程序代码变分法建模

1、1变分法简介变分法简介2 产品价格最佳调整产品价格最佳调整3 生产设备最大经济效益生产设备最大经济效益变分法建模变分法建模1 变分法简介变分法简介一、变分法的基本概念一、变分法的基本概念 1.容许函数集容许函数集 满足条件满足条件 (1) 在在 上逐段连续可导上逐段连续可导; (2)满足边界条件的一切函数满足边界条件的一切函数 构成容许函数集构成容许函数集.2. 适合不等式适合不等式 的容许的容许函数集函数集,称为函数称为函数 的的 邻域邻域.3.泛函的概念泛函的概念 设设S为一个容许函数集为一个容许函数集,若对于每一个函数若对于每一个函数都有一个实数都有一个实数J与之对应与之对应,则称定义在

2、则称定义在S 上的泛函上的泛函,记为记为 . ( )x t( )x t00| ( )( )|fx tx tttt 0( )x t( )x tS ( )J x t0 ,ft t10 ( )( )J x tx t dt0( )( )00( )( ),( )( ),( )( ),kkx tx tx tx txtxt0 ( ) ( )J x tJ x t ( )J xt0( )x tn. 0( )x t( )x t0( )( )( )x tx tx t ()J xt00( )( )( )JJ x tx tJ x t 0( )x t00( ),( )( ),( )JL x tx tR x tx t (

3、)x t( )x t0 ( ),( )L x tx t ( )J x t0( )x t00 () (),()J x tLx txt ()J xt0( )x t ( )J x t0 ( ) ( )( )J x tJ x tx t( )x t ( ),( ) ( ),( )L x tx tL x tx t00 ( )( )limJ xxJ xJ x tx t ,L xx( )Jx t11220,nnJJ xx xxxx0( )0J x t ()J xt0( )x t0 ,ft t0( )()0ftt( ) t0 ,ft t0( ) ( )0fttM tt dt0 ,ft t( )0.M t 0(

4、,)ft t12( ,) 0122121220( )() ()( , )0( , )ftxxxxxxt )(x212212( )() ()M t ttdt( )0.M t 则在内，0 ,ft t0( )()0ftt( ) t0 ,ft t0( )( )0fttM tt dt0 ,ft t( ).M tC0 ( ),( ), fttJF x tx t t dt( )x t00( ),x tx0 ( ) ( )( )J x tJ x tx t00, fttF xx xx tdt0( , )( , )ftxxtFx x txFx x tx dt(),ffx tx它是这类最简单泛函的极值的必要条件.0

5、( )()0fx tx t00( , )( , )ffttddtxxttFx x txdtFx x txdt x0()()0fx tx t( , , )( , , )0dxdtxF x x tF x x t0 , ( ,; ,; )fttJ x uF x x u u t dt( ,; ,; )( ,; ,; )0( ,; ,; )( ,; ,; )0dxdtxdudtuF x x u u tFx x u u tF x x u u tFx x u u t00( )( )( )x txx ttffttdt000, |fftdttJF xx xx t dt000()() |(,)|fffftdtxf

6、fft tdtxtF x F x dtF xx xx tdt dt 0()|ffftxt tt tfxxtdFFxdtFxFdtdtft( )x t()fx tft()()()ffffffx tdtx tdttdt0,( )( )( )fffffx tdtx ttdt( ) ( )( )ffffx ttx tdt0()ft tfxFx Fdtfdt0()ft txFx F( )xt0fdt ()fx t|0ft txF( )xt0|0ft txFx F( ) ( ), ( ), x tf x t u t t0 ( ) ( ), ( ), ( ), ftfftJ u tx ttF x t u t

7、 t dt01 ( ) (), ( ), ( ), ( ) ( , , )ftTfftJ u tx ttF x t u t ttf x u txdt( , , , ) ( ), ( ), ( ) ( , , )TH x utF x t u t tt f x u t01 ( ) (),( , , , )ftTfftJ u tx ttH x utx dt1 ( ) ()(),ffffJ u tx tx ttdt00(, )() () |fftdtTtH xx uutxxdt() ( , , , )| () fffTTftt tfxt tdtF x utx t0() () ()ftTTTxutxHH

8、xu Hdt,(),ffdtx txu*,x( , , )xHf x u txH ( , , , )Hxu t0uH *,xu00( )x tx()()ffx tt( , , , )|fftt tF x ut (用于确定 )*x*ft*x*x*( ) ( ), ( ), x tf x t u t t00( )x tx0 ( ) (), ( ), ( ), ftfftJ u tx ttF x t u t t dt, ,fF( , , )xHf x u txH ( , , , ) ( ), ( ), ( ) ( , , )TH x utF x t u t tt f x u t*(, )max(,

9、, )u UH x utH x ut00( ), (),ffx tx x tx00()( ), () (),ffx tffx txtx tt00()( ), () (),ffx tffx txtx tt (), (), (), (),0ffffftffH x tu tttx tt12122(0)0(0)0 xxxxux*( )u t1201( )2Ju t dt2112Huxu*210( ),0Hutu 11(1),( ) t 121,(0)0 xx x21 2222(1),( )2,2,(0)0tt xt x 222311( )221( )6xtttx ttt 37 *36( ).77u t

