微分方程方法及应用

1、微分方程方法及应用300多年前，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然 §1微分方程：某些物理过程的数学模型1.1 物体冷却过程的数学模型

2、将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为，10分钟后测量得温度为，我们要求决定此问题和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度这里我们假定空气的温度保持为解：为了解决上述问题，需要了解一些热力学的基本规律：1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；2. 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例（牛顿冷却定律）设物体在时刻的温度为，则温度的变化速度以来表示注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而，所以温差恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度恒负因此由牛顿冷却定律得到：这里是比例常数方程的解：将方程改写成 的

3、形式，这样变量和可以”分离”开来两边同时积分，得到：这里的是任意常数，对两边取对数，得到：令，得到：将时，代入可以得到：再根据条件，可以得到：所以：1.2数学摆数学摆是系于一根长度为的线上而质量为的质点，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动方程：解：设取逆时针运动方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向质点沿圆周的切向速度可以表示为作用于质点的重力将摆拉回到平衡位置；我们将重力可以分解为两个分量，一个沿这线的方向，此方向的力正好和线的拉力相抵消，它不会引起质点速度的改变，第二个分量沿圆周的切线方向，它引起质点速度的变化摆的运动方程是： 即： 如果只研究摆的微小振动

4、时，即当比较小时的情况，此时可以得到微小振动时摆的运动方程：如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就会存在一个与速度成比例的阻力，如果阻力系数为，则摆的运动方程变为：如果沿着摆的运动方向恒有一个外力作用与它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为：当要确定摆的某一特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当时，这里代表摆的初始位置，代表摆的初始角速度§2微分方程的基本概念微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方

5、程 微分方程的阶数: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶数例2.1 x3 y¢¢¢+x2 y¢¢-4xy¢=3x2 , y(4) -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n阶微分方程具有如下的形式: F(x, y, y¢, × × × , y(n) )=0（隐式方程） y(n)=f(x, y, y¢, × × × , y(n-1

6、) )（显式方程）其中上式一定含有y(n)，是未知函数，是自变量微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果在区间I上, Fx, j(x), j¢(x), × × ×, j(n) (x)=0, 那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y¢, × × ×, y(n) )=0在区间I上的解通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解

7、初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件 如 x=x0 时, y=y0 , y¢= y¢0 . 一般写成 , . 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y¢=f(x, y)满足初始条件的解的问题, 记为积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线 §3变量分离方程3.1.变量分离方程型如：的微分方程，称为可分离变量方程这里分别是的已知连续函数 这类方程的特点是：经过适当的运算，可以将两个不同变量的函数与微

8、分分离到方程的两边，然后两边同时积分其具体解法如下： 分离变量 如果将方程整理为 的形式 （使方程各边都只含一个变量） 两边积分 两边同时积分，得：故，方程的解为 注1：我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上 注2：如果存在，使，直接代入，可知也是上述方程的解例3.1 求方程 的通解解： 分离变量，得两边积分，得方程的通解例3.2 解：将方程整理得 分离变量，得： 两边积分，得： 化简 ，得： 即 为所求通解将初始条件代入， 得.故所求特解为 3.2可化为变量分离方程的类型（1）形如: 的方程，称为齐次方程，这里为的连续函数 做变量变换

9、 （1）即，于是 （2）将（1）,（2）代入齐次方程，可得 整理后得到 （这是一个变量分离方程）。（2）形如 的方程，其中为常数§4线性方程与常数变易法4.21一阶线性齐次方程的解法我们来观察，一阶线性齐次方程实际上是可分离变量方程请按照分离变量、两边积分的步骤求通解，解得：通解公式以后我们遇到形如的方程都可以直接套用公式：例4.1 解：（所给方程是一阶线性齐次方程，可直接套公式）由通解公式得通解：例4.2 解：（此方程不是的形式，考虑变形，）原方程可化为： （这是一个一阶线性齐次方程）其中 得 故 通解为：将代入通解，得，故 所求特解为4.2一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方

10、程 与其对应的一阶线性齐次方程 左边都是相同的，而它们的差别就就在于是否恒为0.因此，我们可以设想它们的通解也会有一定的联系.我们已经求出 的通解为，为了方便起见，我们令，则有，当C恒为常数时，是的解，（可知当时，是的一个解）但一定不满足线性非齐次方程 .那么如果我们把C看作的函数，并将代入线性非齐次方程中去，会有怎样的结果呢？我们来试算一下：设是线性非齐次方程的解，将及其导数代入方程 有： 因为是对应的线性齐次方程的解，故（在实际操作中，总会有可以相互消除的项）因此有：，其中均为已知函数，所以可以通过积分求得： 将其代入中，得： （其中）经验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程，且含有一个任

11、意常数，所以它是一阶线性非齐次方程的通解于是，一阶线性非齐次方程的通解公式为：上述我们讨论中所用的方法，是将常数变为待定函数，再通过确定而求得方程的解，这种方法称为常数变易法在求一阶线性非齐次方程的通解时，我们既可以用常数变易法，也可以直接套用公式下面看几道例题：例4.3 求方程的通解解：（方法一）常数变易法原方程化为：（线性非齐次方程）求得它所对应的线性齐次方程的通解为，设所给线性非齐次方程的解为：，将代入该方程，得：于是，有：因此，原方程的通解为.（方法二）公式法原方程化为：则 ，求得：代入通解公式，得原方程的通解为 （观察上面两种方法，常数变易法不用记忆公式，但步骤较繁锁；公式法步骤简便

12、，但需要牢记公式，各有利弊.）例4.4 求解初值问题：解：原方程可化为：请用常数变易法或公式法求通解（略），得：将代入，得，所以，所求的特解即初值问题的解为：例4.5 求方程的通解解：（所给方程中含有，因此，如果我们仍把看作自变量，把看作未知数，则它不是线性方程对于这样的一阶微分方程，我们可以试着把看作自变量，把看作是的函数，然后再分析）原方程可化为： 这是一个关于未知函数的一阶线性非齐次方程，其中，自由项=1代入通解公式，有 即所求通解为： 4.3 伯努利方程：用乘方程的两边，得到：引入变量变换 从而得到 则原方程可以化为：这是线性方程，可用上述方法解§5 解的存在和唯一性一阶微分方程 ， （1）其中是和的已知函数，为初始条件定理1（Cauchy-Peano）如果函数在上连续，则方程（1）在上有解满足初值条件，此处，定理2 如果函数在上连续，且满足利普希兹(Lipschitz)条件（即存在正常数使得）其中，），则方程（1）满足初值条件的解是唯一的§6微分方程的平衡点和稳定性6.1 微分方程的平衡点 设有微分方程 ，在某个区域内连续，且满足解的存在唯一性条件如果存在某个常数，使得=0，则称点为方程的平衡点（或奇点），且称为方程的平凡解（或奇解）如果对所有可能初值条件，方程的解都满足，则称平衡点是稳定的（渐近稳定）；否则是不稳定的实际中，判断平衡点的稳定