固体物理课后习题答案

1、第一章晶体的结构笫章晶体的结构11试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基欠为泊纟卜7+j+Z)（茴网2- a (12 =2- a根据倒擀了狂欠的定义，我们很容易可求出体心立方格了的倒格了茲欠为:2X03)b2 =U3xai1第一章晶体的结构#第一章晶体的结构(11 XH2Q =.(口2 Xt73)=b x=(a2a3Q '2n a2同理a卩+E）心笋CM）晋（初(苗)a为=-(?+ J由此町知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。#第一章晶体的结构我们知面心立方格子的基矢为A知）Q = dl （d2 Xd3）=丄4（02X03）U2 X 6/3 =

2、a2a2. 一 - In crb ,=02X03）= -T-7 “丿炉b ->=n aa aa n0 22 2f2+丿+ k 0-0a a222 2a2r- cr cr / + / + 4 4 4+戸）Tv（-f27l/-7+I）同理m = （_7+i）a 'J I 乎（7J+Z）fe=（7+7_na vJ由此町得出面心立方格子的倒格子为一体心必方格子： 所以体立方格子和而心立方格子互为正倒格子。2.2在六角晶系中，晶而常用四个指数（hkil）來表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中城靠近原点的晶面在互成120°的 共面轴亦药恳上的截距为学，字，鱼，第四个指数农示该晶

3、面 "li k ic在六页轴C上的截距为一。证明：Ii = - （h 十 k）并将卜列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示:#第一章晶体的结构（001）,（133）,（110）,（323）,（100）,（010）,（213）.证明:林鸿生11.4王矜奉1.2 3如图所示，菜一晶而MN与六角形平而革欠 °”吆吗轴上的截距OA = -n,OB = -n,OC = -/, nkiftZAOB = ZCOB = 60ZAOC = 120°仃MOB(面积)+“OB(而积)=aAOC(而积)即丄页.OB sin ZAOB+ -OC OB sin Z COB =丄页.OC

4、sinZAOC2 2 2代入页=-n.OB = -n.OC = -/,和ZAOB = ZCOB = 60ZAOC = 120°,有 hkig 彳.(_#) sill 60° + 扌=.(_¥)sin 60° = -y*n*(-)sinl20°得-丄-二二丄，两边同乘(hki)并移项得hk ik hi i = -(h + k)得证（2）由上可知，h, k, i 不是独立的，（001）,口33）,（110）,（333）,（100）,（010）,（云3）.中 JH 等 J： 4=_(人+ &) = _(0 + 0) = 0,/2 = 2,3

5、= 0, 4=1, Z5 = l/6=1, <7=3 即得（001）-> （0001）,（133）-> （1323）,（if。） T （1100）,（323）->（3213）（100）.（1010）,（010）（0110）,（213）->（2B3）.13如将等体积的硕球堆成下列结构，求证能占据的最人体积与总体积之比为:（1）简单立方冬；（2）体心立方返1；（3）ifn心立方返巴6 8 6六角密积如：（5）金刚石如6 16解：设N为一个品胞屮的刚性原子数，R表不刚性原子的球半彳仝，V表不晶胞体积，立方晶格的边长为a, 则致密度为：N-ttR3a =V(1) 在简立方

6、的结晶学原胞中，设原子半径为/?,则原胞的晶体学常数d二 则简立方的致密度(即球可能占据的最人体积与总体积之比)为：1 一次1 一刃?33 =£(2/?)3 " 63第一章晶体的结构2点 l-7d3二 3二R (4/?/>/3)3 (2) 在体心立方的结胡学原胞屮 a = 4R需，则体心立方的致密度为：设原子半径为R,则原胞的晶体学常数#第一章晶体的结构(3)在面心立方的结晶学原胞屮，设原子半径为R ,则原胞的品体学常数 a = 2VI/?,则面心立方的致密度为：4- lJtR3 a=_=(IW逅兀6(4)在六角密积的结晶学原胞中.设原子半径为/?,则原胞的 晶体学常

