第五章整数规划

1、 赵 超建筑工程学院 2013年1月整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用分支定界法分支定界法分配问题与匈牙利法分配问题与匈牙利法Page 3要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。整数线性规划数学模型的一般形式：整数线性规划数学模型的一

2、般形式： 且且部部分分或或全全部部为为整整数数或或 n)1.2(j 0)2 . 1( )min(max11jnjijijnjjjxmibxaxcZZPage 4 纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值，混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 0-1型整数线性规划：决策变量只能取值型整数线性规划：决策变量只能取值0或或1的整数线性规的整数线性规划。划。Page 5例例5.1 工厂

3、工厂A1和和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂。相应的建厂方案有再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和和A4两个。这种物资的需求地两个。这种物资的需求地有有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费需求地的单位物资运费cij，见下表：，见下表：B1B2B3B4年生产能力年生产能力A12934400A28357600A37612200A44525200年需求量年需求量350400300150工厂工厂A3或或A4开工后，每年的生产费用估计分别为

4、开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或万或1500万万元。现要决定应该建设工厂元。现要决定应该建设工厂A3还是还是A4，才能使今后每年的总费用，才能使今后每年的总费用最少。最少。Page 6解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3还是还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。为此，引入为此，引入0-1变量：变量：)2 , 1(01 iyi若不建工厂若不建工厂若建工厂若建工厂再设再设xij为由为由Ai运往运往Bj的物资数量，单位为千吨；的物资数量，单位为千吨；z表示总费

5、用，表示总费用，单位万元。单位万元。则该规划问题的数学模型可以表示为：则该规划问题的数学模型可以表示为：Page 7 )2 , 1(1 , 0)4 , 3 , 2 , 1,(0200200600400150300400350.15001200min244434241134333231242322211413121144342414433323134232221241312111414121iyjixyxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsyyxcziijijijij混合整数规划问题混合整数规划问题Page 8例例5.2 现有资金总额为现有资金总额为B。可供选择的

6、投资项目有。可供选择的投资项目有n个，项目个，项目j所需投资额和预期收益分别为所需投资额和预期收益分别为aj和和cj（j1,2,.,n），此外由），此外由于种种原因，有三个附加条件：于种种原因，有三个附加条件：n若选择项目若选择项目1，就必须同时选择项目，就必须同时选择项目2。反之不一定。反之不一定n项目项目3和和4中至少选择一个；中至少选择一个；n项目项目5,6,7中恰好选择中恰好选择2个。个。应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。Page 9解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，

7、因此分别用分别用0和和1表示，令表示，令xj表示第表示第j个项目的决策选择，记为：个项目的决策选择，记为：),.,2 , 1(01njjjxj 不不投投资资对对项项目目投投资资对对项项目目投资问题可以表示为：投资问题可以表示为： ）（或或者者nxxxxxxxxBxatsxczjnjjjnjjj, 2 , 1j1021.max765431211Page 10例例5.3 5.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如表所示，如何

8、安排他们的工作使总成绩最好。绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。 工作工作人员人员ABCD甲甲85927390乙乙95877895丙丙82837990丁丁86908088Page 11设设 工工作作时时人人做做不不分分配配第第工工作作时时人人做做分分配配第第jijixij01数学模型如下：数学模型如下：4443424134333231242322211413121188809086907983829578879590739285maxxxxxxxxxxxxxxxxxZ 要求每人做一项工作，约束条件为：要求每人做一项工作，约束条件为： 111144434241343332312

9、423222114131211xxxxxxxxxxxxxxxxPage 12每项工作只能安排一人，约束条件为：每项工作只能安排一人，约束条件为： 111144342414433323134232221241312111xxxxxxxxxxxxxxxx变量约束：变量约束：4 ,3 ,2 , 110 jixij、，或或Page 13 整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件，个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件，因而不一定仍为可行解。因而不一定仍为可行解。 整数规划问题的

10、可行解一定是它的松弛问题的可行解（反整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解的目标函数值。的目标函数值。Page 14例例5.3 设整数规划问题如下设整数规划问题如下 且且为为整整数数0,13651914max21212121xxxxxxxxZ首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。题）。 0,13651914max21212121xxxxxxxxZPage 15用图解法求出最优解为：用图解法求出最优解为：x13

11、/2, x2 = 10/3，且有，且有Z = 29/6现求整数解现求整数解(最优解最优解):如用舍如用舍入取整法可得到入取整法可得到4个点即个点即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，。显然，它们都不可能是整数规划的最优它们都不可能是整数规划的最优解。解。x1x233(3/2,10/3)按整数规划约束条件，其可行按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如右的可行解集是一个有限集，如右图所示。图所示。其中其中(2,2),(3,1)点的目点的目标函数值最大，即为

