2020年北京市高考数学试卷(有详细解析)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年北京市高考数学试卷 班级：_姓名：_得分：_一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A=1,0，1，2，B=x|0<x<3，则AB=()A. 1,0，1B. 0,1C. 1,1，2D. 1,22. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz=()A. 1+2iB. 2+iC. 12iD. 2i3. 在(x2)5的展开式中，x2的系数为()A. 5B. 5C. 10D. 104. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A. 6+3B. 6+23C. 12+3D. 12+235. 已知半径为1的

2、圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知函数f(x)=2xx1，则不等式f(x)>0的解集是()A. (1,1)B. (,1)(1,+)C. (0,1)D. (,0)(1,+)7. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8. 在等差数列an中，a1=9，a5=1.记Tn=a1a2an(n=1,2，)，则数列Tn()A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最

3、大项，无最小项9. 已知，R，则“存在kZ使得=k+(1)k”是“sin=sin”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day).历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n+tan30°n)B. 6n(sin30

4、6;n+tan30°n)C. 3n(sin60°n+tan60°n)D. 6n(sin60°n+tan60°n)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是_12. 已知双曲线C：x26y23=1，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_13. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AB+AC)，则|PD|=_；PBPD=_14. 若函数f(x)=sin(x+)+cosx的最大值为2，则常数的一个取值为_15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排

5、放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用f(b)f(a)ba的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0,t1，t1,t2，t2,t3这三段时间中，在0,t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点()求证：BC1/

6、平面AD1E；()求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值17. 在ABC中，a+b=11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：()a的值；()sinC和ABC的面积条件：c=7，cosA=17；条件：cosA=18，cosB=916注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立()分别估计该

7、校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；()从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；()将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小(结论不要求证明)19. 已知函数f(x)=12x2(1)求曲线y=f(x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(2,1)，且a=2b()求椭圆C

8、的方程；()过点B(4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=4于点P，Q.求|PB|BQ|的值21. 已知an是无穷数列给出两个性质：对于an中任意两项ai，aj(i>j)，在an中都存在一项am，使得ai2aj=am；对于an中任意一项an(n3)，在an中都存在两项ak，al(k>l)，使得an=ak2al()若an=n(n=1,2，)，判断数列an是否满足性质，说明理由；()若an=2n1(n=1,2，)，判断数列an是否同时满足性质和性质，说明理由；()若an是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：an为等比数列答案和解析1. D 解：集合A=1,0

9、，1，2，B=x|0<x<3，则AB=1,2， 2. B 解：复数z对应的点的坐标是(1,2)，z=1+2i，则iz=i(1+2i)=2+i， 3. C 解：(x2)5的展开式中，通项公式为Tr+1=C5r(2)rx5r2，令5r2=2，求得r=1，可得x2的系数为C51(2)=10， 4. D 解：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，几何体的表面积为：3×2×2+2×12×2×32×2=12+23 5. A 解：如图示：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆，

10、故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB，A在OB上且AB=1，此时距离最小，由OB=5，得OA=4，即圆心到原点的距离的最小值是4， 6. D 解：不等式f(x)>0，即2x>x+1由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示：不等式f(x)>0的解集是(,0)(1,+)， 7. B 解：不妨设抛物线的方程为y2=4x，则F(1,0)，准线l为x=1，不妨设P(1,2)，Q(1,2)，设准线为l与x轴交点为A，则A(1,0)，可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P， 8. B 解：设等差数

11、列an的首项为d，由a1=9，a5=1，得d=a5a151=1(9)4=2，an=9+2(n1)=2n11由an=2n11=0，得n=112，而nN*，可知数列an是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值可知T1=9<0，T2=63>0，T3=315<0，T4=945>0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小数列Tn有最大项，无最小项 9. C 解：当k=2n，为偶数时，=2n+，此时sin=sin(2n+)=sin，当k=2n+1，为奇数时，=2n+，此时sin=sin()=sin，即充分性成立，当sin=sin，则=2n+，nZ或=2n+，nZ，即=k+(

12、1)k，即必要性成立，则“存在kZ使得=k+(1)k”是“sin=sin”的充要条件， 10. A 解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，可得a=2sin360°12n=2sin30°n，b=2tan360°12n=2tan30°n，则26na+6nb2=6n(sin30°n+tan30°n)，即3n(sin30°n+tan30°n)， 11. x|x>0 解：要使函数有意义，则x+10x>0，得x1x>0，即x>0，即函数的定义域为x|x>0， 12. (3

13、,0)； 3 解：双曲线C：x26y23=1，则c2=a2+b2=6+3=9，则c=3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，其渐近线方程为y=±36x，即x±2y=0，则点(3,0)到渐近线的距离d=31+2=3， 13. 5 ；1 解：由AP=12(AB+AC)，可得P为BC的中点，则|CP|=1，|PD|=22+12=5，PBPD=PB(PC+CD)=PC(PC+CD)=PC2PCCD=1， 14. 2(答案不唯一) 解：f(x)=sin(x+)+cosx=sinxcos+cosxsin+cosx =sinxcos+(1+sin)cosx =cos2+(

14、1+sin)2sin(x+)，其中cos=coscos2+(1+sin)2，sin=1+sincos2+(1+sin)2，所以f(x)最大值为cos2+(1+sin)2=2，所以cos2+(1+sin)2=4，即2+2sin=4，所以sin=1，所以=2+2k，kZ，当k=0时，=2 15. 解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t)对于，在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力为f(t2)f(t1)t2t1，乙企业的污水治理能力为g(t2)g(t1)t2t1由图可知，f(t1)f(t2)>g(t1)g(t2)，f(t2)

