第13讲梁纯弯曲

1、第第7 7章章 直梁的弯曲直梁的弯曲 主要内容主要内容: :1.1.直梁平面弯曲的概念直梁平面弯曲的概念 2.2.梁的类型及计算简图梁的类型及计算简图 3.3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.4.梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 5.5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁弯曲时的变形和刚度条件 梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 1.1.梁纯弯曲的概念梁纯弯曲的概念 在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲而没有剪力，且

2、弯矩为一常数，这种弯曲为纯弯曲为纯弯曲 。平面弯曲平面弯曲剪力弯曲剪力弯曲纯弯曲纯弯曲剪力FQ0弯矩M 0剪力FQ=0弯矩M 0平面假设：平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。2.2.梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力 1 1）变形特点）变形特点 : :横向线横向线仍为直线，只是仍为直线，只是相对变形前转过了一个相对变形前转过了一个角度，但仍与纵向线正角度，但仍与纵向线正交。交。纵向线纵向线弯曲成弧线，弯曲成弧线，且靠近凹边的线缩短了，且

3、靠近凹边的线缩短了，靠近凸边的线伸长了，靠近凸边的线伸长了，而位于中间的一条纵向而位于中间的一条纵向线既不缩短，也不伸长。线既不缩短，也不伸长。 如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，其中必定有一个既不缩短也不伸长的其中必定有一个既不缩短也不伸长的中性层中性层（不受压又（不受压又不受拉）。不受拉）。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中中性层与横截面的交线，称为性层与横截面的交线，称为中性轴中性轴，如图

4、所示。变形时，如图所示。变形时横截面是绕中性轴旋转的。横截面是绕中性轴旋转的。 2 2）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 由平面假设可知，纯弯由平面假设可知，纯弯曲时梁横截面上只有正曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。由于应力而无切应力。由于梁横截面保持平面，所梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，边是压应力，使梁缩

5、短，凸边是拉应力，使梁伸凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。性轴上各点正应力为零。分布如图所示。分布如图所示。 3 3）梁纯弯曲时正应力计算公式）梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为点的正应力为 ：ZMyIM PamaxmaxZMyImaxZMW即：即：最大正应力为最大正应力为( (MPaMPa) )：M M和和y y均以绝对值代入，至于均以绝对值代入，

6、至于弯曲正应力是拉应力还是压弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。受压侧的为负。 M-M-截面上的弯矩截面上的弯矩( (N.mm) N.mm) Y-Y-计算点到中性轴距离计算点到中性轴距离( (mm) mm) IzIz-横截面对中性轴惯性矩横截面对中性轴惯性矩WzWz-抗弯截面模量抗弯截面模量 3mm4mm梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 强度条件强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力

7、，即力不超过材料的许用弯曲应力，即 maxzMWM M危险截面处的弯矩（危险截面处的弯矩（N.mmN.mm）WzWz危险截面的抗弯截面模量（危险截面的抗弯截面模量（mm mm ） 材料的许用应力材料的许用应力 ( (MpaMpa) ) 3提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 合理安排梁的支承合理安排梁的支承 1.1.降低最大弯矩数值的措施降低最大弯矩数值的措施 合理布置载荷合理布置载荷 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 合理布置载荷合理布置载荷 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 2.2.合理选择梁的截面，用最小的截面面积得合理选择梁

8、的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。到大的抗弯截面模量。 形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量不相同量不相同 。面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，承载能力最差承载能力最差。 2.2.合理选择梁的截面，用最小的截面面积得合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。到大的抗弯截面模量。 提高梁强度的主要措施提

9、高梁强度的主要措施 截面形状应与材料特性相适应。截面形状应与材料特性相适应。 对抗拉和抗压强度相等的对抗拉和抗压强度相等的塑性材料塑性材料，宜采用中性轴对，宜采用中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小称的截面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小于抗压强度的于抗压强度的脆性材料脆性材料，宜采用中性轴偏向受拉一侧，宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。的截面形状。 max1max2llyyyyY Y1 1和和Y Y2 2之比接近于下列关系之比接近于下列关系, ,最大拉应力和最大压应最大拉应力和最大压应力便可同时接近许用应力。力便可同时接近许用应力。 3.3.采用等强度梁采用等强度梁

10、等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充分发挥单位材料的抗弯能力，可使梁截面沿使梁截面沿轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等相等，这种梁称为等强度梁等强度梁。但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴。 弯矩图的规律弯矩图的规律 1.梁受梁受集中力或集中力偶集中力或集中力偶作用时，弯矩图作用时，弯矩图为为直线直线，并且在集中力作用处，弯矩发生，并且在集中力作用处，弯矩发生转转折折；在集中力偶作用处，弯矩发生；在集中力偶作用处，弯矩发生突变突变，突，突变量为集中力偶的大小。变量为集中力偶的大小。 2.2.梁受到梁受到均布载荷均