二元一次不等式组及简单的线性规划问题

1、一、选择题1已知变量x，y满足则z3xy的最大值为()A4B5C6 D7解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3xy0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点B(2,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z3xy取得最大值，最大值是7.答案：D2(2011山东高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y1的最大值为()A11 B10C9 D8.5解析：作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示又z2x3y1可化为yx，结合图形可知z2x3y1在点A处取得最大值由得故A(3,1)此时z2331110.答案：B3若zmxy在平面区域上取得最小值时的最优解有无穷多个，

2、则z的最小值是()A1 B1C0 D0或1解析：画出平面区域，可以判断出z的几何意义是直线mxyz0在y轴上的截距，只有直线mxyz0与直线x2y0重合时，才符合题意，此时，相应z的最小值为0.答案：C4(2012海淀模拟)P(2，t)在不等式组表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x4y100距离的最大值为()A2 B4C6 D8解析：如图所示，结合图形可知点A(2,1)到已知直线距离最大，则最大值为4.答案：B5(2012郑州模拟)设双曲线4x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数zxy的最小值为()A2 BC0 D解析：

3、双曲线4x2y21的两条渐近线方程为2xy0,2xy0，与直线x围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数zxy在点P(，2)处取得最小值为z2.答案：B二、填空题6如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为_解析：令b2xy，则y2xb，如图所示，作斜率为2的平行线y2xb，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为b，此时b2xy取得最小值，为b2111.答案：17(2012西安模拟)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为_解析：不等式组表示的区域为图中阴影部分又因为axy10恒过定点(0,1)，当a0时，不

4、等式组所表示的平面区域的面积为，不合题意；当a0，此时所围成的区域为三角形，其面积为S1(a1)2，解之得a3.答案：3三、解答题8若点P在区域内，求点P到直线3x4y120距离的最大值解：不等式组所表示的可行域如图所示，当目标函数z3x4y所表示的平行直线系过点A(0,2)时，目标函数取得最小值，此时对应的直线方程为3x4y80，其与直线3x4y120的距离为d4，即得点P到直线3x4y120距离的最大值为4.9变量x、y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围解：由约束条件，作出(x，y)的可行域如图所示由解得A(1，)由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z.

5、z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率. 观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|. 2z29.10(2012泰安模拟)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满