九年级上数学证明三总复习

1、九年级数学（上）第三章 特殊平行四边形知识梳理及习题（有答案） 一、本章重难点：重点：进一步掌握特殊四边形的性质和判定以及综合证明方法。难点：运用综合法证明。二、四边形之间的关系：三、几种特殊四边形之间的关系：矩形平行四边形正方形菱形四、几种特殊四边形的性质：边角对角线对称性平 行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称菱 形对边平行，四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称，中心对称矩 形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称，中心对称正方形对边平行，四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对

2、角轴对称，中心对称等 腰梯 形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等两条对角线相等轴对称五、几种特殊四边形的常用判定方法：平 行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。菱 形（1）四条边都相等；（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等；（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。矩 形（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；（3）是平行四边形，并且两条对角线相等。正方形（1）是矩形，并且有一组邻边相等；（2）是菱形，并且有一个角是直角;(3)对角线互相垂直的矩形;( 4)对角线相等的菱

3、形.等 腰梯 形（1）是梯形，并且同一底上的两个角相等；（2）是梯形，并且两条对角线相等。六、发现规律：1、顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是一个怎样的图形。这由什么条件来决定？有何规律？（1）、顺次连结对角线相等的四边形各边的中点得到一个 菱形；（2）、顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得到一个矩形；（3）、顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边的中点得到一个正方 形；（4）、顺次连结对角线不相等也不垂直的四边形各边的中点得到一个平行四边形。2、顺次连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点。分别得到（ 平行四边形 ）、（菱形）、（矩形 ）、（正方形）、（菱形）。七、【例题经

4、典】会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形例1（2005年黄冈市）如图，在RtABC中，ACB=90°，BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE求证：四边形ACEF为菱形 【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形例2如图，BD是ABC中ABC的平分线，DE/BC交AB于E，DF/AB交BC于F试判断四边形BFDE的形状并说明理由分析：此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在解：由DE/BC，DF/AB，得到DE/BF，D

5、F/EB，2=3因此四边形EBFD是平行四边形又BD平分ABC，则1=2可得1=3=2因此BE=ED所以四边形BFDE是菱形例3已知如图，平行四边形ABCD的 对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F试判断四边形AFCE的形状并说明理由解：由于EF是AC的垂直平分线，得到AE=EC，1=2由平行四边形ABCD可得AE/FC，因此1=3，所以3=2，在直角三角形EOC和FOC中，OEC=OFC，得到CE=CF，因此AE=CF，由AE=FC且AE/FC得到四边形AFCE是平行四边形由于一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形AFCE是菱形矩形、菱形的综合应用例4（2006年青岛市）如图

6、，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G（1）求证：ADECBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论 【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形 1=C，AD=CB，AB=CD 点E、F分别是AB、CD的中点， AE=AB，CF=CD AE=CF ADECBF （2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形 四边形ABCD是平行四边形， ADBC AGBD， 四边形AGBD是平行四边形 四边形BEDF是菱形， DE=BE AE=BE， AE=BE=DE 1=2，3=4 1+2+3+4=180

7、6;， 22+23=180° 2+3=90° 即ADB=90°， 四边形AGBD是矩形例5如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PEMC，PFBM，垂足分别为E、F，（1）       当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？（2）       在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？分析：（1）四边形PEMF中已经有两个直角了，若为矩形，还需再有一个直角，即BMC=900

8、由于矩形是轴对称图形，因此AMB=DMC=450，即AB=AM=MD（2）四边形PEMF为正方形，只需PE=PF，因此P是BC中点解：（1）当BC=2AB时，四边形PEMF为矩形由于M是AD中点，矩形ABCD，得到三角形ABM和DCM都是等腰直角三角形，AMB=DMC=450因此BMC=900，又PEMC，PFBM，所以四边形PEMF为矩形（2）当P为BC中点，BC=2AB时，矩形是轴对称图形，BM=CM又三角形PBM和PCM的面积相等，因此得到PE=PF，所以四边形PEMF为正方形会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题例6（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，

