空间几何体的表面积

1、1.3 空间几何体的表面积和体积1.3.1 空间几何体的表面积正正( (长长) )方体的表面积等于它们的展开图的面积方体的表面积等于它们的展开图的面积我们的身边存在着各种各样的几何体，建筑或者装饰我们的身边存在着各种各样的几何体，建筑或者装饰时时, ,都需要知道它们的表面积，以便计算用料和工时，都需要知道它们的表面积，以便计算用料和工时，如何计算呢？如何计算呢？“鸟巢鸟巢(nest)”(nest)”1.1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法的表面积的求法. .（重点）（重点）2.2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用了解柱、

2、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、柱、锥、台锥、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题题. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 直棱柱、正棱柱、正棱台的直棱柱、正棱柱、正棱台的表面积表面积多面体的平面展开图多面体的平面展开图 多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿着多多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开在一个平面内，面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形得到一个平面图形, ,这个平面图形叫做该多面体的平面这个平面图形叫做该多面体的平面展开图展开图. .思考思考1 1：把直棱柱

3、、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一条侧棱展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？条侧棱展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？提示：提示：直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱. .正棱柱：底面为正多边形的直棱柱正棱柱：底面为正多边形的直棱柱. .具体请往下看具体请往下看),chSabdhch直棱柱侧（其中 为底面周长， 为高.habdabhhd侧面展开侧面展开h棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积，的，展开图的面积就是棱锥的侧面积，如果正棱锥的底面周长为如果正棱锥的底面周长为c c

4、，斜高（即，斜高（即侧面等腰三角形底边上的高）为侧面等腰三角形底边上的高）为h h，由图可知它的侧面积是：由图可知它的侧面积是： S S正棱锥侧正棱锥侧= = chch12ch如果一个棱锥的底面是正多边形，并如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为么称这样的棱锥为正棱锥正棱锥（regular regular pyramidpyramid）. .正棱锥的侧棱长都相等正棱锥的侧棱长都相等. .侧面展开侧面展开h1S(cc )h .2正棱台侧xyzcch正棱锥被平行于底面的平面所截，截面正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底

5、面之间的部分叫做和底面之间的部分叫做正棱台正棱台（regular regular truncated pyramidtruncated pyramid）. .与正棱锥的侧面与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为的周长分别为c c，c c，斜高为，斜高为h h，则其侧则其侧面积是面积是正棱台的侧面均为全等的等腰梯形正棱台的侧面均为全等的等腰梯形. .O 思考思考2 2：正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有什么关系？有什么关系？提示：提示：1cc )2Sh正 棱 台 侧 （12Sch正 棱 锥 侧Sc

6、h直 棱 柱 侧=c0=cc=思考思考1: 1: 把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形么图形? ?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有什么关系？提示：提示：长方形长方形. .长方形的面积等于圆柱的侧面积长方形的面积等于圆柱的侧面积. .探究点探究点2 2 圆柱、圆锥、圆台的侧面积圆柱、圆锥、圆台的侧面积rl2r长 c =宽宽l2 rSSl圆圆柱柱侧侧长长方方形形p p= =长方形长方形. . 思考思考2:2:把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形什么图形? ?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有

7、什么关系？提示：提示：扇形扇形. .扇形的面积等于圆锥的侧面积扇形的面积等于圆锥的侧面积. .rlnc2 r,180扇ll扇形扇形2360n lSSp圆锥侧扇1.2clrlp=c 思考思考3:3:把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形什么图形? ?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有什么关系？提示：提示：扇环扇环. .扇环的面积等于圆台的侧面积扇环的面积等于圆台的侧面积. .1r2rl扇环扇环( )SSl=+1cc2圆台侧扇环12=) .rr lp+（注意转化！注意转化！证明如下：证明如下：cc因为因为12,rxrxl=+即121,rlxrr=-

8、所以所以21112222Sr lxr x扇环221221r lr xr xr lrrx2112) .r lrlrr l（ppp=+=+在 S0A和 S0B中SABxl扇环22 rp12 rp2r1roo思考思考4 4：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？什么关系？提示：提示：根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征，不难根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征，不难得到它们的侧面积的关系，具体如下得到它们的侧面积的关系，具体如下. .例例1.1.设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m0.85m，底面的边长是底面的边长是1.5m1.5

