圆周运动教师讲义

1、圆周运动（圆周运动为高考重点）教学目标：1掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式2学会应用牛顿定律和动能定理解决竖直面内的圆周运动问题本讲重点：1描述圆周运动的物理量及相关计算公式2用牛顿定律和动能定理解决竖直面内的圆周运动问题本讲难点：用牛顿定律和动能定理解决竖直面内的圆周运动问题考点点拨：1“皮带传动”类问题的分析方法2竖直面内的圆周运动问题3圆周运动与其他运动的结合一、考点扫描（一）知识整合匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的弧长相等。描述圆周运动的物理量1线速度（1）大小：v= （s是t时间内通过的弧长）（2）方向：矢量，沿圆周的切线方向，时刻变化，所以匀速圆周运动是变速

2、运动。（3）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢2角速度（1）大小：w= （是t时间内半径转过的圆心角） 单位：rad/s（2）对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的（3）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢3描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:4向心加速度a（1）大小：a =2 f 2r（2）方向：总指向圆心，时刻变化（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。5向心力：是按效果命名的力，向心力产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。（1）大小：（2）方向：总指向圆心，时刻变化做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只

3、是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力。（二）重难点阐释在竖直平面内的圆周运动问题在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为：（1）无支撑（如球与绳连结，沿内轨道的“过山车”）在最高点物体受到弹力方向向下当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知mg=，得临界速度 当物体运动速度v<v0，将从轨道上掉下，不能过最高点因此临界速度的意义表示了物体能否在竖直面上做圆周运动的最小速度（2）有支撑（如球与杆连接，车过拱桥等）因有支撑，在最高点速度可为零，不存在“掉下”的情况物体除受向下的重力外，还受相关弹力作用，其方向可向下，也可向上当物体实际运动速度产生离心运

4、动，要维持物体做圆周运动，弹力应向下当物体有向心运动倾向，物体受弹力向上所以对有约束的问题，临界速度的意义揭示了物体所受弹力的方向（3）对于无约束的情景，如车过拱桥，当时，有N=0，车将脱离轨道此时临界速度的意义是物体在竖直面上做圆周运动的最大速度以上几种情况要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。二、高考要点精析（一）“皮带传动”类问题的分析方法【例1】cd如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。解析：va= vc，而vbvcvd =124，所以va vbvcvd =2124；ab=21，而b=c=

5、d ，所以abcd =2111；再利用a=v，可得aaabacad=4124考点精炼小齿轮车轮小发电机摩擦小轮链条1如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径R0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。则大齿轮和摩擦小轮的转速之比为（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动） （ ）A2175 B1175 C4175 D11401A（大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间，两轮边缘各点的线速度大小相等，由，可知转速n和半径r成反比；

6、小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1n2=2175）（二）竖直面内的圆周运动问题【例2】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）A球的质量为m1，B球的质量为m2它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是_由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程根据牛顿运动定律对于A球，对于B球，又 N1=N2解得 【例3】小

7、球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图所示。试求d的取值范围。DdLOmBCA解析：为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：根据机械能守恒定律可得由以上两式可求得：考点精炼2如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为A. B. C. D. 2C（要使小

8、球能够在竖直平面内做圆周运动，最高点最小速度满足 ，从A到最高点，由动能定理有，解得）（三）圆周运动与其他运动的结合【例4】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。解析：设圆周的半径为R，则在C点：mg=m 离开C点，滑块做平抛运动，则2Rgt22 vCtsAB 由B到C过程： mvC2/2+2mgRmvB2/2 由A到B运动过程： vB22asAB 由式联立得到： a=5g4【例5】如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，

9、外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度 绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝 s （与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率 v1 和v2 的微粒，从 s 处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上。如果R、v1 和v2都不变，而取某一合适的值，则（ ）A有可能使微粒落在N筒上的位置都在 a 处一条与 s 缝平行的窄条上B有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如 b 处一条与 s 缝平行的窄条上C有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的

10、窄条上D只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒解析：两种粒子从窄缝 s射出后，沿半径方向匀速直线运动，到达N筒的时间分别为和，两种粒子到达N筒的时间差为，N筒匀速转动，在和时间内转过的弧长均为周长的整数倍，则所有微粒均落在a 处一条与 s 缝平行的窄条上，A正确；若N筒在和时间内转过的弧长不是周长的整数倍，且在内转过的弧长恰为周长的整数倍，则所有微粒均落在如b处一条与 s 缝平行的窄条上，B正确；若在和及内转过的弧长均不是周长的整数倍，则可能落在N筒上某两处如 b 处和c 处与 s 缝平行的窄条上，C正确；对应某一确定的值，N筒转过的弧长是一定的，故N筒上微粒到达的位置是一定的，D错误。答案：

