双线性变换法IIR数字滤波器设计)

1、湖南文理学院课程设计报告课程名称： 专业综合课程设计 教学院部： 电气与信息工程学院 专业班级： 通信工程 08102班 学生姓名： 李银（200816020205） 指导教师： 完成时间： 2011 年6月21日 报告成绩：数字带阻滤波器的课程设计一课程设计的目的通过对常用数字滤波器的设计和实现，掌握数字信号处理的工作原理及设计方法；熟悉用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器的原理与方法，掌握利用数字滤波器对信号进行滤波的方法，掌握数字滤波器的计算机仿真方法，并能够对设计结果加以分析。二课程设计原理1.用双线性变换法设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因

2、为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=e转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1所示。s1tst图1双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现式中,T仍是采样间隔。 （1）当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0

3、变化到+，也即映射了整个j轴。将式（1）写成将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：（2）（3）式（2）与式（3）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（1）与式（2）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把z=ej，可得即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将s=+j代入式（4），得 (4)因此由此看出，当<0时，|z|<1；当>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面

4、的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（4）所示，重写如下：上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系，如图2所示。 由图2看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而

5、双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图2双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（4）及图2所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图3所示

6、。图3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。由于双线性变换法获得的数字滤波器频率响应特性中不会出现混叠现象，因此可以适用于高通、带通和带阻滤波器的设计。IIR数字滤波器的设计通常要借助于模拟低通滤波器的设计，由原型低通滤波器到其他形式（高通、带通、带阻）IIR数字滤波器的频带变换有模拟频带变换法和数字频带变换法。（1）模拟频带变换法首先将给定的对数字滤波器(DF)的

7、技术要求转换为一个低通模拟滤波器(AF)的技术要求，根据这种要求用某种逼近设计出原型的低通模拟滤波器(LP AF)，计算出模拟滤波器的阶数N、极点si和传递函数Haa(s)，再按照双线性变换的变换关系，将模拟滤波器的传递函数H(s)转换为数字滤波器的传递函数H(z)。表8-1中列出了将给定的对数字滤波器(DF)的技术要求直接转换为对一个低通模拟滤波器(AF)的技术要求的频率预畸变校正关系和转换公式。表8-1 双线性变换和频率预校正的计算公式三：IIR数字带通滤波器设计过程课程设计的步骤根据以上IIR数字滤波器设计方法， 运用双线性变换法采用双线性变换法设计一IIR带阻滤波器，-3dB衰减处的边

8、带频率分别为f1=20kHZ,f2=40Khz,其-15dB衰减处的频率分别为fs1=28kHZ,fs2=35KHZ,采样频率fs=100kHZ。1.设计步骤：(1)根据任务,确定性能指标:在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:对应的各数字频率f12201000=0.4f21001000f22401000=0.8fs1001000 1=22=2st1=2fst12281000=0.56fs1001000fst22251000=0.7fs1001000 st2=2求D1, E1。采用归一化原型 c=1的低通滤波器作为变换原型，则低通到带阻的变换中所需的常数D1, E1

9、分别为D1=Ctan(2-12)=1tan(0.2)=0.73E1=2cos0=2cos(0.6)=-0.76+1cos(0.2)cos(2)2 cos(2-1)求st。它是满足数字带阻滤波器要求的归一化原型模拟低通滤波器的阻带其实频率，可用=D1sincos-cos0来求。对应于st1有st1=D1sinst1=cosst1-cos0sin(0.56)2+1)cos(0.56)-1cos(2)2cos(=0.730.98=10.22-0.31+0.38对于st2有st2=D1sinst20.809=0.73=-2.853cosst2-cos0-0.588+0.38st=min（st1,st2

10、）=2.853，这是因为在较小的频率出如果满足衰减的要求，则在较大的频率处一定满足要求。求N。N是归一化原型模拟低通滤波器的阶数。将=st代入低通滤波器的响应公式可得20logHa(j(st)=-10lg101+ stc可得N=2求Ha(s)。 1(s+0.7071068+j0.7071068)(s+0.7071068-j0.7071068) 1=2s+1.4142136s+1Ha(s)=(4)设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s);借助巴特沃斯(Butterworth)滤波器。(5)调用函数将模拟低通滤波器转化为模拟带阻滤波器。(6)利用双线性

11、变换法将模拟带阻滤波器Ha(s)转换成数字带阻滤波器H(z).四、结果分析：(1)双线性变换法分析：双线性变换的主要优点：双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。双线性变换法的缺点：会产生频率混碟现象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。(2) 实验代码（）：fs1=20000;fs2=40000;fp1=28000;fp2=35000;fsa=100000;As=15;Rp=3;T=1./fsa%对应的模拟滤波器技w1=2.*pi.*(fp1./fsa);%Chebyshev模拟滤波器w2=2.*pi.*(fp2./fsa);wp1=2*pi*fp1*T;wp