7、数a = 2R, c=(2j/3)d=(4«/3)R,则六角密:积的致 密度为：4°6刃?'3屈2 一6 c46(5)在金刚石的结帖学原胞中，设原子半径为心 则廉胞的晶体学常数a=(8/JJ)/?,则金刚石的致密度为:8 8 力?' gc 33兀a = _a(8/)3/?3 1614设某一晶面族的面间距为d.三个基矢无云石的末端5第章品体的结构分别落在离原点距离为1“,创肿,的胡面上，试用反证法证明： :%是互质的。 解：参考王矜奉12.4设该晶面的单位法向欠磺为齐，由已知条件可得5 口 = /片/卫？ nhd.a n = h3dy假定片,咐3不是互质的数，

8、则有公约数p，Tlp>l ；设和品为互质的三个数，满足#则有5 n = kxpd.a2 iik2pcl,a3 n = k3pcl,今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置欠昴为.I r = /16r1+/2a3+/3a3 *r/P/2,/3必定为整数而且I rn = d =也 n+l2a2 n + l3a3-n得d = h&pd + l)k)pd + l3k3pcl即 I*、+ Ik + l3k3 =p因为上式左边是整数，而右边是分数，显然是不成立的。耍式成立，必须满足P=lo而此时唧小是互 质的。砧2 + kyk2 + “215证明：在立方品系中，面指数为(W1)和仇钮3

9、)的两个晶面Z间的夹角满足cos&=inxn借+RM泸估+焙+/泸解:三个晶轴相互垂直且等J晶格常数a,则晶胞基矢为ax = aiya2 = a j.a3 = ak,其倒格子基矢为7* 2龙弋厂 2：厂 In-久=ib =山=一1 a * aa倒格子欠昴为ZKh = hbi kbi + lhz =(hi + k j+lk) a第-章品体的结构代表品面族(族/)的法线方向。晶面族(九即J的法线方向对应倒格矢Ki = (hJ+kJ + lk)晶冊族(W3)的法线方向対应倒格欠乙=(/J+ hj + M) a设两法线Z间的夹角满足7 yr -*-/ 7T 子仲+G+也年何+U+/,)KiK?

10、 = KfK) cos/丘1丘2cos / = K' 2 (罟 °" + h j + 1丄)弓(石 + h j + 1丄)(罟(Jhi + % j + 1眾)弓(Jhi + % j + 乐)也 + kyk2 + 仏(叶+貯+/泸(居+斥+/泸试求:(1)(2)(3)(4)(5)(6)16有一晶格，每一晶格上有一个原子，基矢(以nm为单位)分别为a1 = 3i, a2 = 3j , a3 = 1.5(i + j + k)。此晶体属丁什么晶系,属于哪种类型的布喇菲格子? 原胞的体积和晶胞的体积各等r多少？该晶体的倒格子基欠：密勒指数为(121)晶面族的面间距;原子垠密集

11、的晶面族的密勒指数是多少？ill与11了晶列z间的夹角余弦为多少？解:参考徐至中15,中南大学1.17(1)按基欠N，石,N在空间作車复平移，就町得到它的布喇菲格子，因为此品体是简单格子，肉此晶体中原子位置可以认为与格点重介。由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属J：立方晶系。 原胞体积 Q = (NxN) = 3；3)xl.5(；+ + Z) =13.5x1()77 加 了晶胞体积 V = a(axa)= 3"(33)=27xl0_27m3V因为Q=-,知该晶体属于立方晶系： 2参考上矜奉1. 2. 6我们可以构造新的矢最0q =c-a = (-,+ j+ k)7第一章晶体的结构o

12、, = c-b = (i- j+k)- 2a3 = a + h-c = (i+ j-k)aa2,a3对应体心立方结构.al9a2,a3满足选作基矢的充分条件.可见基欠为，a】=3i, a2 = 3j, a3 =1.5(i +j+k)，的晶体为体心立方结构.(3) 由倒格子基矢的定义可知:2a2 xa3 ara2xa3 2a3 xa】 aa?xa3 2穴8 xa2aia2xa31245(i-k)15245(jk)13.52 9k In.Kr=r?kInTin(i k)(j-k)#第一章晶体的结构(4) 根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为(121)晶面族的面间距为d _ 2龙 _2龙C 1:i _

