放缩法在不等式证明中的应用

1、放缩法在不等式证明中的应用摘要放缩法是不等式证明中一种很精细、很巧妙的证明方法，但是，如何快速、有效地进行放缩这是我们数学学习者必须要掌握的内容，以及如何灵活、适度地进行这是我们研究学习的重难点.关键词：放缩法;不等式 ;证明 ;方式 ;目标 ;适度AbstractScaling law is the inequalities in a very sophisticated and very clever that way, but how quickly, efficiently scaling this is our mathematics learners have to master

2、the content, and how flexible, appropriate manner that is The weight of learning difficulties.Key words: Scaling law;Inequality;Prove;Manner;Target;Moderation目 录第一章 引言1页第二章 不等式的基本性质及其应用2页2.1 不等式的传递性2页2.2 利用绝对值不等式的性质2页2.3 利用均值不等式的性质3页第三章 放缩法在不等式中的应用4页3.1放缩的基本类型4页 3.1.1舍添一些恒正或恒负的项4页 3.1.2 适当地将分式的分子（或分

3、母）放大或缩小4页 3.1.3 利用基本不等式5页 3.1.4 利用函数的单调性5页 3.1.5 利用二项式定理进行适度地放缩6页3.2 放缩的目的6页 3.2.1有利于约分6页 3.2.2 有利于差分7页 3.2.3 有利于消元7页 3.2.4 有利于运用公式8页第四章 如何进行适当地放缩9页第五章 总结11页参考文献12页致谢;第1章 引言不等式在数学学科中占有重要的地位，特别是不等式的证明，因此，学会灵活地运用其证明不等式是我们学习的重点，在不等式的证明中，我们往往遇到从直接给出的已知条件是很难以证明的，这时如果我们对式子进行放大或缩小，使问题发生相应的变化，这样就使问题得以解决，我们称

4、这种方法为放缩法.清楚地说放缩法就是在证明不等式中，利用不等式的传递性，作相应的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明，放缩法的目的性很强，在利用放缩法中，其要求很高，在运用时必须要恰到好处，否则不能达到目的，至于放缩法适用于哪种不等式，这没有明确的规定，这需要我们在学习过程中认真总结、归纳.第二章 不等式的基本性质及其应用2.1 不等式的传递性：若则 我们常常说借别人的东西，就是借别人的东西来使用，在不等式的证明中我们也使用到，当我们不能直接证明A<C时，我们可以借助B，让它起到连接A和C的作用，我们可以先证存在B，使得证A<B,B<C,这样我们就得出A

5、<C，这就是不等式的传性的运用 例：已知，且，求证： 证明： 2.2 利用绝对值不等式的性质： 在数学证明里，证明两个数（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，当这些方法难以证明时，特别是在绝对值不等式中时，我们可以利用我们学过的绝对值不等式的性质进行证明. 例：已知且，求证： 证明： 所以2.3 利用均值不等式的性质：若，则. 我们知道任何数的平方都大于或等于0，即，化简得，即任何两个数的平方之和大于或等于他们积的2倍，而在均值不等式中，因为且与同号，所以要满足上述公式，可知，下面我们谈谈其性质 例：若，且，求证： 证明： 所以 第三章 放缩法在不等式中的应用3.1 放缩

6、的基本类型 3.1.1 舍添一些恒正或恒负的项 为了往不等式的解靠近，我们在不能直接解题的情况下，我们可以将式子添加（或减去）某些正项或者负项，这样就能使式子放大或缩小.例：证明级数收敛.证明：当时，有而，所以， ，于是，对，只须，当时，根据柯西收敛准则知收敛 3.1.2 适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小 在分式中，如果分母不变、分子变大（或变小）则值变大（或变小）；反之，如果分子不变、分母变大（或变小）则值变小（或变大），这是我们在放缩过程中应该掌握的结论.例：已知，求S的整数部分证明：由，知道(1); (2) ,由（1）、（2）知S=165 3.1.3 利用基本不等式 放缩是没有固定