12、标函数值最大，即为Z=4。Page 16整数规划问题的求解方法：整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法分支定界法和割平面法 匈牙利法（指派问题）匈牙利法（指派问题）Page 171）求整数规划的松弛问题最优解；）求整数规划的松弛问题最优解；若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否否则转下一步；则转下一步；2）分支与定界：）分支与定界：任意选一个非整数解的变量任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束：，在松弛问题中加上约束：xixi 和和 xixi+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问

13、题组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。标值是分枝问题的下界。检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数解并且目标值大于算，若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续整数解的目标值，需要继续分枝，再

14、检查，直到得到最优解。分枝，再检查，直到得到最优解。Page 18例例5.4 用分枝定界法求解整数规划问题用分枝定界法求解整数规划问题 且且全全为为整整数数0,4 30 652 5min211212121xxxxxxxxxZ解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题( (原整数规划原整数规划问题的松驰问题问题的松驰问题) ) 0,4 30 652 5min211212121xxxxxxxxxZLPIPPage 19用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。x1x23(18/11,40/11)21123x118/11,

15、x2 =40/11Z=218/11(19.8)即即Z 也是也是IP最小值的下限。最小值的下限。对于对于x118/111.64，取值取值x1 1， x1 2对于对于x2 =40/11 3.64，取值，取值x2 3 ，x2 4先将（先将（LP）划分为（）划分为（LP1）和（和（LP2）,取取x1 1, x1 2Page 20分支：分支： 且且为为整整数数0,1 4 30 652 )1(5min2111212121xxxxxxxxIPxxZ 且且为为整整数数0,2 4 30 652 )2(5min2111212121xxxxxxxxIPxxZ分别求出（分别求出（LP1）和（）和（LP2）的最优解。）

16、的最优解。Page 21先求先求LP1,如图所示。此时在如图所示。此时在B点取得最优解。点取得最优解。x11, x2 =3, Z(1)16找到整数解，问题已探明，找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。此枝停止计算。x1x233(18/11,40/11)11BAC同理求同理求LP2,如图所示。在如图所示。在C 点点取得最优解。即取得最优解。即:x12, x2 =10/3, Z(2)56/318.7 Z(2) Z(1)16 原问题有比原问题有比16更小的最优更小的最优解，但解，但 x2 不是整数，故继续不是整数，故继续分支。分支。Page 22在在IP2中分别再加入条件：中分别再加入条件： x23

17、, x24 得下式两支：得下式两支： 且且为为整整数数0,3 2 4 30 652 )21(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ 且且为为整整数数0,4 2 4 30 652 )22(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ分别求出分别求出LP21和和LP22的最优解的最优解Page 23x1x233(18/11,40/11)11BACD先求先求LP21,如图所示。此时如图所示。此时D 在点取得最优解。在点取得最优解。即即 x112/52.4, x2 =3, Z(21)-87/5-17.4 Z(211) 如对如对LP212继续分解，其最小继续分解，其最小

18、值也不会低于值也不会低于15.5 ，问题探，问题探明明,剪枝。剪枝。Page 26原整数规划问题的最原整数规划问题的最优解为优解为: x1=2, x2 =3, Z* =17以上的求解过程可以以上的求解过程可以用一个树形图表示如用一个树形图表示如右：右：LP1x1=1, x2=3Z(1) 16LPx1=18/11, x2=40/11Z(0) 19.8LP2x1=2, x2=10/3Z(2) 18.5LP21x1=12/5, x2=3Z(21) 17.4LP22无可无可行解行解LP211x1=2, x2=3Z(211) 17LP212x1=3, x2=5/2Z(212) 15.5x11x12x23

19、x24x12x13Page 27例例5.5 用分枝定界法求解用分枝定界法求解 且且均均取取整整数数,0,255.22108.02.134max21212121xxxxxxxxZ解解: 先求对应的松弛问题（记为先求对应的松弛问题（记为LP0）)(0,255 . 22108 . 02 . 134max021212121LPxxxxxxstxxZ 用图解法得到最优解用图解法得到最优解X(3.57,7.14),Z0=35.7,如下图所示。如下图所示。Page 281010108 . 02 . 121 xx255 . 2221 xx松弛问题松弛问题LP0的最优解的最优解X=(3.57,7.14),Z0=

20、35.7x1x2oABCPage 29得得到到两两个个线线性性规规划划及及增增加加约约束束4311 xx10 x2oABC 0,3255 . 22108 . 02 . 1:134max211212121xxxxxxxLPxxZLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 0,4255 . 22108 . 02 . 1:234max211212121xxxxxxxLPxxZLP2:X=(4,6.5),Z2=35.5Page 3010 x1x2oABCLP1LP2134LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33 0,64255 . 22108 . 02 . 1:2134max

