福建省宁德市一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷(理科)有解析

1、精选优质文档-倾情为你奉上福建省宁德市一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷（理科）有解析注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1关于复数，给出下列判断：33i；16（4i）2；2+i1+i；

2、|2+3i|2+i|其中正确的个数为（）A1B2C3D42在用反证法证明“在ABC中，若C是直角，则A和B都是锐角”的过程中，应该假设（）AA和B都不是锐角BA和B不都是锐角CA和B都是钝角DA和B都是直角3函数f（x）=ex4x的递减区间为（）A（0，ln4）B（0，4）C（，ln4）D（ln4，+）4若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A1B2C3D45 cosxdx=dx（a1），则a的值为（）AB2CeD36已知函数f（x）的图象如图所示，其中f（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A2B3C4D57下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若

3、一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8A1B2C3D48有下列一列数：，1，1

4、，1，（），按照规律，括号中的数应为（）ABCD9一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）Ah2B h2C h2D2h210已知复数z=x+（xa）i，若对任意实数x（1，2），恒有|z|+i|，则实数a的取值范围为（）A（，B（，）C，+）D（，+）11设数列an的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则S10等于（）A90B100C110D12012若函数f（x）满足：x3f（x）+3x2f（x）=ex，f（1）=e，其中f（x）为f（x）的导函数，则（）Af（1）f（3）f（5）Bf（1）f（5）f（3）Cf（3）

5、f（1）f（5）Df（3）f（5）f（1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13复数在复平面内对应的点位于第 象限14将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：）为f（x）=x27x+15（0x8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为 /h15已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：结论1：当1x2时，f（x）=0；结论2：当2x4时，f（x）=1；结论3：当4x8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10： 16若函数f（x）=x33x+5a（aR）在上有2个零点，则a的取值范围是 三、解答题（共6

6、小题，满分70分）17已知复数z满足，|z|=5（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部18已知函数f（x）=e2x12x（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在上的最大值和最小值19用数学归纳方法证明：22+42+62+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（nN*）20已知函数f（x）=x3+x（1）求函数g（x）=f（x）4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）ax2在（0，3上递增，求a的取值范围21现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DEOA、CFOB分别交弧

7、AB于点E、F，且BD=AC，现用渔沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域已知OA=1km，AOB=，EOF=（0）（1）若区域的总面积为，求的值；（2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当为多少时，年总收入最大？22已知函数f（）=x3+x2m（0m20）（1）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）处的切线都经过点（2，lg），其中a1，求m的取值范围参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1关于复数，给出下列判断：33i；16（4i

8、）2；2+i1+i；|2+3i|2+i|其中正确的个数为（）A1B2C3D4【考点】A2：复数的基本概念【分析】两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小；利用复数的运算法则即可判断出结论；利用复数的模的计算公式即可判断出结论【解答】解：两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此33i不正确；（4i）2=16，因此正确；道理同，不正确；|2+3i|=，|2+i|=，因此|2+3i|2+i|正确其中正确的个数为2故选：B2在用反证法证明“在ABC中，若C是直角，则A和B都是锐角”的过程中，应该假设（）AA和B都不是锐角BA和B不都是锐角CA和B都是钝角DA和B都是直角【考点】R9：反证法与放缩

9、法【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“A和B都是锐角”的否定是A和B不都是锐角，故选：B3函数f（x）=ex4x的递减区间为（）A（0，ln4）B（0，4）C（，ln4）D（ln4，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：f（x）=ex4，令f（x）0，解得：xln4，故函数在（，ln4）递减；故选：C4若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A1B2C3D4【考点

10、】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率，设出切点坐标，列出方程求解即可【解答】解：设切点坐标为：（m，4m），f（x）=4x3，f（m）=4m3=4，解得m=1，14+a=4，解得a=3故选：C5 cosxdx=dx（a1），则a的值为（）AB2CeD3【考点】67：定积分【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解： cosxdx=sinx|=，dx=lnx|=lna，lna=，a=故选：A6已知函数f（x）的图象如图所示，其中f（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A2B3C4D5【考点】3O：函数的图象【分析】根据极值点的定义和f

11、（x）的图象得出结论【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f（x0）=0，且f（x）在x0两侧异号，由f（x）的图象可知f（x）=0共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，故f（x）有2个极值点故选A7下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为将此结论类比到等比数列的结论为：若一

12、个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8A1B2C3D4【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】根据类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），判断命题是否正确【解答】解：对于（1），若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数，命题正确；对于（2），若双曲线

13、的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2；将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为，命题正确；对于（3），若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为；将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1，命题正确；对于（4），在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8，命题正确综上，正确的命题有4个故选：D8有下列一列数：，1，1，1，（），按照规律，括号中的数应为（）ABCD【考点】82：数列的函数特性