10、t 212( )240C SSS520( )-( )J pSp C S dt52223202025000102002005240ppppppdt3202200( 1000010200200 )0ddtpppp1000032020pp0.01730.017312( )67.333ttp tc ec e1215.391,12.724.cc 0.01730.0173( )15.39112.72467.333ttp tee( )dpu tdt0( ),70,100fdpu tppdt5222320( )2025000102002005240J uppuupudt22322025000102002005

11、240Hppuupuu 0Ht10000102002000up1000010200200up10000200ddudpdtdtdt2210000200dd pdpdtdtdt( )3202200pdpu tdtdHpudt 22100002003202200d pdpdppdtdtdt22100003202d ppdt 070,100fpp0.01730.017312( )67.333ttp tc ec e0.01730.0173( )0.2660.220ttu tee( )170000J u Wtu)( )x tu(t)W模型假设模型假设00maxmax ( ( )()( )( )d ( )

12、( )( ) ( ).d(0),0( )fftttfJ u tx tepx tu t edtx tm tg t u tsttxxu tu 模型建立模型建立设保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价）为设保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价）为g(t) 设设 t 时刻生产率为时刻生产率为 px(t)转卖价转卖价x(t)，保养费，保养费 u(t)，生产率，生产率 px(t)均以贴现方式计算均以贴现方式计算转卖时间、转卖价自由，保养费为有界转卖时间、转卖价自由，保养费为有界模型求解模型求解( )( )( )( ) ( )tHpx tu t em tg t u t定义定义 Hamilton H

13、amilton函数函数模型求解模型求解由协态方程及边界条件求出 ( ) t()( )( )fftxtfx tdtHpedtte ( )(1)fttpptee下面利用最大值原理求 *( )u t( )( )( ) ( )ttHpx t em tg teu t由于H关于u为线性函数，所以可见，max*,( )0( )0, ( )0ttug teu tg te2.以哪种方式转换？以哪种方式转换？1.转换点转换点 如何求？如何求？st问题：问题：2.以哪种方式转换？以哪种方式转换？1.转换点转换点 如何求？如何求？st问题：问题：( )( ) ( ),( )tsf tt g tef t令则0.max*

14、,00,ssfuttuttt ()1( )0( )(1)( )ft tppf tP teg tst 若存在必唯一, p通常( )0sf t *max0, 0,ssfttuuttt ( )0sf tp实例实例( )( ) ( ),tf tt g te1222,0(1)2, ssfttdxtdtttt ( )0sf t ( )sf t 则0max122(0)100,1,( )2,0.1,0.05, ( )(1)xum tpg tt设( )2ftttee 状态方程10022 2( 2),(1)sstttstdxdtdtdtttdtt 12( )4(1)962sx ttt10.05()2(1)4 2s

15、fttste 由自由边界条件 fft ttH ()ftfte2()40fx tp12404(1)962sftt12( )4(1)962sx ttt10.05()2(1)4 2sfttste 10.6,34.8sftt*1, 010.6( )0, 10.634.8tu tt 最优控制策略（保养费）为最优控制策略（保养费）为T.L.saaty离散模型离散模型 离散模型：差分方程（第离散模型：差分方程（第7 7章）、章）、整数规划（第整数规划（第4 4章）、图论、对策章）、图论、对策论、网络流、论、网络流、 分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）只用到代

16、数、集合及图论（少许）的知识的知识层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化大的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一种定性与定量相结合的、一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法系统化、层次化的分析方法目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴

17、河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一. . 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例. . 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. .“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素， 各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确

18、定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。11/ 2433217551/ 41/ 711/ 21/ 31/ 31/ 52111/ 31/ 5311A1(),0,ijn nijjiijAaaaa层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对

19、比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要的重要性性:ijijC CaA成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地111122221212nnnnnnwwwwwwwwwwwwAwwwwww 11/24217A 成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况12121/2 (:)aC C13134 (:)aC C23238 (:)aC C一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况12( 1)

20、,nWw ww/ijijaww令12(,) Tnww ww权向量成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量Aww111122221212nnnnnnwwwwwwwwwwwwAwwwwww 成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况, , ,1,2,ijjkika aai j kn满足满足的正互反阵的正互反阵A称一致阵，如称一致阵，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对的成对比较阵比较

21、阵A A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w w ，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反数及其互反数1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强:ijC C 的重要性:ijC Caij = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,

22、15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。尺度较优。 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量一致性检验一致性检验对对A A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n, 且且 =n时为一时为一致阵致阵1nCIn定义一致性指标定义

23、一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标的大小，引入随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij , 形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR = CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验最大特征根最大特征根=5.073权向

24、量权向量( (特征向量特征向量)w )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T5.07350.01851CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160，k=0。（步（步2）迭代计算）迭代计算 ，k = 0,1,。(1)( )kkWAW若若 ，i = 1,n，则取则取W= 为为A的对应于的对应于max的特征向量的近似，的特征向量的近似，否则转步否则转步2。(1)( )kkiiWW(1)kW（步（步3） 将将