21、2121212121xxxxxxxxLPxxZ，不不可可行行，得得到到线线性性规规划划，显显然然及及进进行行分分枝枝，增增加加约约束束选选择择目目标标值值最最大大的的分分枝枝7762222 xxxLP6不可行72x 0,74255 . 22108 . 02 . 1:2234max2121212121xxxxxxxxLPxxZ，Page 3110 x1x2oACLP134可可行行域域是是一一条条线线段段即即，, 40,464255 . 22108 . 02 . 1:21134max121121212121 xxxxxxxxxxLPxxZ：及及，得得线线性性规规划划及及进进行行分分枝枝，增增加加约

22、约束束，选选择择由由于于212211542111121LPLPxxLPZZ 6 0,65255 . 22108 . 02 . 1:21234max2121212121xxxxxxxxLPxxZ，LP211:X=(4,6),Z211=34LP212:X=(5,5),Z212=355LP212Page 32LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5x13x14LP21:X=(4.33,6) Z21=35.33x26LP211:X=(4,6) Z211=34LP212:X=(5,5) Z212=35x14x1

23、5LP22无可行解无可行解x27Page 33学习要点：学习要点： 掌握一般整数规划问题概念及模型结构掌握一般整数规划问题概念及模型结构 掌握分支定界法原理掌握分支定界法原理 能够用分支定界法求解一般整数规划问题能够用分支定界法求解一般整数规划问题课后练习：课后练习：Page 34设设n 个人被分配去做个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作，件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第个人去做第j 件工作的效率件工作的效率（ 时间或费用）为时间或费用）为Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假设并假设Cij 0。问应。问应如

24、何分配才能使总效率（如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？时间或费用）最高？设决策变量设决策变量 ),.,2 , 1,(ji0ji1njixij 件事件事个人做第个人做第不指派第不指派第件事件事个人做第个人做第指派第指派第Page 35指派问题的数学模型为：指派问题的数学模型为： ).2.1,1(0).2.1( 1).2.1( 1min1111njixnjxnixxcZijniijnjijninjijij或或取取Page 36如果从分配问题效率矩阵如果从分配问题效率矩阵aij的每一行元素中分别减的每一行元素中分别减去去(或加上或加上)一个常数一个常数ui，从每一列中分别减去，从每一列中分别

25、减去(或加上或加上)一个常一个常数数vj，得到一个新的效率矩阵，得到一个新的效率矩阵bij，则以，则以bij为效率矩阵的分为效率矩阵的分配问题与以配问题与以aij为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。Page 371) 变换指派问题的系数矩阵变换指派问题的系数矩阵(cij)为为(bij)，使在，使在(bij)的各行各列的各行各列中都出现中都出现0元素，即元素，即 从从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素；的每行元素都减去该行的最小元素； 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。2) 进行试指派

26、，以寻求最优解。进行试指派，以寻求最优解。 在在(bij)中找尽可能多的独立中找尽可能多的独立0元素，若能找出元素，若能找出n个独立个独立0元元素，就以这素，就以这n个独立个独立0元素对应解矩阵元素对应解矩阵(xij)中的元素为中的元素为1，其余，其余为为0，这就得到最优解。，这就得到最优解。Page 38找独立找独立0元素，常用的步骤为：元素，常用的步骤为： 从只有一个从只有一个0元素的行开始，给该行中的元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作元素加圈，记作 。然后划去然后划去 所在列的其它所在列的其它0元素，记作元素，记作 ；这表示该列所代表的；这表示该列所代表的任务已指派完，不必再考虑别

27、人了。依次进行到最后一行。任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一行。 从只有一个从只有一个0元素的列开始（画元素的列开始（画的不计在内），给该列中的的不计在内），给该列中的0元素加圈，记作元素加圈，记作；然后划去；然后划去 所在行的所在行的0元素，记作元素，记作 ，表示，表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。 若仍有没有划圈的若仍有没有划圈的0元素，且同行元素，且同行(列列)的的0元素至少有两个，比元素至少有两个，比较这行各较这行各0元素所在列中元素所在列中0元素的数目，选择元素的数目，选择0元素少这个

28、元素少这个0元素加元素加圈圈(表示选择性多的要表示选择性多的要“礼让礼让”选择性少的选择性少的)。然后划掉同行同列。然后划掉同行同列的其它的其它0元素。可反复进行，直到所有元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。元素都已圈出和划掉为止。Page 39 若若 元素的数目元素的数目m 等于矩阵的阶数等于矩阵的阶数n（即：（即：mn），那么这指，那么这指派问题的最优解已得到。若派问题的最优解已得到。若m n, 则转入下一步。则转入下一步。3) 用最少的直线通过所有用最少的直线通过所有0元素。其方法：元素。其方法： 对没有对没有的行打的行打“”； 对已打对已打“” 的行中所有含的行中所有含