9、m，制造这种塔顶需要多少平方，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）米铁板？（保留两位有效数字）【分析分析】本题即计算正四棱锥的侧面积，根据本题即计算正四棱锥的侧面积，根据公式，只需计算斜高公式，只需计算斜高. .为此，在正四棱锥中作出为此，在正四棱锥中作出相应的直角三角形，再解三角形即可相应的直角三角形，再解三角形即可. .解解 如图，如图，S S表示塔的顶点，表示塔的顶点，O O表示底面的表示底面的中心，则中心，则SOSO是高，设是高，设SESE是斜高是斜高. .在在RtRtSOESOE中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得所以所以221.5()0.851.13 m ,2S

10、E 211(1.5 4) 1.133.4(m ).22Sch正棱锥侧答：答：制造这种塔顶需要铁板约制造这种塔顶需要铁板约3.4m3.4m2 2. .soE51.0.85例例2.2.一个直角梯形上底、下底和高之比为一个直角梯形上底、下底和高之比为 将将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比之比. .2 45,: : :222222ACOA-OCOA-O B4x-2x2x,BCO O5x, ABACBC(2x)( 5x)3x, S:S:S (2x) : (4x)

11、 : (2x4x) 3x2:8:9.侧侧 下上即这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为即这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为2:8:9.【解析解析】由题意，可设直角梯形上底、下底和高为由题意，可设直角梯形上底、下底和高为它们分别是圆台的上、下底面半径和高它们分别是圆台的上、下底面半径和高. .在图中，过点在图中，过点B B作作BCBCO OA A于于C,C,则在则在RtRtABCABC中，中，2 ,4 , 5 .xxx2xBA5xOCO所以所以因此因此1.1.一直角梯形上底、下底和高之比是一直角梯形上底、下底和高之比是将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一将此直角梯形以垂直于底的腰

12、为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比是之比是 . .123: : :，1:4:61:4:62.2.一个正三棱柱的底面是边长为一个正三棱柱的底面是边长为5 5的正三角形，侧棱的正三角形，侧棱长为长为4 4，则其侧面积为，则其侧面积为 _._.60603.3.（20122012安徽高考）某几何体的三视图如图所安徽高考）某几何体的三视图如图所示示, ,该几何体的表面积是该几何体的表面积是_. _. 【提示提示】由三视图可知由三视图可知, ,原几何原几何体是一个底面是直角梯形体是一个底面是直角梯形, ,高为高为4 4的直四棱柱的

13、直四棱柱, ,其底面积为其底面积为28,28,侧面侧面积为积为64,64,故表面积为故表面积为92. 92. 9292【解析解析】过点过点A A作作ACACOBOB于点于点C,C,在在RtABCRtABC中，中，因为因为ABC=60ABC=60，O OA=10,OB=20A=10,OB=20，所以所以BC=10BC=10，所以所以 AB=20AB=20，所以所以S S圆台圆台= =10102 2+20+202 2+ +（10+2010+20）203454.203454.OOO OC CB BA A4.4.一个圆台，上、下底面半径分别为一个圆台，上、下底面半径分别为10,2010,20，母线与底

14、，母线与底面的夹角为面的夹角为6060，求圆台的表面积，求圆台的表面积. (. (取取3.14)3.14)【解析解析】底座是正四棱台，它的斜高底座是正四棱台，它的斜高所以它的侧面积是所以它的侧面积是_4_4_12_12_16_62222-5,22146 45 180 cm2 bahhS侧（）（12）（）.5.,.如如图图，是是一一个个奖奖杯杯的的三三视视图图底底座座是是正正四四棱棱台台，求求这这个个奖奖杯杯底底座座的的侧侧面面积积（单位：）（单位：）简单几何体的侧面积简单几何体的侧面积几何体几何体侧面展开图侧面展开图侧面积公式侧面积公式圆柱圆柱 S S圆柱侧圆柱侧=_=_， r r为底面半径，为底面半径， l为为_圆锥圆锥 S S圆锥侧圆锥侧=_=_， r r为底面半径，为底面半径， l为为_2r2rl侧面母线长侧面母线长rrl侧面母线长侧面母线长几何体几何体侧面展开图侧面展开图侧面积公式侧面积公式圆台圆台S S圆台侧圆台侧=_=_，r r1 1为上底面半径，为上底面半径，r r2 2为下底面半径，为下底面半径，l为为_._.直棱柱直棱柱S S直棱柱侧直棱柱侧=_,=_,c c为底面为底面_,_,h h为为_._.(r(r1