12、2=2*pi*fp2*T;ws2=2.*pi.*(fs2./fsa);cosw0=(sin(w1+w2)./(sin(w2)+sin(w1);w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1;Wp=(cosw0-cos(w2)./sin(w2);Ws=(cosw0-cos(ws2)./sin(ws2);N,omgn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s')%返回模拟低通滤波器阶数N和边界频率?nz,p,k=cheb1ap(N,Rp);%得系统函数零极点blp,alp=zp2tf(z,p,k);%由零极点得系数bhp,ahp=lp2bs(blp,alp,w0,bw);

13、%模拟低通到模拟带通bdf,adf=bilinear(bhp,ahp,1);%双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器BPA,wa=freqs(bhp,alp,fsa);BPD,wd=freqz(bdf,adf,fsa);subplot(2,2,1);plot(abs(BPA);title('模拟带阻滤波器幅频特性') subplot(2,2,2);plot(angle(BPA);title('模拟带阻滤波器相频特性') subplot(2,2,3);plot(abs(BPD);title('数字带阻滤波器幅频特性') subplot(2,

14、2,4);plot(angle(BPD);title('数字带阻滤波器相频特性')试验截图图4总的性质(3) 实验代码（）：clear all;Ap=3;As=15;Fs=100000;Wp=0.4*pi,0.8*pi*Fs;Ws=0.56*pi,0.7*pi*Fs;N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As, 's');%计算巴特沃斯滤波器的阶次N 和截止频率wnb,a=butter(N,wn,'stop', 's'); %频率变换法设计巴特沃斯滤波器freqs(b,a);bz,az=bilinear(b,a,

15、Fs); %采用双线性变换法 figure,freqz(bz,az);C,B,A=dir2cas(b,a);db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);subplot(211);plot(w/pi,mag);title('数字滤波器幅频响H(ejomega)');subplot(212);plot(w/pi,db);title('数字滤波器频响（dB）')实验截图为：模拟带阻滤波器的幅频响应图及相频特性图数字带阻滤波器的幅频响应图及相频特性图五设计体会在之前数字信号与处理的学习以及完成课后的作业的过程中，已经使用过MATLAB，对其有了一些基础的

16、了解和认识。通过这次练习是我进一步了解了信号的产生、采样及频谱分析的方法。 以及其中产生信号和绘制信号的基本命令和一些基础编程语言。让我感受到只有在了解课本知识的前提下，才能更好的应用这个工具；并且熟练的应用MATLAB也可以很好的加深我对课程的理解，方便我的思维。这次设计使我了解了MATLAB的使用方法，学会分析滤波器的优劣和性能，提高了分析和动手实践能力。同时我相信，进一步加强对MATLAB的学习与研究对我今后的学习将会起到很大的帮助。在课程设计中也出现了很多问题，主要有以下几个方面：1.对IIR滤波器的设计原理掌握不牢，在设定通带阻带频率上碰到点麻烦。在经过很多的尝试以后，我们采用了巴特

17、沃思低通滤波器，并把阻带通带设定在了一个合理的位置上。2.对Matlab相关函数不太了解，很多函数都是现学的。对于Matlab里面的各种滤波器的函数也不时很了解，经过了大量的实验之后，才有了本实验程序与结果。3.在结果屡试都达不到要求的情况下，很急躁导致程序出现细微的错误都察觉不出来。后经过多次检查及翻阅书籍才达到要求。六、参考文献：1.数字信号处理丁玉美，高西全等编著，西安：西安电子科技大学出版社2.数字信号处理A.V.奥本海姆，R.W.谢弗著，北京：科学出版社3.数字信号处理理论、算法与实现（第二版）胡广书编著，北京：电子工业出版社4.数字信号处理（第二版）学习指导书高西全，丁玉美编著，西

18、安：清华大学出版社5.数字信号处理实验指导书（MATLAB版）孙洪，余翔宇等译，北京：电子工业出版社6.基于MATLAB的系统分析与设计信号处理楼顺天，李博菡编著，西安：西安电子科技大学出版社fs1=20000;fs2=40000;fp1=28000;fp2=35000;fsa=100000;As=15;Rp=1;T=1./fsa%对应的模拟滤波器技w1=2.*pi.*(fp1./fsa);%Chebyshev模拟滤波器w2=2.*pi.*(fp2./fsa);wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*T;ws2=2.*pi.*(fs2./fsa);cosw0=(sin(w1+w2)./(sin(w2)+sin(w1);w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1;Wp=(cosw0-cos(w2)./sin(w2);Ws=(cosw0-cos(ws2)./sin(ws2);N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Rp,As, 's');%返回模拟低通滤波器阶数N和边界频率?nz,p,k=cheb1ap(N,Rp);%得系统函数零极点b,a=zp2tf(z,p,k);%由零极点得系数H,w= freqs (b,a,N);%模拟低通到模拟带通bdf,adf=bilinear(bhp,ahp,1);%双线性变换将模拟带通滤