7、的方式，这要看情况而选，在选择时重要的还是根据题意所给的条件来决定的，如下是选择利用不等式的性质来进行放缩例：已知，求证：证明：因为，所以 所以 所以 3.1.4 利用函数的单调性 我们已经学习了函数的单调性，知道单调函数具有增减性，而其增减性正相似于放缩法里面的放大或缩小，其实放大就是往右移动，缩小就是往左边移动.例：已知各项为正数的数列满足，求证：证明：（1）当时，由已知有，于是，所以，因为，所以，即当时不等式成立 （2）假设时不等式成立，即，由已知有，因为，所以在上单调递增，所以，即当时不等式成立，综合（1）、（2）知，对时不等式都成立 3.1.5 利用二项式定理进行适度地放缩 在不等式

8、的证明中，如果正面不能进行的话，我们要想到作一些相应的变形，使题目变成我们熟悉的公式或恒等式.如二项式定理在不等式证明中的应用例：设，且，求证：证明：令，则，即证，因，故，所以结论得证，即3.2 放缩的目的 在运用放缩法证明不等式时，我们一定要认真审题，我们应该明白我们应该怎么放缩，这样放的目的是什么，这就是放缩过程中的重要性，如： 3.2.1 有利于约分 我们知道放缩法就是放与缩的过程，重要的是我们如何放和缩，使它达到我们要证明的问题，像在分式中，如果式子不能直接化简，我们可以给式子放或缩，使它能够含有公因式这样就可以约去公因式达到化简，明白的说就是让分母不变、分子变大（或变小）使其值变大或

9、变小；反之，让分子不变、分母变大（或变小）使值变小（或变大，）. 如下题 就是利用分母变小，使值变大的放缩. 例：证明： 证明：因为 因此，对，只要，即，取，当时，有，即所以 3.2.2 有利于差分 数学是很讲究技巧的，表面上有些式子是无法求出来的，但是，如果我们认真审题，找出题意的本质，我们就会发现它里面蕴含着很大的秘密或技巧，例如，的结果我们可以通分很快就可以算出来，但是，甚至时我们该怎么求呢？我们知道他们他们各子分数都是可以拆开的，当他们拆开时我们发现中间两项之和刚好等于0，最后只剩下首尾两项.下面我们再看一题 例：证明数列收敛，其中 证明：对，取，当时， 所以 3.2.3 有利于消元

10、我们知道解题的过程就是化简，使问题由繁化简，由难化易，当由已知条件无法化简时，我们可以给问题进行适度地放缩，使得问题能够化简消元，使问题得以解决. 例:证明级数的敛散性 证明：取，则不论取多大，若令，则有，根据柯西收敛准则之知级数发散3.2.4 有利于运用公式 数学里面我们学习了很多数学公式，但是我们应该如何运用这些公式呢，这要具体问题具体分析，我们要认真地审题，题目的意思跟哪个公式比较接近，然后把我们所要求的问题向所需要的公式靠拢，使问题得以解决. 例：证明： 证明：对任意的实数，有，即，这就等价于求一元二次方程的解的问题，要满足上述条件，我们知道判别式要小于或等于零，即，化简得，所以结论得

11、证.第四章 如何进行适当地放缩运用放缩法证明不等式的确是一种很巧妙的证明方法，但是才能如何做到快速、有效地放缩，即应该放多大，缩多小，这是我们在利用放缩法选择证明不等式时要认真考虑的事情，需要我们在学习过程中进一步地探讨. 例1： 求证：分析：由通项，知，可这样放缩显然达不到目的，这里无疑是放得太大了，若由通项，经检验可以达到证明的目的.证明：由通项，所以 （无穷等比数列），即.例2:：求证：分析：由通项（1） （2）（A）由（1）有 ，显然放缩过大.（B）若适当地保留某一项（这里保留一项），得，放缩正确（C）由（2）有，显然放缩过小（D）若适当地保留某一项（这里保留一项），得，知放缩正确.综合上述，联合（B）、（C）得证，即参考文献1 普通高中课程标准实验教科书.数学5（必修）M,人民教育出版社,2