13、 K12i _ |lb +2b 厂 bs|_2”_ _3_ _ 原2tta/3010(i + 2j-5k、以上是参考中南人学的，仃些不妥，因为密勒指数是对晶胞基矢定义的，虽然固体物理学式(1-18)也适合计算相应而间距，但此时的倒格子基欠也应是对应的。从体心立方晶格的特点，结合图，易知(5)由面密度0=八/,其中d是面间距，。是体密度。对布喇菲格子.。等常数。因此，我#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为(hjijij .则该晶面族的而间距血/也应为最大值.所以冇#第一章晶体的结构l7t17tM】b】 +尼b? +力3bs|第一章晶体的结构第一章晶体的结构In

14、i + (2/?3 -/?! - /i2)k337；;；:r = max力i + ftj + (2/z3 - hx -人)k第一章晶体的结构第一章晶体的结构由此可知,对面指数为(100)、(010)、(101). (011)和(111)有最大面间距3/血，因而这些面即为原子排列锻紧密的晶面族。(6) 111与11T晶列之间的夹角余弦为a = arccos-1 * % 一 佝 + 幻 + 时(绚 + a厂 a3)RmRHi忆+町+巧| 卜+ a2-a3|(4.5i + 4.5 j + 1.5k) (1.5i + 1.5j -1.5k) =31CCOS4.5i + 4.5j + 1.5k|1.5i

15、 + 1.5j 1.5k| 一 48“1.71.8八角晶胞的卑欠为(I.爲.<li = 1 + Cl1 2 2 j第一章晶体的结构第一章晶体的结构求倒格子基欠。解:参考王矜奉1.2 8,中南大学1.2.13+根据倒格子基矢的定义可知:弓 dj) (- f i + £ °j) x (ck) = £ 屁=2兀a. 石班小、巧acac L1= 5V3 2 a c 第一章晶体的结构第一章晶体的结构a xa(ck)x(-_i + «j)J 2”b, = 2L = 21_1 = 2兀一耳2 -QQJJ rCTC2,a. VJ / r yi _a xa(71 +

16、 «J)x(-t, + v6ZJ)b3 = 2才竺巴二2龙 _22_2_ = 2龙Qal a2 xa319欠帚a, b, c构成正交系。证明晶而族（/?灯）的而间距为儈+（护+（夕解：由题意町知该简单正交系的物理学原胞的基欠为:a】=6/1J = bj a3 =皿 由此町求得其倒格子基欠为：d/k231 a2xa3ahc2a3 xajInai la2Xa3abc2；r"i xa2Inal-a2Xa31abc3 _2a2xa3 _ 2(问=£3、j)=孚 j b(abk)= c根据倒格子矢宦的性质有:dhk/ =2/r171hb1 + kb? + /b32龙2 兀

17、i.2/r . t 2 兀 hln +kj+/ka h c?+(护+(分110证明：晶面（MJT、（劭；/£）和（片7训？属同一晶带的条件是人人h hj /?3 = 0第一章晶体的结构证明：参考王矜奉12.12,徐至中17相交同一宜线的二个或藝个晶面就构成一个晶带，晶面（hjlj®和应倒格欠可以写为瓦=/念+仏£ +仏£假定三品面属J：同一晶带wvvv（交线为胡带轴，此即为殆带轴的方向指数），带轴的方向欠晟为R = uax + va2 + wci2因为倒格欠与晶面垂肖，因而也必须与带轴垂宜，即满足K斤 R =（认 + 12b2 + 宓爲）+ vai +

18、问 J = 0因为q hl = a2 h2 =说=2/r,q hj = 0（心 j）得 IlyU + /中+ /«3 = 0同理冇lu + h'y + hw = 0lu + h；v + hjW = 0zw有解的条件即为 h h2 堆=0l «埴即证。1 11证明：一个晶体不可能有5亜旋转对称轴。参考王矜奉1.2.16,教材17 3五边形沿竖直轴每旋转龙/5 （72°）恢复原状，但它不能重复排列 允满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转対称轴屮不存在亞次轴. 证法2：如图所示，AB是同一晶列上O格点的两0个最近邻格点.如只绕通过O点并垂伍J 纸面的 转轴顺时