25、 标准化，即求标准化，即求 其中其中 为为 的第的第i个分量。个分量。(1)(1)(1)1/nkkkiiWWW(1)kiW(1)kW(1)kW（步（步4）求）求max的近似值的近似值max1()1niiiAWnW对前面例子中的对前面例子中的OC判断矩阵，判断矩阵，若取若取 ， =0.001，利用幂法求近似特征向量如下：，利用幂法求近似特征向量如下：(0)1 1 1,3 3 3TW（第一次迭代）（第一次迭代） (0) = (0.511,3,1.444)T， = 4.955，求得，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)TW3(1)1iiW（第二次迭代）（第二次迭代） (2) = (

26、0.321,1.993,0.802)T， = 3.116，求得，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)TW3(2)1iiW（第三次迭代）（第三次迭代） (3) = (0.316,1.925,0.779)T， = 3.02，求得，求得W(3) = (0.105,0.637,0.258)TW3(3)1iiW（第四次迭代）（第四次迭代） (4) = (0.318,1.936,0.785)T， = 3.04，求得，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)TW3(4)1iiW因因 ，取，取W = W(4)。进而，可求得。进而，可求得 。(4)(3)0.001iiWWma

27、x3.0373、和积法、和积法（步（步1）将判断矩阵）将判断矩阵A的每一列标准化，即令的每一列标准化，即令1/nijijkjkaaa , i, j =1, ,n令令 。()ijAa（步（步2）将）将 中元素按行相加得到向量中元素按行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，i = 1, , n。AW1niijjWa（步（步3）将）将 标准化，得到标准化，得到W，即，即 W1/niijjWWW，i = 1, , nW即为即为A的（对应于的（对应于max的）近似特征向量。的）近似特征向量。（步（步4）求最大特征根近似值）求最大特征根近似值 。max1()1niiiAWnW仍以前面例子中的仍以前面例子中的O

28、C判断矩阵为例：判断矩阵为例：111535131313按列标准化按列标准化 0.1110.1300.0770.5560.6520.9620.3330.2170.2310.3171.9000.781W标准化标准化0.1060.6340.261W，max3.036以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一的非一致性越弱相差越小，而当致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。为一致矩阵时两者完全相同。按行相加按行相加三、层次分析法应用举例三、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（在应用层

29、次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如何）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何将某些定性的量）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至

30、多只它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不能用）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或定性至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。出决策，还有待于进一步

31、的探讨研究。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。例例8.14 招聘工作人员招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图8.9所示。所示。招聘人员综合情况招聘人员综合情况知识知识能力能力外表

32、外表经经济济知知识识外外语语知知识识法法律律知知识识组组织织能能力力公公关关能能力力计计算算机机操操作作气气质质身身高高体体形形C层层B层层A层层5B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立AB层成对层成对比较判断矩阵比较判断矩阵5W 求得

33、求得max =3，CR = 0。1212类似建立类似建立BC层之间的三个成对比较矩阵层之间的三个成对比较矩阵: 注：权系数是根据后面的计算添加上去的注：权系数是根据后面的计算添加上去的 151318151712W = (0.186,0.737,0.077)Tmax = 3.047, CR = 0.08 = 3.047, CR = 0.08W = ( , , )T131313W = (0.738,0.168,0.094)T = 3.017, CR = 0.08max经层次总排序，可求得经层次总排序，可求得C层中各因子层中各因子Ci在总目标中的权重分别为：在总目标中的权重分别为：0.047,0.1

34、84,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作九项指标作19级评分。设其得分为级评分。设其得分为X= (x1,x9)T，用公式，用公式y = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4 + x5 + x6 )+ 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9 计算总得分，以计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。例例8.15

35、 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某（挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所示。所示。工作满意程度工作满意程度研究研究课题课题发展发展前途前途待待遇遇同事同事情况情况地理地理位置位置单位单位名气名气工作工作1工作工作2工作工作3目标层目标层A准则层准则层B方案层方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：90.050

36、.120.30W12121213131214141513由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案层）（方案层） 0.140.620.24W0.100.330.57W0.320.220.46W1413121415121313(层次总排序层次总排序)如表如表8.13所示。所示。 表表8.13根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。（由于篇幅限。（由于篇幅限止，本例省略了一致性检验）止，本例省略了一致性检验）例例8.16 作品评比。作品评比。 电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，

37、评判标准有教育性、艺术电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为11151113531A由此可求得由此可求得W = (0.158,0.187,0.656)T，CR = 0.048 ( 0.1)max3.028本例的层次结构模型如图本例的层次结构模型如图8.11所示所示 电影或文学作品评比教育性艺术性娱乐性作品1作品n0.1580.1870.656在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。根据作品的得分数根据作品的得分数X = (x1, x2, x3)T，利用公式，利用公式y = 0.158x1 + 0.187x2 +0.656x3 计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。读者不难看出，读者不难看出，A矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者的满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，的满意程度来排序的。