11、ABC考点精炼3如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：（1）小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?（2）小球落地点C与B点水平距离s是多少?3解析：（1）小球由AB过程中，根据机械能守恒定律有： mgR 小球在B点时，根据向心力公式有； 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg （2）小球由BC过程，水平方向有：s=vB·t 竖直方向有： 解得 4如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A

12、的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为（ ）RABhAB CD4B解析：小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，小球的运动可看作水平方向的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。因此从A至B的时间为：，在这段时间内小球必须转整数周才能从B口处飞出，所以有：，当n=1时，v0最小，v0min=。图3-12四 圆周运动的应用a.定量分析火车转弯的最佳情况。受力分析：如图所示3-12火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。动力学方程：根据牛顿第二定律得mgtanm其

13、中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。分析结论：解上述方程可知rgtan可见，最佳情况是由、r、共同决定的。当火车实际速度为v时，可有三种可能，当v时，内外轨均不受侧向挤压的力；当v时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；当v时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等我们讨论的火车转弯问题，实质是物体在水平面的匀速圆周运动，从力的角度看其特点是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在竖直方向，因此物体除了重力外，至少再受到一个力，才有可能使物体产生在水平面做匀速圆

14、周运动的向心力实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力来提供，如上图3-12所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上，F=Gtg=mgtg，故mgtg=m。 五、离心运动做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图3-20中B所示。当产生向心力的合外力消失，F0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图3-20中A所示。当提供向心力的合外力不

15、完全消失，而只是小于应当具有的向心力，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图3-20所示。 图3-20、例9：一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h当雨伞以角速度旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周这个大圆的半径为_。【审题】想象着实际情况，当以一定速度旋转雨伞时，雨滴甩出做离心运动，落在地上，形成图3-21一个大圆。【解析】雨滴离开雨伞的速度为v0r雨滴做平抛运动的时间为t雨滴的水平位移为sv0tr雨滴落在地上形成的大圆的半径为R 六 圆周运动的功和能例9：使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨

16、道的最高点？【审题】小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道。要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足Mg+NA=m，式中，NA为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA=0时，vA最小，vA=。这就是说，要使小球到达A点，则应该使小球在A点具有的速度vA。【解析】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。小球在圆形轨道最高点A时满足方程根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程 （2）解(1)，(2)方程组得当NA=0时，VB=为

17、最小，VB=所以在B点应使小球至少具有VB=的速度，才能使它到达圆形轨道的最高点A。 (8) 实验中常见的圆周运动综合题往往以圆周运动和其他物理知识为背景，这类题代表了理科综合命题方向，要在平日的做题中理解题目的原理，灵活的把握题目。例10： 图3-22甲所示为测量电动机转动角速度的实验装置，半径不大的圆形卡纸固定在电动机转轴上，在电动机的带动下匀速转动在圆形卡纸的旁边垂直安装一个改装了的电火花计时器。请将下列实验步骤按先后排序：A使电火花计时器与圆形卡纸保持良好接触B接通电火花计时器的电源，使它工作起来C启动电动机，使圆形卡纸转动起来D关闭电动机，拆除电火花计时器；研究卡纸上留下的一段痕迹（

18、如图3-22乙所示），写出角速度的表达式，代入数据，得出的测量值要得到的测量值，还缺少一种必要的测量工具，它是A秒表B毫米刻度尺C圆规D量角器写出角速度的表达式，并指出表达式中各个物理量的意义：为了避免在卡纸连续转动的过程中出现打点重叠，在电火花计时器与盘面保持良好接触的同时，可以缓慢地将电火花计时器沿圆形卡纸半径方向向卡纸中心移动则卡纸上打下的点的分布曲线不是一个圆，而是类似一种螺旋线，如图3-22丙所示这对测量结果有影响吗？图3-22【审题】因为这个题目用的是打点计时器，所以两点之间的时间是0.02s，通过量角器量出圆心到两点之间的角度，利用=/t。【解析】具体的实验步骤应该是A、C、B、