19、针旋转&角.则A格点转列入"点.若 此时晶格自身朿介，A'点处原来必定有一格点如 果再绕通过O点的转轴逆时针旋转&角，则品格 又恢复到末转动时的状态.但逆时针旋转&角，B 格点转到厅处，说明'处原來必冇-格点.可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由 图可知，A'B'品列与AB晶列平行.平行的晶列貝有相同的周期，若设该周期为a则有ArBr = la |cos 0 - ma瓦中m为整数,由余弦的取值范审可得|cos& = m/2 <1io第一章晶体的结构于是可得m =、2 2#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构I

20、大I为逆时针旋转3才/2,4兀/3,5力/3分别等J：顺时针旋转才/2,2才/3皿/3所以晶格对称转动所允许的独立转角为2 1 12/r,/r,、7i y7t y3 23上面的转角可以统一写成In丿= 1,2,346/称n为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许冇5度旋转対称轴。1 12试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的品面。解：参考王矜奉1 2.10.11设布赖乖格子的体密度（单位格点数）为P,在某-晶面族中，取而间距为d的两相邻晶而为底而，（底面积取为1单位面积）做一个圆柱体，则该圆柱体内的格点数等于p（d1）二 pd这些格点分布在上卜底而上，但屈J 该圆柱体的只仃-个底面，故晶

21、而的而密度D=Pdo 因为P是常数所以的越大，面密度D也越大。1.面心立方设面心立力的晶格常数为a,则其晶胞的体积为，晶胞中含仃四个格点,选取面心品体结构的I占I体物理学原胞比基欠为ta -> 丁= (/+灯Ta T T=伙+ /) 2因此而心立方结构体密度为p =T 2 IT T T T其倒格子基矢为® =(/- J+灯T 2龙 T T T b厂匹U+j-k) a根据固体物理学式（M4）和（1-18） 与晶而族（/血仏）正交的倒格子欠宦为尺=（/1 + 12 + /伍） 则晶面族（/徙人）的面间距为2才&_入乜+心）2 + （九-九+九r + （% +九-人）'

22、;显然，上式屮分母越小.d越人，故面指数最简单的晶面族（111）面间¥口最人，面密度址人。2体心立方设体心立方的晶格常数为a,则其晶胞的体积为启，晶胞中含仃二个格点，因此而心立方结构体密度为2 r 选取体心品体结构的固体物理学原胞，其基矢为 a =亍（_i+ j -« a2 = -（7- 了 + £）其倒格子基欠为<2与晶面族（/业仏）正交的倒格了欠届为Th = （/i + /活"人为） 则晶面族（/也人）的面间距为）_ 2才 _a| J（心+心）' + （A +人尸+金+仏），显然,上式中分母越小,d越大，故面指数最简单的晶面族（001）

23、,（010）,（100）,（011）,（101）,（110）其面间距最人，面密度最人1 13电位移欠杲万与外电场E的关系为D = eE,式中，&为介电常数张気 试用根据品体的对称性证明,2 0 0、対于简单六角晶体，有0 £丄0,<° ° %解：参考王矜奉1. 2.17晶体宏观对称性是用对称操作來描述的，即通过旋转C反演等，品体自身晅合，这个儿何变换都是 正交变换（保持两点距离不变的变换），所对应的变换矩阵为111A 4九-AA： 0A23A23 ,且Ua = a-是转置矩阵，犷】是逆矩阵。可1知勺3胡体介电常数是二阶张最，表示为£=勺i电

24、 63在坐标变换F,二阶张吊的变换规律为匕=asa 对称操作后，晶体还原，有£之15第一章晶体的结构以六角品系主轴为C轴，轴如图:爸勺2勺3、00、£1勺2£<100、*21 22*23=0-1021220-10<31*32*33丿、00月1%°01丿仃一个过q轴和c轴的镜而，所以_f21Ccos6兀sin 60 n -sin 6ncos60(兀7T、cosS1I1 01%0勺3、6600兀兀-sin cos0661匂0&33丿001丿/0011芦T切习12 一1产01_ fc13cos6兀_ S1I1 6sin 6ncos60171

