北师大版八级上册第四章4.2　一次函数与正比例函数

1、.4.2一次函数与正比例函数教案教学目的知识与技能：理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.过程与方法：可以根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.情感态度与价值观：1.通过函数与变量之间的联络,一次函数与一次方程的联络,进步学生的数学思维才能.2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,开展学生的数学应用才能.教学重难点【重点】1.一次函数、正比例函数的概念.2. 一次函数、正比例函数的关系.3.会根据信息写出一次函数的表达式.【难点】一次函数知识的运用.教学准备【老师准备】引例和例题投影图片.【学生准备】复习函数的定义、函数

2、值等内容.教学过程一、导入新课导入一:生活中充满着许许多多变化的量,你理解这些变量之间的关系吗?如弹簧的长度在弹性限度内与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目理解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?用一次函数可以解决哪些问题呢?你想理解这些吗?一起进入这节课的学习吧!导入二:汽车的平均速度为95 km/h,A地直达北京的高速公路全程为570 km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的间隔 .小明能得到一个什么样的关系式呢?他是怎样想的

3、?猜猜看.二、新知构建过渡语怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?1、出示教材引例及问题某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.1计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:x/kg012345y/cm2你能写出y与x之间的关系式吗?【分析】当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,那么弹簧总长为原长加伸长的长

4、度,即y=3+0.5x.2、做一做某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.1完成下表:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L2你能写出耗油量yL与汽车行驶路程xkm之间的关系式吗?3你能写出油箱剩余油量zL与汽车行驶路程xkm之间的关系式吗?【答案与提示】1如下表所示:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L06121824362y=6·x.3z=60-x.【归纳】假设两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+bk,b为常数,k0的形式,那么称y是x的一次函数.例如y=2x+1, y=x-1等都是一次函数.特别

5、地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如下图.知识拓展正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.3、例题讲解写出以下各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?1汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程ykm与行驶时间xh之间的关系;2圆的面积ycm2与它的半径xcm之间的关系;3某水池有水15 m3,现翻开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3.由学生交流讨论完成解:

6、1由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.2由圆的面积公式,得y=x2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.3这个水池每小时增加5 m3水,x h增加5x m3水,因此y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.【考虑】两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?我国自2019年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收方法规定:月收入不超过3500元的部分不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为3860-3500×3%=10

7、.8元.1当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y元与月收入x元之间的关系式;2某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?3假如某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?解析一次函数y=kx+bk,b为常数,k0中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据详细情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.解:1当月收入超过3500元而不超过5000元时,y=x-3500×3%,即y=0.03x-105.2当x=4160时,y=0.03×

8、;4160-105=19.8元3因为5000-3500×3%=45元,19.2<45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,那么:19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是4140元.三、课堂总结四、课堂练习1.一根弹簧的原长为12 cm,它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重物1 kg就伸长0.5 cm,那么在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度ycm与所挂重物xkg之间的函数关系式是. 解析:弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量的取值要有实际意

9、义,所以0x15.故填y=0.5x+120x15.2.y=kx+b是一次函数,那么k为A.一实在数B.正实数C.负实数D.非零实数解析:y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.应选D.3.以下函数中,y是x的一次函数的是A.y=-3x+5 B.y=-3x2 C.y= D.y=2解析:形如y=kx+bk,b为常数,k0的函数是一次函数.应选A.4.以下说法不正确的选项是A.一次函数不一定是正比例函数B.不是一次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数解析:正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是

10、一次函数,如y=2x-3.应选D.5.某面包厂现年产值是15万元,方案从今年开场每年增加产值2万元.1写出年产值y万元与年数x之间的函数表达式;2求5年后的年产值.解析:1年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.2将x=5代入1中求得的表达式即可得解.解:1y=2x+15.2当x=5时,y=2×5+15=25,即5年后的年产值为25万元.五、板书设计4.2一次函数与正比例函数1.出示教材引例及问题.2.做一做.3.例题讲解.例1例2六、布置作业1、教材作业【必做题】教材习题4.2第1,2题.【选做题】教材习题4.2第5题.2、课后作业【根底稳固】1.假设函数y=m-5x+4m+

11、1x2m为常数中的y与x成正比例,那么m的取值范围为A.m>-B.m> 5 C.m=- D.m=52.以下函数:y=4x+3;y=x;y=x4;y=x2;y=1-x中,一次函数有A.1个B.2个C.3个D.4个3.在函数y=x, y=x+3,y=,y=2x2-3, y=2x-3中,是关于x的正比例函数. 【才能提升】4.容积为800 L的水池内已蓄水200 L,假设每分钟注入的水量是15 L,设池内的水量为QL,注水时间为tmin.1请写出Q与t的函数关系式;2注水多长时间可以把水池注满?3当注水时间为0. 2 h时,池中水量是多少?5.某自行车保管站在某个星期日承受保管

12、的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3元.1假设一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;2假设估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.【拓展探究】6.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购置商品房的政策性方案.人均住房面积/m2单价/万元/m2不超过30的部分0.3超过30不超过nm2的部分45n600.5超过nm2的部分0.7根据这个购房方案解决以下问题:1假设某三口之家欲购置120 m2的商

13、品房,求其应缴纳的房款;2设某三口之家购置商品房的人均面积为x m2,应缴纳房款为y万元,请写出y关于x的函数表达式.【答案与解析】1.C解析:函数y=m-5x+4m+1x2中的y与x成正比例,即m=-.应选C.2.C 解析:y=4x+3是一次函数;y=x是一次函数;y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数;y=x2的自变量的次数不为1,故不是一次函数;y=1-x是一次函数.应选C.3.y=x解析:只有y=x符合y=kxk0的形式.4.解:1Q=200+15t,0t40.2注水40 min可以把水池注满.3当注水0.2 h,即12 min时,池中水量为380 L.5.解:1y与x的关系式是

14、y=0.3x+0.5×3500-x,即y=-0.2x+17500x3500,且x为整数. 2因为变速车停放的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在3500×60%与3500×75%之间.当x=3500×60%=2100时,y=-0.2×2100+1750=1330;当x=3500×75%=2625时,y=-0.2×2625+1750=1225.所以该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.6.解析:1根据房款=房屋单价×购房面积就可以表示出应缴房款.2分别求出当0x30,30<xn和x&