19、D，量出角度应该用量角器D，为个点对应的圆心角，为时间间隔；应该注意的一个问题是不能转动一圈以上，因为点迹重合，当半径减小时，因为单位时间内转过的角度不变，所以没有影响。三、考点落实训练1关于向心力的下列说法中正确的是 ADA向心力不改变做圆周运动物体速度的大小B做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的C做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力D做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力2在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率vc=，则下述正确的是(ACD)A此球的最大速率是 vcB小球到达C点时对轨道的压力是C小球在任一直

20、径两端点上的动能之和相等D小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于3如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速v0，若v0，则有关小球能够上升的最大高度（距离底部）的说法中正确的是（ BC ）RA一定可以表示为 B可能为C可能为R D可能为解析：小球从最低点沿圆轨道向上运动，若小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，有小球上升的高度为H=。若小球从最低点沿圆轨道向上运动，且不能过圆周，则小球到最高点的速度为零，根据机械能守恒，有小球上升的高度为HR。如果能过圆周，在上升的过程中小球会脱离轨道，作斜抛运动，到达最高点时的速度不为零，所以达不

21、到的高度。答案BC正确。Oab4如图所示，细轻杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，a、b分别表示轨道的最低点和最高点，则小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为（ BCD ）A3mg B4mg C5mg D6mg解析：轻杆约束的小球在竖直平面内做圆周运动，到达最高点的速度最小可以是零，根据向心力公式结合机械能守恒，可得出小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为4mg、5mg或6mg，BCD正确。5小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设

22、线没有断裂，则下列说法错误的是（ ）LL/2OPA小球的角速度突然增大 B小球的瞬时速度突然增大C小球的向心加速度突然增大 D小球对悬线的拉力突然增大5B解析：当细线碰到钉子时，线速度不变，但小球做圆周运动的半径将减小由=，R减小，增大 a=，R减小，a增大Fmg=m，得F增大故B错误，本题选B。6如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为，则杆的上端受到球对其作用力的大小为（ ）A B C D不能确定6C解析：对小球进行受力分析，小球受到两个作用力，即重力和杆对小球的作用力，两个力的合力提供向心

23、力，根据牛顿第二定律就可得C正确。7用轻质尼龙线系一个质量为 0.25 kg 的钢球在竖直面内旋转。已知线长为 1.0 m ，若钢球恰能通过最高点，则球转到最低点时线受到的拉力是_15_N；若将线换成质量可以忽略的轻杆，为了使球恰能通过最高点，此杆的最大承受力至少应为_12.5_N。8如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、B、C三点的角速度之比ABC=_1:_3：1_，向心加速度大小之比aAaBaC=_3：9：1。abA9如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个

24、质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。9解析：以a球为对象，设其到达最高点时的速度为va，根据向心力公式有： 即所以：以b球为对象，设其到达最高点时的速度为vb，根据向心力公式有：即 所以：a、b两球脱离轨道的最高点后均做一平抛运动，所以a、b两球的水平位移分别为： 故a、b两球落地点间的距离s=sasb=3R。轮10：如图3-1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L=2m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别

25、为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为=4rad/s时，上下两轻绳拉力各为多少？图3-1【解析】如图3-1所示，当BC刚好被拉直，但其拉力T2恰为零，设此时角速度为1，AC绳上拉力设为T1，对小球有： 代入数据得：，要使BC绳有拉力，应有>1，当AC绳恰被拉直，但其拉力T1恰为零，设此时角速度为2，BC绳拉力为T2，则有 T2sin45°=mLACsin30°代入数据得：2=3.16rad/s。要使AC绳有拉力，必须<2，依题意=4rad/s>2，故AC绳已无拉力，AC绳是松驰状态，BC绳与杆的夹角>4

26、5°，对小球有：T2cos=m 2LBCsin 而LACsin30°=LBCsin45°LBC=m 由、可解得；（2）同轴装置与皮带传动装置图3-211：如图3-2所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则Aa点与b点线速度大小相等Ba点与c点角速度大小相等Ca点与d点向心加速度大小相等Da、b、c、d四点，加速度最小的是b点所以选项C、D均正确。图3-412：如图3-4所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为，当碗绕竖直轴OO/匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度【解析】物体A做匀速圆周运动，向心力： 而摩擦力与重力平衡，则有： 即： 由以上两式可得