15、f(t1)t2t1>g(t2)g(t1)t2t1，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，由图可知，f(t)在t2时刻的切线的斜率小于g(t)在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故正确；对于，由图可知，甲企业在0,t1，t1,t2，t2,t3这三段时间中，在t1,t2的污水治理能力最强，故错误正确结论的序号是 16. 解：()由正方体的性质可知，AB/C1D1中，且AB=C1D1，四边形ABC1D1是平行四边形，B

16、C1/AD1，又BC1平面AD1E，AD1平面AD1E，BC1/平面AD1E.()以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则A(0,0，0)，A1(0,0，a)，D1(a,0，a)，E(0,a，12a)，AA1=(0,0,a)，AD1=(a,0,a)，AE=(0,a,12a)，设平面AD1E的法向量为m=(x,y,z)，则mAD1=0mAE=0，即a(x+z)=0a(y+12z)=0，令z=2，则x=2，y=1，m=(2,1,2)，设直线AA1与平面AD1E所成角为，则sin=|cos<m，AA1>|=|mAA1|m|AA1

17、|=2aa3=23，故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23 17. 解：选择条件()由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，即a2b2=4914b×(17)=49+2b，(a+b)(ab)=49+2b，a+b=11，11a11b=49+2b，即11a13b=49，联立a+b=1111a13b=49，解得a=8，b=3，故a=8()在ABC中，sinA>0，sinA=1cos2A=437，由正弦定理可得asinA=csinC，sinC=csinAa=7×4378=32，SABC=12absinC=12×8×3×32=63选择条件

18、()在ABC中，sinA>0，sinB>0，C=(A+B)，cosA=18，cosB=916，sinA=1cos2A=378，sinB=1cos2B=5716，由正弦定理可得asinA=bsinB，ab=sinAsinB=65，a+b=11，a=6，b=5，故a=6；()在ABC中，C=(A+B)，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=378×916+5716×18=74，SABC=12absinC=12×6×5×74=1574 18. 解：()设“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件

19、B，则P(A)=+400=13,P(B)=+100=34；()由()知，P(A)=13,P(B)=34，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C，则P(C)=C22(13)2(134)+C2113(113)34=1336；()p0>p1 19. 解：(1)f(x)=12x2的导函数f(x)=2x，令切点为(m,n)，可得切线的斜率为2m=2，m=1，n=121=11，切线的方程为y=2x+13；(2)曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线的斜率为k=2t，切线方程为y(12t2)=2t(xt)，令x=0，可得y=12+t2，令y=0，可得x=12t+6t，S(t)=12|12t+6t

20、|(12+t2)，由S(t)=S(t)，可知S(t)为偶函数，不妨设t>0，则S(t)=14(t+12t)(12+t2)，S(t)=14(3t2+24144t2)=34(t24)(t2+12)t2，由S(t)=0，得t=2，当t>2时，S(t)>0，S(t)单调递增；当0<t<2时，S(t)<0，S(t)单调递减，则S(t)在t=2处取得极小值，且为最小值32，所以S(t)的最小值为32 20. 解：()椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(2,1)，且a=2b，则4a2+1b2=1a=2b，解得b2=2，a2=8，椭圆方程为x28+y22=1，()由题意可

21、得直线l的斜率存在，设直线方程为y=k(x+4)，由y=k(x+4)x28+y22=1，消y整理可得(1+4k2)x2+32k2x+64k28=0，=32(4k21)>0，解得12<k<12，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，x1+x2=32k21+4k2，x1x2=64k281+4k2，则直线AM的方程为y+1=y1+1x1+2(x+2)，直线AN的方程为y+1=y2+1x2+2(x+2)，分别令x=4，可得yP=2(y1+1)x1+21=(1+2k)x1+(8k+4)x1+2，yQ=(1+2k)x2+(8k+4)x2+2|PB|=|yP|=|(1+2k)x1+(8k+

22、4)x1+2|，|QB|=|yQ|=|(1+2k)x2+(8k+4)x2+2|，|PB|BQ|=|(2k+1)x1+(8k+4)(x2+2)(2k+1)x2+(8k+4)(x1+2)|=|(2k+1)x1x2+(4k+2)(x1+x2)+8(2k+1)+(4k+2)x2(2k+1)x1x2+(4k+2)(x1+x2)+8(2k+1)+(4k+2)x1| (2k+1)x1x2+(4k+2)(x1+x2)+8(2k+1)=32k2(2k+1)1+4k2，|(2k+1)x1x2+(4k+2)(x1+x2)+8(2k+1)+(4k+2)x2(2k+1)x1x2+(4k+2)(x1+x2)+8(2k+1

23、)+(4k+2)x1|=|(2k+1)(32k24k2+1+2x2)(2k+1)(32k24k2+1+2x1)|=|(x1+x2)+2x2(x1+x2)+2x1|=1，故|PB|BQ|=1 21. 解：()不满足，理由：a32a2=92N*，不存在一项am使得a32a2=am()数列an同时满足性质和性质，理由：对于任意的i和j，满足ai2aj=22ij1，因为iN*，jN*且i>j，所以2ijN*，则必存在m=2ij，此时，2m1ai且满足ai2aj=22ij1=am，性质成立，对于任意的n，欲满足an=2n1=ak2al=22kl1，满足n=2kl即可，因为kN*，lN*，且k>l，所以2kl可表示所有正整数，所以必有