25、1 + 7224 4>/34Tsn 44000、00、所以0$220=0110=00月10、°0*33丿0X0三角伯赖菲格子的倒格子仍为三角布赖菲格了.并且倒格欠肚矢间的夹1.14证明:角和堆矢长度b分别满足ab£31得到勺2 = °勺3 = °，勺1 = °£1知知、笛10所以习1$22$23=0*220占10$33丿六角晶系仃-个6度轴，所以2龙 xajIkcc sin&QQb.三bCOS&1 一 cos 01Td(l+2cos0cos 矿)，式中,a和0分别为正格矢的长度和基矢间的夹角。证明：參考王矜奉1.

26、2.18,陈金富8.16对于三角晶系，瓦三个族矢量大小相等，而且它们相互间的夹角也相等即根据止倒格矢的性质2龙(°2 xy)Ikct sin&Q=bh2设（厶）=务，&y,（妇,勺卜$1，则有.2 4 2 zjbfb? = |/ |*|2|C0S2 = b，COS% = 兀-COS坊22龙(石词 2龙何x瓦)4”/w、心5=声 g % 為)g x q)=善(石运卜可石=善(莎)(词-何敬=-(cos2 0 - cos 0)比较两式得_(COSCOS&) _ cos(1 - COS0) _COS&sin2 3C0S 2亠 2 c1 - cos- 0(1

27、U- COS 0类似可以证明门COS0门cos。COS&x =, cos% =(1 + cos 3(l+cos0得给=%3 = &31 = &又因为所以三角晶系的倒格子也属丁三角品系。且cos 矿=一COS&(1+ COS&Ittcc sin&.Incr sinb = Q a3 sin 0 Jl + 2 cos & cosa Jl + 2 cos 0 cos 少式中Q通过如下计算出,如图,©(q + aj ="】+也叫=2a? cos& =牛(q +dj|cos(龙/2_ °)而旳 + a2 = a(

28、2(1+ cos。) > 囚此cos(;r/2 - 0)= sin(p =2cos&J2(l + cos&)f 4 cos2 042(1+cos。)=J+ 2cos&cos&第一章晶体的结构第一章晶体的结构a3 sin 0 cos 0= a3 sin &/ +2cos&cos&*如图所示eax - tadr = ia cos &+ ja sin 0a3 = 0cosq+ ja cos p + ka cos ycos 6 =ia (ia cos a + ja cos fl + ka cos)/=cos a(iacos&

29、+ jasin&)(iacosa+ jacosfl+ka cos)/3= cos 0 cos a + sin 0 cos p得cos"应Q-COS0sin&cos/ = Jl-cos-cos = 1-cos0- E&Qyos歼7Vsin- 0因为汗昔(石心一 2/T 一X = (3Xai)b处= X dj Q所以kkb分别垂氏于止点阵初始晶胞的平面，H.有郴同的长度，人=*弋 =1儿 根据对称性,2兀一一 axa2 =bi.b2.b3彼此间应有相同的夹角，设夹角为b= Qa2 sin&QG 二 q (ci2 X6r3) = ia(iacos&+

30、 Jdsiii&)x,acosa+ jacos卩 + 1acosy = a3 sin 0cos yI r cos&(l-cos&)cosy = JI- cos* 3vsin- eb= Q2龙一一 ax xa2 =2兀=.八 乂兀 ' cr sin=Ga cos /第一章晶体的结构第一章晶体的结构2 =逬嗔等产(<a2xa3)(a3xai).因为 A(BxC)=B(Cx4)=C(AxB), Ax(BxC)=(C*A)-(A*)Cb b 一 一 一 一 一 一cos2 0-cos& _ cos& sin2 01+ cos& (a2xa3

31、)(axa2)eg心猝斗eb3 /r I G1 z 、z 、 ，一 一、r cos'cos & =T-T7© °3)(5 勺)一 (a】=a sin 0sin 0COS&1 + cos 0I r cos2 &(1 - cos 0)2 cosy = JI-cos 0Vsin2 0Lcos-COS(1-COS1 - cos2 0I cos' &(1 + cos &) + cos2 &(1 - cos 8)1 + cos 0I-? c°*=(1 + cos 0 cos 矿) 1+ COS&2” r

