微积分计算方法

1、学号 1330101009 毕业论文对概率积分解法的研究和讨论院（系）名 称：书信学院专 业 名 称：数学教育学 生 姓 名：李建鹏指 导 教 师： 杜争光 二一五年 摘要：文章给出了计算概率积分的几种简便的计算方法；对以后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量 概率积分是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。目 录方法一：二重积分法1方法二：三重积分法1方法三：线积分法2方法四:面积分法3方法五:含参变

2、量的无穷积分法4方法六：二重积分证明法6参考文献：8致谢:9对概率积分解法的研究和讨论 概率积分是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。方法一：二重积分法现有连续函数在正方形区域；圆域；圆域：上的二重积分分别为，即：（用极坐标）同时又因：,故有，即有，从而 方法二：三重积分法 首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设XOZ平面上的曲线绕Z轴旋转一周得到的曲面与平面XOY围成的体V。显然，一方面，该体的体积 另一方面，根据旋转体的体积

3、公式有：，故有。方法三借用直观的几何意义获释，体现了数学方法的多样性。方法三：线积分法 假定曲线与轴相交于无限远处，设由闭曲线围成的闭区域,由格林公式有：区域的面积，又面积，所以有（从（）到（）从而有： (换元)=（参变量积分）=（利用）即有： 方法三借助线积分，格林公式及参变量积分等基本知识，简捷明了，富有新意方法四:面积分法假定曲面与平面相交于无限远处，设闭曲面围成闭体V。由奥高公式，闭体的体积，由方法二知从而有：= =设曲面在平面上的投影区域分别为,则有：=显然有：和故有 而故有 即： 方法五:含参变量的无穷积分法已知讲欲求的积分写成 ，函数在上连续，当n增加时，函数单调减少，且是连续函

4、数。 ,有，而收敛。所以 关于n一致收敛，于是积分号与极限可以交换次序，即 设，有 再设,有由牛顿-莱布尼茨公式和定积分还原公式，有已知沃利斯公式将此式分子、分母上下调换位置，再在等式两端开平方，有于是 即 方法五是利用重积分的方法，结合图形对概率积分进行了较为详细的证明。方法六：二重积分证明法 证明：已知无穷积分 收敛，有=为了计算，我们首先计算。因为 其中是正方形区域。设分别是以和为半径，圆心在原点位于第一象限那部分圆域，如图：因为，有，,所以有 根据二重积分坐标变换：。则 于是 即当时，则有即有概率积分 s以上几种方法既给了我们计算概率积分的具体方法，同时也从另一角度揭示了微积分知识间的本质联系，无疑对我们学好课程是大有益处的。参考文献： 刘玉琏 傅沛仁数学分析讲义2008年4月第五版 李银奎 概率积分的计算 费定晖 周学圣数学分析习题集第二版 致谢:本文能够顺利完成