集合的关系与基本运算总结复习

1、课次教学计划（教案）课题集合间的基本关系与基本运算理解集合间的基本关系，会用集合的基本运算解题教学目标观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1) A=1 , 2, 3,B=1 , 2, 3, 4 , 5. A=x|x>3,B=x|3x-6>0.A=正方形,B=四边形.A=,B=0.通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有:1.子集定义：一般地，对于两个集合 A与B,如果集合 A中的任何一个元素都是集合 B的元 素，我们就说集合 A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A B （或B A），即若 任意x A,有x B，则A B（或A B）。这时我们也

2、说集合 A是集合B的子集（subset）。如果集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,就记作A?B （或B?A），即:若存在 x A,有 x B,贝U A?B（或 B?A）说明：A B与B A是同义的，而A B与B A是互逆的。规定:空集 是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有 A。例1.判断下列集合的关系(1) NZ;(2) NQ；(5) A=x| (x-1) 2=0, A=1,3, A=-1,1,(8) A=x|x是两条边相等的三角形 RZ;(4) RQ;B=y|y 2-3y+2=0;B=x|x 2-3x+2=0;B=x|x 2-仁0;B=x|x是等腰三角形。问题1:观察（7 ）和

3、（8），集合A与集合B的元素，有何关系？2例 2 设集合 A=1, 3, a , B=1, a -a+1,且 A B,求 a的值2.集合相等 定义：对于两个集合 A与B ,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（即A B）,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B A）,则称集合A等于集合B，记作 A=B。如：A=x|x=2m+1 , m Z , B=x|x=2n-1 , n Z，此时有 A=B 。（2）除去与A本身外，集合A的其问题2 : （1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是） 它子集与集合A的关系如何？（包含于 A，但不等于A）例 3已知 A 1,a,b , B a,a

4、2,ab,且A B,求实数 a、b .b设 a、b R,集合1, a+ b, a=0, a , b,则 b -a=()(请写出解题过程)A. 1B. -1C.2D. -23真子集：由包含”与 相等”的关系，可有如下结论：（1）A A （任何集合都是其自身的子集）；（2）若A B，而且A B（即B中至少有一个元素不在 A中），则称集合A是集合B的真子集（proper subset）,记作B。（空集是任何非空集合的真子集）（3）对于集合 A, B, C,若A? B, B?C，即可得出 A? C;对A?U B , bN C,同样有 AZ C,即:包含关系具有 传递性”。4.证明集合相等的方法：对于集

5、合A , B,若A B而且B A，贝U A=B。（ 1）证明集合A , B中的元素完全相同；（具体数据）（2）分别证明A B和B A即可。（抽象情况）例2.写出a , b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集例3写出集合a、b、C的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是 非空真子集。结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。A,求实数m的取值范围例 4.己知集合 A= x | 一 2< x<5 ,B= x | m 十 1< x< 2mr 1,若 B已知集合M 4,7,8,且M中至多有一个

6、偶数，则这样的集合共有（）；A 3个B 4个C 5个D 6个问题3:请看下例A=班上所有参加足球队同学 B=班上没有参加足球队同学S=全班同学那么S、A、B三集合关系如何图1-3分析：（借助于文氏图）集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合，则有6全集如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（un iwerse set）,记作U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合。7补集（余集）一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即 A?S），由U中所有不属于 A的 元素组成的集合，叫做U中集合A的补集（

7、或余集），记作CuA ,即CuA=x|x U，且x?A 图1 3阴影部分即表示 A在U中补集CuA。例 5.己知全集 U= 1,2,3,4,5 ,A= x | x2 十 px 十 4=0,x U ,求 CuA 与 p分析：CuA隐含了 A U,.注意不要忘.记A= 0的情形.练习：解答下列各题：(1) 已知 A=0 , 2, 4, CuA=-1 , 1 , CuB=-1 , 0, 2，求 B;(2) 设全集 U=2 , 3 , m2+2m-3 , A=|m+1| , 2 , CuA=5,求 m 的值;(3) 已知全集 U=1 , 2 , 3 , 4, A=x|x 2-5x+m=0 , x U,

8、求 CuA、m;知识点巩固题型一判断集合间的关系问题 例1下列各式中，正确的个数是()(1) 0 0 , 1 , 2 ; (2) 0 , 1 , 2 2, 1, 0 ; (3)0, 1, 2 ; (4)0;(5) 0, 1= (0, 1) ; (6) 0=0。A. 1B.2C.3D.4题型二确定集合的个数问题例2 已知1, 2 M 1, 2, 3, 4, 5,则这样的集合M有个题型三 利用集合间的关系求字母参数问题1. 已知集合A=x | 1 <axv2, B=x I X v 1,求满足A B的实数a的范围。（不等式问题）2. （2.用数轴解题）已知 A=x | x< -1 或 x