29、元素的列打元素的列打“” ； 再对打有再对打有“”的列中含的列中含 元素的行打元素的行打“” ； 重复重复、直到得不出新的打直到得不出新的打号的行、列为止；号的行、列为止； 对没有打对没有打号的行画横线，有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖号的列画纵线，这就得到覆盖所有所有0元素的最少直线数元素的最少直线数 l 。注：注：l 应等于应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试步，另行试指派；若指派；若 lm n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系数矩阵，以找到数矩阵，以找到n

30、个独立的个独立的0元素，为此转第元素，为此转第4步。步。Page 404) 变换矩阵变换矩阵(bij)以增加以增加0元素元素在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。步。Page 41例例5.6 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作分别记作A、B、C、D。现有

31、甲、乙、丙、丁四人，他们将。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？如何分派任务，可使总时间最少？ 任务任务人员人员ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982Page 42解：解：1）变换系数矩阵，增加变换系数矩阵，增加0元素。元素。2142 289541013895421176)( ijc 06733902451009545 01733402401004542）试指派（找独立）试指派（找独立0元素）元素）找到找到 3 个独立零

32、元素个独立零元素 但但 m = 3 n = 4Page 433）作最少的直线覆盖所有作最少的直线覆盖所有0元素元素独立零元素的个数独立零元素的个数m等于最少等于最少直线数直线数l，即，即lm=3n=4；4）没有被直线通过的元素中选择最小值为）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩，变换系数矩阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2）步进行试指派步进行试指派Page 44 6244251343000 0

33、00试指派试指派 6244251343 得到得到4个独立零元素，个独立零元素， 所以最优解矩阵为：所以最优解矩阵为： 0100001000011000即完成即完成4个任务的总时间最少个任务的总时间最少为：为：241+8=15Page 45例例5.7 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。分配方案。 任务任务人员人员ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119Page 46解：解：1）变换系数矩阵，增加变换系数矩阵，增加0元素。元素。79429118713161491514410413152 24241

34、04750111006211130 00102350960607130 00102350960607130 2）试指派（找独立）试指派（找独立0元素）元素） 独立独立0元素的个数为元素的个数为4 , 指派问题的最优指指派问题的最优指派方案即为甲负责派方案即为甲负责D工作，乙负责工作，乙负责B工作，工作，丙负责丙负责A工作，丁负责工作，丁负责C工作。这样安排工作。这样安排能使总的工作时间最少，为能使总的工作时间最少，为4491128。Page 47例例5.8 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配方案。方案。 任务任务人员人员ABCDE甲甲7

35、59811乙乙9127119丙丙85468丁丁73696戊戊467511Page 484347511576469637964589117129118957 7132036304520142405263402-1 -2解：解：1）变换系数矩阵，增加）变换系数矩阵，增加0元素。元素。Page 49 5032015304310140305242402 5032015304310140305242402 2）试指派（找独立）试指派（找独立0元素）元素） 独立独立0元素的个数元素的个数l45，故画直线调整矩阵。，故画直线调整矩阵。Page 50 5032015304310140305242402 选择直

36、线外的最小元素选择直线外的最小元素为为1；直线外元素减；直线外元素减1，直线交点元素加直线交点元素加1，其，其他保持不变。他保持不变。Page 51 5033004203310240306231301 l =m=4 n=5选择直线外最小元素为选择直线外最小元素为1，直线外元素减直线外元素减1，直线交，直线交点元素加点元素加1，其他保持不，其他保持不变，得到新的系数矩阵。变，得到新的系数矩阵。Page 52 6044003202300230206130300 总费用为总费用为=5+7+6+6+4=28=5+7+6+6+4=28注：此问题有多个最优解注：此问题有多个最优解Page 53 60440

37、03202300230206130300 总费用为总费用为=7+9+4+3+5=28=7+9+4+3+5=28Page 54 6044003202300230206130300 总费用为总费用为=8+9+4+3+4=28=8+9+4+3+4=28Page 55课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。79 10 1213 12 16 1715 16 14 1511 12 15 163821038729764275842359106910练习练习1：练习练习2：Page 5679 10 1213 12 16 1715 16 14 1511 12 15 16382

38、10387297642758423591069104848 21 21答案：答案：Page 57匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij0。当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。Page 58处理方法：设处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。中最大元素。令矩阵令矩阵B（m-cij）nn则以则以B为系数矩阵的最小化指派问题和为系数矩阵的最小化指派问题和原问题有相同的最优解。原问题有相同的最优解。例例4.9 某人事部门拟招聘某人事部门拟招聘4人任职人任职4项工作，对他们综合考评的项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。分），如何安排工作使总分最多。 888090869079838295788