32、. c 2/r12/rcr sin 0 =Qa cos/ a尺c 小齐Q十 cos0cos6 )-解法(二)设ax - aalQ a2 = aa , a3 = aa :第一章晶体的结构2OD OC一 一 oe 一 一AD= OA sin = asin, OD = OAcos 22CD 2 AD cos= aJJsin 6 2s、od2 + oc2-cd2cosa = cos Z COD =#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构J1+ cos&-2cos，01+ COS&#第一章晶体的结构 - e 8 一 e 8ax = iacos + jasin t a2 = iacos- ja

33、n t a3 = iacosa + kasiii a恥菩（石x石）=等口鈕*2一忌轨曲硝cos。） 22兀q &-*&-*&b、=(a. x a) =(-/sinsin a + /cossina+ /:sin cosa)Q 3兀a o八b：=sin" 0 Q- Q222瓦二込&X石）一应Sh/cos歸一邑si叔QQ 22 Q比=比=sin2 a+ cos2 a- cos2, r-0.2-> 0 rsin- sin- a + cos- sin- a + sin- cos- a2 2 2( .0l-COS-yXCOS&0cos< 2丿-

34、sin2<9Q-#第一章晶体的结构23第一章晶体的结构b3.brgq *ncv sin Qin Ok 2 开 cr.0 .二 0 .7 .0、(-/ sinsina+ / cossin a+ ksincos a) Q222龙咕4 . 2nsin* 0Q-#第一章晶体的结构COS& cos。Xcos 纟 1+cosO2sin(9sinycosasin2 0sin silly.a .& 02sm&sm cos2 2#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构sinLQIncrT 0 二 &0(-/sinsin a- jcossina + k sin cosa)2 2

35、2兀a"> a siir 0Q2 q 0sinn sin cos a2sin2 0sill sillya q &&&1 + COS 02sinasin cos cos 2 2 2COS& cos。 Xcos e： = 171CT T . 0 . 二(-/sin sin a - jcos20 . r . 0ln(r 7 . 0 . 二 0 .7 . 0sina+ Ksin cosa)*(-/sinsina+ /cossin(z+ ksiii cos a)22Q2224snr 0Q-0 .0 o一sin- sin- a+ cos- sin- a+ s

36、in- cos- a .2 22sin2 0cl-3cos&cosJ 0cos&+x2 = 0cos- cos 0(1 - cos2 a) + sin2 cos2 asin2 0sin2 0sin a = cos2 a =cos"L 应£ =(i + 2c°s&cos&V1 + cos 0.0 cos- 2(id cos夕+ jasinyxcosy- Jasinf) (方 cosa+ZasiiiQ-ncr sin &_ 21 _Zn12a3 sin y cosy sin aa ana a (1 + 2 cos Geos 8,

37、ZrZr#第一章晶体的结构25第一章晶体的结构= («.xa)= 一 Q恥咯运X®嘤（石X石）#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构sin26>#第一章晶体的结构（时如巩皎他）sin2 0根据布喇格公式1. 15用波长为015405nm的X射线投射到锂的粉末上,得到前面几条衍射谱线的布喇格角（）如F序号123450 (° )19.611°28. 136°35.156°41. 156°47. 769°己知钢为体心立方结构.试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数;（2）上述各晶面族的面间距：（3）利用上两项结果

38、计算晶格常数仏解：参考王矜奉1. 2. 20.徐至中1-18,韦丹3. 25（1）在用X射线衍射方法确定阳体结构时，釆用晶胞血不是固体物理学原胞。因此面指数用密勒指 数衷示（h, k. 1） , Xj J;体心立方结构2d展 sin 8= nAsin= J/r/i- + irk + irr2九2dsin© : sin ft : sin : sinQ : sinQ =1:1.405 :1.716:1.961:2.206yh + k + /f : J居 + m : J 居 + k； +1； : J/彳 + kj + £ : Jh； + k； +1：= 1:1.405:1.716