9、>5, B=x R | a<x<a + 4，若 A B,求实数 a 的取值范围。、分类讨论思想23. 已知集合 A=a, a + b, a + 2b , B=a, ac, ac ,若 A=B,求 c 的值。2.开放探究题4. 已知集合 A=x I x a =4,集合 B=1, 2, b.（1） 是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A B ?若存在，求出对应的a值，若不 存在，说明理由。（2）若A B成立，求出对应的实数对（a, b）交集与并集问题1:观察下面五个图（投影 1）,它们与集合A,集合B有什么关系？ 图1-51并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成

10、的集合，称为集合 A与集合B的并集 （union set），即A与B的所有部分，记作A U B （读作“A并B”），即A U B=x|x A或x B。 如上述图（3）中的阴影部分。2交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集（in tersection set），即 A 与 B 的公共部分，记作 AQB （读作 “A交 B"），即 AQ B=x|x A 且 x B。 如上述图（2）中的阴影部分。3些特殊结论由图（4）有：若A B ,则AQ B=A;由图（5）有：若B A ,则A B=A ; 特别地，若 A, B两集合中，B= ，贝U AQ= ,

11、 A =A。4例题解析例 1 .设 A=x|x>-2 , B=x|x<3,求 AQB。涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案（图1 6）例2.设A=x|x是锐角三角形 , B=x|x是钝角三角形求A U B。例 3.设 A=x|-1<x<2,B=x|1<x<3, 求 A U B。(图 1 9)利用数轴，将 A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求5课堂练习 1.已知 M=1 , N=1 , 2，设 A= (x, y) |x M , y N , B= (x, y) |x N , y M，求 AQB , A U B。集合的基本运算例 1 设集合 A=

12、x | -1v x v 2,集合 B= x | 1v x <3,求 AB.例 2 A= x | -1 vx<4 , B= x | 2v x<5，求 A B.例3 若A、B、C为三个集合，A B = B C,则一定有（）A. A CB. C AC.A 泊D. A =题型二 集合的并集运算2例2若集合A=1, 3, x , B=1, x , A B=1, 3, x,则满足条件的实数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个例4 集合A=1, 2, 3, 4 , B A，且1 （A B），但4 （A B）,则满足上述条件的集合 B的个数是（）A. 1B.2C.4D.8题型四集合的

13、补集运算2例 5 设全集 U=1, 2, x -2 , A=1, x,求 CU A例6 设全集 U 为 R, A=x | x? - x = 0 , B=x | x = y + 1, y A,求 CU B数学思想方法一、数形结合思想例9 （用数轴解题）已知全集U= x | xN,集合A=x | -2vx v3,集合B= x | -3vx<3, 求 CU A , A B , CU（A B） , （CU A） B例10 （用Venn图解题）设全集U和集合A、B、P满足A=CU B , B= CU P ,则A与P的关 系是（）A. A=CUPB. A=PC. A PD.A P、分类讨论思想例 1

14、1 设集合 A= a 1 , 3, 5，集合 B=2a+1, a2 + 2a, a2 + 2a - 1，当 A B=2, 3时，求A B创新、拓展、实践例14 （实际应用题）在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加 径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛 和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只 参加径赛的同学有多少人？例16我们知道，如果集合A U，那么U的子集A的补集为CUA=x | x U，且x A，类似地，对于集合A、B，我们把集合x | x A，且x B叫做A与B的差集，记作

15、A-B，例 如 A=1，2，3，5, 8，B=4, 5, 6, 7, 8，则 A -B=1，2，3，B -A=4, 6, 7。据此，回答以下问题： 补集与差集有什么异同点？若U是高一班全体同学的集合，A是高一班 全体女同学组成的集合，求U -A及CU A. 在图1-1-24所示的各图中，用阴影表示集合A -B 如果A -B=,那么A与B之间具有怎样的关系高考要点阐释例2 （2008上海高考）若集合A= x | x<2 , B= x | x君,满足A B=2,则实数a =例3 （2008北京高考）已知集合A=x | -2«<3 , B=x | xV-1或x>4,则集合A B等于（）A.x | x<3 或 x>4B. x | -1 Vx<3C. x | 3強V 4D. x | -2§V-16.拓展、31例1 设数集M= x| m$<n+； , N= x|n-,且M、N都是集合 x|0 << 1的子集，如果把b-a叫43作集