9、沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，BPE=30° （1）求BE、QF的长（2）求四边形PEFH的面积 【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解会解决与特殊平行四边形有关的计算问题例7已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE求证：AM=BE分析：菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分一组对角因此在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质解：设BAE为x度，EAD为2x度由

10、菱形ABCD可知AD/BC且BD平分ABC，则AEB=EAD=（2x）0，ABD=DBC=（x）0在三角形ABE中，x+2x+2x=180 x=36ABM中，ABM=BAM=360 ，AM=BMEBM中，BME=BEM=720 ，BM=BE所以AM=BE八、【考点精练】一、基础训练1如图1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_2（2006年黄冈市）如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是_cm (1) (2) (3)3用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形；矩形；菱形；

11、正方形；等腰三角形；等边三角形；一定可以拼成的是_（只填序号）4如图3，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是_5（2006年烟台市）如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图所示），若AB=4，BC=3，则图和图中，点B的坐标为_，点C的坐标为_ (4) (4) (5) (6)6（2006年广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A对角线相等 B对角线互相垂直平分

12、C对角线平分一组对角 D四条边相等7如图5，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是（ ） A4 B8 C12 D168（2006年江阴市）已知如图6，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ） A15 B24 C25 D169（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）A B C1- D1- (7) (8)10（2006年淄博市）将一矩形纸片按如图8方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上，则CBD的度数（ ） A大于90° B等于90

13、6; C小于90° D不能确定二、能力提升11如图，矩形ABCD中，M是AD的中点 （1）求证：ABMDCM；（2）请你探索，当矩形ABCD的一组邻边满足何种数量关系时，有BMCM成立，说明你的理由12.（2010年广东省中考题）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到新正方形A2B2C2D2（如图（2）；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为 第12题图（2）第12题图（1）13（2010年珠海市）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cm，则点P到BC的距

14、离是_cm. 14已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形三、应用与探究15（2006年河南省）如图，在ABC中，ACB=90°，AC=2，BC=3D是BC边上一点，直线DEBC于D，交AB于E，CFAB交直线DF于F设CD=x （1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由； （2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？16. （2008年佛山市）如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1) 当ABAC时，证明四边形ADFE为平行四边形；第16题图EFDABC(2) 当AB = A

15、C时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.17. （2009年广东省）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第3个平行四边形依此类推.（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形 、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积.第17题图ABCDEF第18题图18（2010年广东省）如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE。已知BAC=30º，EFAB，

16、垂足为F，连结DF。（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。答案：例题经典 例3（1）BE=2，QF=1 （2）7考点精练 196 216+16 3 4BAE=DAF（答案不唯一） 5B（4，0），（2，2），C（4，3），（） 6A 7D 8C 9C 10B 11（1）略 （2）AB=AD时，BMCM 1262513.4 14证AOECOF即得AEFC四边形AFCE是平行四边形又ACEF，四边形AFCE是菱形 15解：（1）ACB=90°，ACBC又DEBC，EFAC又AECF，四边形EACF是平行四边形当CF=AC时，四边形ACFE是菱形此时，CF=AC=

17、2，BD=3-x，tanB=，ED=BD·tanB=（3-x），DF=EF-ED=2-（3-x）=x在RtCDF中，CD2+DF2=CF2，x2+（x）2=22，x=±（负值不合题意，舍去），即当x=时，四边形ACFE是菱形 （2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD=×（4-x）·x=-x2+2x依题意，得-x2+2x=2，整理得，x2-6x+6=0解之，得x1=3-，x2=3+x=3+>BC=3，x=3+舍去，当x=3-时，梯形EACD的面积等于2第16题图EFDABC16(1) ABE、BCF为等边三角形，AB = BE = AE，BC = CF = FB，ABE = CBF = 60°.FBE = CBA. 1分FBE CBA. EF = AC. 2分又ADC为等边三角形，CD = AD = AC.EF = AD.3分同理可得AE = DF. 5分