39、:1.961:2.206对休心立方晶系，衍射而指数的和( + £+/)为偶数出现衍射极人。因此，对衍射角宙小到人的品而 族是(110),(200),(121),(220),(310)，而Vl2+l2 + 02 : V22 + 02 + 02 : Jl2 + 22 +12 : yjz2 + 22 + Q2 : J3 +F + 0= 1:1.414:1.732:2:2.236在谋差允许范I洞内很好符合。因而，对应的晶面族是(110),(200),(121),(220),(310). nAA0.15405n/n八 “c(2) dhU = 0.22949/z/w2sill &2sin

40、0 2x sinl9.6irA 0.15405"/”a八= 0.22949“加2 sin& 2xsinl9.61f.20.15405n/nw= 0.16334/i/n2sii】& 2 x sin 28.136°A0.15405/im2sin02xsin35.156°.A0.15405/1/1df = 0.11704/?"2 sii】& 2x sin 41.156° A 015405i ccr=0.10403m”2sii】& 2 x sin 47.769°(3) a = dhklJ/F + T + 尸=0

41、.22949x“+卩 + 0 = 0.322nm 1. 16铁在不同的温度卜可能是体心工方结构(a-Fe)或面心结构(Y -Fe )。用x射线束照射铁品体当 温度为201时，得到最初的三个衍射角为8。12' , 11° 38，14° 18'；当温度为1000*C时，衍射角为 7° 55，9° 9，, 12° 59。试求：(1) 在20C和1000-C时，铁各屈于什么结构？(2) 若在20C时，铁的密度为7. 86gcm-求其晶格常数和X射线的波长。解参考林鸿生1. 1.21,王矜奉1. 2.21(1)在X射线衍射方法决定晶体结构

42、时.常采用晶胞而不是固体物理学原胞。因此决定散射波强度在空间分布时.先是根据晶体所属的晶体.按照晶系的布喇格格子， 由布喇格反射条件决定衍射加强方向，其次在这些衍射加强方向 上的散射波强度则宙几何结构因子及原子散射因子决定，所以在 晶体X射线衍射实验中，耍在衍射角0方向上观察到衍射斑点， 首先必须满足布喇格反射定律2d展 sin= nA铁金属属芷方结构，如图所示，这是简立方格子晶胞，正格欠基其倒格子基欠为倒格子矢最为辺亦+石+兀)矢为 a = ai、b = a j、c = aky#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构代表晶面族(MA)的法线方向，其晶面族的间距为#第一章晶体的结构27第一章晶体的

43、结构置换布喇格公式中仏.得到c /以 2 / O fOf?F I ->->10-sin 8 = = Jw/r + nW + irr s Jzr/?- + nk + trr ldM 2a7表明衍射角正弦与衍射面指数的方均值成正比。上面的推导可以看出，对应三个最小衍射角耍求三个最小 址简单的晶面指数（H/）：但晶格面指数（加7）的选择还耍考虑到，尽管这个选择满足X射线衍射理论的布喇格反射公式，在衍射角（）方向上衍射光足加强的，但由J：晶胞内不同坐标上原子的散射波Z间干涉也 会相互抵消，在这些方向上的衍射强度仍可能为零，而看不到衍射斑点，这就说必须满足阳体的儿何结构 因子，立方晶系有体心

44、和面心结构。坊肘=工f 对仲严旳）= /l+enh'htk+nl)#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构1 0Cy#/f鬲二®/用广工/cos2皿（他+紀+側）+工/>112劝（他+純+阿）首先计算体心结构的结构因子，这时每个阳胞中勺两个原子，其坐标（MrVy,H；.）为（0,0,0）和雪 比较看出.体心立方结构情况卜三个衍射面指数的方均根之比与铁在实验测得当温度为20C时.得到最初 的三个衍射角正弦值Z比非常接近，所以铁在20C下是否屈体心立方结构。则Fh =工于严佝4*旳）= /l + e氐(nh+tik+nl)其次，在面心结构中，这时每个晶胞中仃四个原子，其坐标）为

