换第行与行的元素，再进行消元计算，最后将原线性方程组化为：回代可求解得：算法描述：对于k=1,2,.n-1做到（4）.（1）按列选主元，即确定使（2）如果，则A为奇异矩阵，停止计算.（3）如果，则交换第行与第k行元素.（4

8、）消元计算：（5）回代计算： 3.1列主元高斯消去法设有线性方程组Ax=b，其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为：第1步（k=1）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素，作为第一步的主元素：然后交换（A，b）的第1行与第l行元素，再进行消元计算。设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组 A(k)x=b(k) 第k步计算如下： 对于k=1，2，n-1 （1）按列选主元：即确定t使（2）如果tk，则交换A，b第t行与第k行元素。 （3）消元计算 ：消元乘数mik满足：|（4）回代求解：4通过计算机利用列主元素消去法求解线性方程组计算

9、机在科学和工程设计中应用日益广泛.把科学和工程设计中的具体问题抽象为数学问题，建立起能描述并等价代替该实际问题的数学问题，编制出计算机程序，就能够使得复杂问题得到妥善的解决.下面及描述列主元消去法的程序过程.对于已给定的，其程序框图如下：输入n, ，按列选主元否换行否消元计算是是输出停 机回代求解 （当）输出计算解及行列式值及det停 机（注：为矩阵的行数；为输入的一精度，用于判断的行列式是否约等于0）4.1 列主高斯消元法主程序如下：function RA,RB,n,x=gaus(A,b) %列主高斯消元法求解Ax=b.%A为方程组所构成的矩阵.%b为方程组的结构构成的列矩阵.B=A,b;%

10、B为增广矩阵.n=length(b); %n为矩阵b的长度.RA=rank(A); %RA为矩阵A的秩.RB=rank(B); %RB为矩阵B的秩.zhicha=RB-RA;if zhicha>0 %利用B的秩与A的秩之差判断方程组有无解 disp('因为RA=RB，所以方程无解') returnendif RA=RB%系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 if RA=n disp('因为RA=RB=n.所以方程有唯一解.')%系数矩阵的秩（增广矩阵的秩）等于未知量的个数 x=zeros(n,1); c=zeros(1,n+1); for p=1:n-1 for

11、k=p+1:n l=B(k,p)/B(p,p); B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-l*B(p,p:n+1); %将B化为阶梯型 end end b=B(1:n,n+1); A=B(1:n,1:n); x(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)/A(q,q);%回代过程（在消元过程中一次利用后一方程的解代入前一方程将解逐个解求出的过程） end else disp('因为RA=RB<n.所以方程有无穷解.') endend使用主程序求解方程组，例如：上述例题，调用函数求解

12、：A=1 -1 1 -3;0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1;b=1 0 -1 -1'RA,RB,n,x=gaus(A,b)结果如下：因为RA=RB=n.所以方程有唯一解.RA= 4RB= 4n= 4x= 0 -0.5000 0.5000 0列主元消去法具有较高的计算精度，可以有效地减少运行过程中带来的误差。5 算法分析列主高斯消元法是高斯消去法的改进，高斯消去法的主要思路是将系数矩阵A化为上三角矩阵，然后回代求解.高斯消元法简单易行，且计算量较小，但顺序高斯消去法只适用于从1到n-1阶顺序主子式均不为0的矩阵A，当主元素为0时，顺序高斯消去法不能进行；且出现小

13、主元时，会严重影响计算结果的精度们甚至导出错误的结果.例如：用高斯消去法求解，则消元过程矩阵表示为：回代求解得：=0.5000，=0.0000比较准确解：=0.499998.，=0.250001比较严重失真.而列主元高斯消元法比之普通的高斯消去法要多一些比较运算，但是比普通的高斯消去法要稳定的多.所以列主元高斯消去法是目前直接发的所选算法.总 结通过一段时间的不懈努力，数值分析课程设计终于完成通过这次课程设计，我收获了很多，也学习很多在设计过程中，使我把理论的知识与实践结合到了一起，达到了理论与实践的结合此外，也提高了自己的动手能力在程序编译过程中一直都有出错，通过查找资料，并通过MATLAB

14、编译程序也经常出错，不过经过两天努力也终于得到了有效且正确的程序.而在这过程中也深刻认识到了自己在程序编辑上的不足，以后也应该加强这方面的学习.在设计过程中，我也了解到了列主消元法的一些知识。列主元素消去法的提出有效的控制了舍入误差的扩散，且相对于完全主元素消去法，其选主元素比较方便。，利用列主元素消去法解线性方程组时仅需要选出每列中绝对值最大的元素，计算量为，也了解到了列主消元法比高斯消元法的结果更加精确，从上面的例题可看出，利用计算机来求解方程组大大的减少了计算时间.当然，利用计算机来解决工程实际和科学技术中的复杂问题，也是21世纪现代化的要求.把建立好的数学模型用计算机描述出来，这不仅使问题变得简单化，还大大的缩减了计算所需的时间，体现了数学与计算机的紧密结合.在以后的工作生活中我们要学会善于利用计算机与数学的关系，把复杂的问题简单化，减少计算时间，提高工作的效率.利用MATLAB软件编写高斯消元法求解线性方程组是一种比较好的方法，并且求得的结