变化率与导数导数的计算

1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，如2012年广东T12，辽宁T12等2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用.归纳·知识整合1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在

2、xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x) 为f(x)的导函数探究1.f(x)与f(x0)有何区别与联系？提示：f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值2曲线yf(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切

3、线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条3过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数yf(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点2几种常见函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(

4、x)3导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积自测·牛刀小试1(教材习题改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为()A0B3C4 D解析：选Bf(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2曲线y2xx3在x1处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解

5、析：选Af(x)2xx3，f(x)23x2.f(1)231.又f(1)211，切线方程为y1(x1)，即xy20.3yx2cos x的导数是()Ay2xcos xx2sin xBy2xcos xx2sin xCy2xcos xDyx2sin x解析：选By2xcos xx2sin x.4(教材习题改编)曲线y在点M(，0)处的切线方程是_解析：f(x)，f(x)，f().切线方程为y(x)，即xy0.答案：xy05(教材习题改编)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析：由题意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312.答案：2导数的计算例1求

6、下列函数的导数(1)y(1)；(2)y；(3)ytan x；(4)y3xex2xe.自主解答(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)·ex3xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”如何求解？解：ysin sin cos sin xycos x 求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，

7、但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量1求下列函数的导数(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y.解：(1)yxx3，y(x)(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，y.(4)ycos xsin x，ysin xcos x.例2求下列复合函数的导数：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)自主解答(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成，yf(u)

8、·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由yu与u3x复合而成yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyu·ux，y·(2x5).复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的

9、顺序复合而成的，分清其复合关系2求下列复合函数的导数：(1)y(1sin x)2；(2)yln ；(3)y；(4)yx .解：(1)y2(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x.(2)y(ln )·( )·(x21)·(x21).(3)设u13x，yu4.则yxyu·ux4u5·(3).(4)y(x )x·x .导数的几何意义例3(1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_

10、(2)已知曲线yx3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程自主解答(1)y，yx，y|x44，y|x22.点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(2,2)，在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8.在点Q处的切线方程为y22(x2)，即y2x2.解得A(1，4)，则A点的纵坐标为4.(2)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x0±2.切点为(2,4)或，切线方程为y44(x2)或y4(x2)，即4xy4

11、0或12x3y200.答案(1)4若将本例(2)中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？解：设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yx·xx. 点P(2，4)在切线上，42xxf(4,3)，即x3x40.xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20.解得x01或x02.故所求的切线方程为4xy40或xy20.1求曲线切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为yy0f(x0

12、)·(xx0)2求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解3已知函数f(x)2 (x>1)，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线l分别交x轴和y轴于A，B两点，O为坐标原点(1)求x01时，切线l的方程；(2)若P点为，求AOB的面积解：(1)f(x)，则f(x0)，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线方程为yf(x0)(xx0)，即y .所以当x01时，切线l的方程为xy30.(2)当x0时，y；当y0时，xx02.S

13、AOB，SAOB.导数几何意义的应用例4已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.B.C. D.自主解答由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a<0时，需满足0，解得a<0.综上，a.答案A导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)

14、(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解4若函数f(x)sin(0<<)，且f(x)f(x)是奇函数，则_.解析：f(x)sin，f(x)cos.于是yf(x)f(x)sincos2sin2sin2cos(x)，由于yf(x)f(x)2cos(x)是奇函数，k(kZ)又0<<，.答案：1个区别“过某点”与“在某点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点4个防范导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除

15、法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧. 易误警示导数几何意义应用的易误点典例(2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或B1或C或 D或7解析设过(1,0)的直

16、线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以选A.答案A1如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；(3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提1曲线y在点M处的切线的斜率为()A B.C D.解析：选

17、By，故y.曲线在点M处的切线的斜率为.2已知函数f(x)x3fx2x，则函数f(x)的图象在点处的切线方程是_解析：由f(x)x3fx2x，可得f(x)3x22fx1，f3×22f×1，解得f1，即f(x)x3x2x.则f32，故函数f(x)的图象在处的切线方程是y，即27x27y40.答案：27x27y40一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013·永康模拟)函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()解析：选D据函数的图象易知，x<0时恒有f(x)>0，当x>0时，恒有f(x)<0.2若函数f(x)c

18、os x2xf，则f与f的大小关系是()AffBf>fCf<f D不确定解析：选C依题意得f(x)sin x2f，fsin 2f，f，f(x)sin x1，当x时，f(x)>0，f(x)cos xx是上的增函数，注意到<，于是有f<f.3已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0 B1C. D2解析：选Cf(x)3x22tx4，f(1)32t40，t.4曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1解析：选A依题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为y|x

19、0，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即y3x1.5(2013·大庆模拟)已知直线ykx与曲线yln x有公共点，则k的最大值为()A1 B.C. D.解析：选B从函数图象知在直线ykx与曲线yln x相切时，k取最大值y(ln x)k，x(k0)，切线方程为yln k，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k1，k.6设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是()Af(x)>0 Bf(x)<0Cf(x)>x Df(x)<x解析：选A由已知，令x0得2f(0)>0，

20、排除B、D两项；令f(x)x2，则2x2x4x2>x2，但x2>x对x不成立，排除C项二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4.f(0)4.答案：48已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.答案：xy209若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范

21、围是_解析：曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，即f(x)0有正实数解又f(x)5ax4，方程5ax40有正实数解5ax51有正实数解a<0.故实数a的取值范围是(，0)答案：(，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求yf(x)的解析式解：由已知得，12f(1)50，f(1)2，即切点为(1，2)又f(x)，解得f(x).11如右图所示，已知A(1,2)为抛物线C：y2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：xa(a<1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求

22、直线l1的方程；(2)求ABD的面积S1.解：(1)由条件知点A(1,2)为直线l1与抛物线C的切点y4x，直线l1的斜率k4.所以直线l1的方程为y24(x1)，即4xy20.(2)点A的坐标为(1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，4a2)，ABD的面积为S1×|2a2(4a2)|×|1a|(a1)3|(a1)3.12如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，n)(1)试求xk与xk1的关系(k2，n)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解：(1)设点Pk1的坐标是(xk1,0)，yex，yex，Qk1(xk1，exk1)，在点Qk1(xk1，exk1)处的切线方程是yexk1exk1(xxk1)，令y0，则xkxk11(k2，n)(2)x10，xkxk11，xk(k1)，