45、（o。，。），（鈴。则厲广工小3严严7）=J+严®)#第一章晶体的结构#第一章晶体的结构55847x10T f in =kg ,6.02 X1023/ 8 Fhkl = FhU - F*kl =尸1+ cos2tu?(/?+ /:)+ cos2tv?(/?+ /)+ cos2tu7(R + /)丁+ f2 sin? (h + k) + sin2 (/?+/) + sin2 (k + /)显然，当Hhtnktnl奇偶相异时，I=o,衍射消失，但当"lhnl全为奇数或全为偶数时，衍射极人，取 n=l,则対应最小三个衍射角的最简单的面指数依次为（111）,（200）, （220）

46、,这三个衍射角的衍射面指数的方均根Z比为JF+F+F : V22 +02 4-02 : V23 + 22 + 02 =1:1.15470 :1.63299比较看出，面心工方结构情况卜三个衍射1何指数的方均根Z比与铁在实验测得当温度为100CTC时，得到最 初的三个衍射角正弦值Z比非常接近，所以恢在looor卜是否属J：面心立方结构。（2）设铁原了质鼠为m,晶格常数为a,铁在20C时为体心立方结构，一个晶胞仃2个铁原了，则铁的质 晟密度2mr 是铁的结构常数a等丁lmol铁质员为55.847x10和g, 个铁原子的质杲#第一章晶体的结构1 £ 10.2868川”_ （2mV _ （ 2

47、M V _ （ 2x55.847 xlQ3 VCl p ） 一1/?匕丿（7860x6.02x10=117证明：在晶体的X射线衍射屮：（1）如果X射线的波长改变TAA,反射线束将備转一个角度A式中0为布喇格角；（2）当晶体发生体膨胀时，反射线束将偏转一个角度 & = - tan » & = tan P3式中.B是晶体的体胀系数。证明：(1)布喇格反射定律2dhkl shi&= nA两边求导得ldhil cosOd 8= nd A tan<9,即& =2tan6> A布喇格反射定律2dhH sin 0 = nAsin & ="

48、;朮=Jn2h + trlK +2dhki 2ci两边求导cos &d 0 = _Jn2h2 + n2k2 + n2l2daler vdO = - Jn2h2 + n2k2 + n2P lacos。a设线膨胀系数为Q, TfZ? = = 3= 3«, V ad& = -sin&- = - tan cos。a 3证法(二)对2d阴sin 0 = nA两边求导2 sin 6悶呻、+ 2d屮小 cos 080 = ndX = 02 sin OSdKh.i SVB卑 = _ = _ tan 3 = -tan = - tan2dg cwBd讪3 V329第一章晶体的结构

49、温度升高时，由于热膨胀，面间距也逐渐变人.山布拉格反射公式可知，对应同-级衍射，、rx光波长不变时，面间距厶逐渐变大，衍射角。逐渐变小.所以温 度升高，衍射角变小.当温度不变,X光波长变大时,对于同-晶面族,衍射角&随之变大.1. 18设由廉子A和B组成的一维双原子晶体中，原子A和B的散射因子分别为和BZ间的距离为a/2,(1)X射线垂直原子线入射，试证明： 干涉条件是nA = a cos 0式中，0是衍射光速与原了线间的夹角；（2）当n为奇数时，衍射强度当n为偶数时，衍射强度/引办+九AAB A证明：参考林鸿生1119,王矜奉1.2.26（1）如图所示,复式格子对X射线的衍射，可以归

50、结为晶体内各原胞散射波之间的相互干涉，因为晶体 是由各原胞在空间周期性排列而成,而它的排列情况完全可由布喇格格子来表示，因此各原胞之间相互加 山条件即是布喇格格了屮被格点散射加强条件。因此本题可看做是一个相距为a-维布喇格晶体光栅，如 图所示，其屮每一个格点代表了原子A和B,各格点（原胞）散射波之间相互加强条件由期中任两束散射 波的光程差来决定，当光程差等丁入射X射线波长整数倍时，散射相互加强，即LQ = LP cos 8 = a cos 3 = nA（n = 0,1,2 ）这与布喇格公式2dhkl sin <9=/?不同，原因是这里不存在晶面族中各晶面之间干涉。（2）儿何结构因了S /；eJi2/1(加丿)231第一章晶体的结构2#第