14、【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出【解答】解：，（），由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B9一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）Ah2B h2C h2D2h2【考点】K8：抛物线的简单性质；69：定积分的简单应用【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，将点代入抛物线方程，即可求得抛物线方程，根据定积分的几何意义，即可求得S【解答】解：以抛物线的最高点为坐标原点，以抛物线的拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程y=ax2，a0，由抛物线经过点（，h），代

15、入抛物线方程：h=a（）2，解得：a=，S=h×3h（2ax2dx），=3h22××x3=2h2，故选D10已知复数z=x+（xa）i，若对任意实数x（1，2），恒有|z|+i|，则实数a的取值范围为（）A（，B（，）C，+）D（，+）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】求出复数的模，把|z|+i|，转化为ax（1x2）恒成立，再求出x的范围得答案【解答】解：z=x+（xa）i，且|z|+i|恒成立，两边平方并整理得：axx（1，2），x（，）则a实数a的取值范围为（，故选：A11设数列an的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则

16、S10等于（）A90B100C110D120【考点】8E：数列的求和【分析】由题意可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，运用数列的递推式可得a1=1，a2=3，a3=5，进而得到an=2n1，即可得到所求值【解答】解：由数列an的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，a2=3a1，a3=5a1，从而4×9a1=3（5a1+7），即a1=1，a2=3，a3=5，4S4=4（a4+a5），a5=9，同理得a7=13，a8=15，an=2n1，经验证4Sn=n（a

17、n+an+1）成立，S10=100故选：B12若函数f（x）满足：x3f（x）+3x2f（x）=ex，f（1）=e，其中f（x）为f（x）的导函数，则（）Af（1）f（3）f（5）Bf（1）f（5）f（3）Cf（3）f（1）f（5）Df（3）f（5）f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】首先由已知的等式构造=0，由题意求出c，得到f（x）的解析式，从而得到答案【解答】解：由x3f（x）+3x2f（x）=ex，得到'=0，设x3f（x）ex=c，因为f（1）=e，所以c=0，x=0不满足题意，x0时，f（x）=，f（x）=，所以f（3）f（5）f（1）故选：D二、填空题（

18、共4小题，每小题5分，满分20分）13复数在复平面内对应的点位于第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解： =1i在复平面内对应的点（1，1）位于第四象限故答案为：四14将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：）为f（x）=x27x+15（0x8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为5/h【考点】61：变化的快慢与变化率【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率【解答】解：由题意，f（x）=2x7，当x=1时，f（1）=2×1

19、7=5，即原油温度的瞬时变化率是5/h故答案为：515已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：结论1：当1x2时，f（x）=0；结论2：当2x4时，f（x）=1；结论3：当4x8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：当29x210时，f（x）=9【考点】F1：归纳推理【分析】根据前3个结论，找到规律，即可得出结论【解答】解：结论1：当1x2时，即20x21，f（x）=11=0；结论2：当2x4时，即21x22，f（x）=21=1；结论3：当4x8时，即22x23，f（x）=31=2，通过规律，不难得到结论10：当29x210时，f（x）=101=9，故答案为：当29x2

20、10时，f（x）=916若函数f（x）=x33x+5a（aR）在上有2个零点，则a的取值范围是【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可【解答】解：若函数f（x）=x33x+5a，则f（x）=3x23=3（x1）（x+1），令f（x）0，解得：x1或x1，令f（x）0，解得：1x1，故f（x）在（3，1）递增，在（1，1）递减，在（1，）递增，故f（x）极大值=f（1）=7a，f（x）极小值=f（1）=3a，而f（3）=13a，f（）=a，故或，解得：a，故答案为：三、解答题（共6小题，满分70

21、分）17已知复数z满足，|z|=5（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】（1）设复数z=a+bi（a，bR），可得=abi，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出（2）利用复数的运算法则、实部的定义即可得出【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，bR），=abi，a=3b=±4，即复数z的虚部为±4（2）当b=4时， =，其实部为当b=4时， =，其实部为18已知函数f（x）=e2x12x（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在上的最大值和最小值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值

22、【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可【解答】解：（1）f（x）=2e2x12，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（，）递减，在（，+）递增，故f（x）min=f（）=0，无极大值；（2）g（x）=，g（x）=，令g（x）0，解得：xe，令g（x）0，解得：xe，故g（x）在递减，在（e，e2递增，故g（x）min=g（e）=，g（1）=0，g（e2）=，g（x）max=019用数学归纳方法证明：22+42+62

23、+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（nN*）【考点】RG：数学归纳法【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可【解答】证明：n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；假设n=k时等式成立，即22+42+62+（2k）2=k（k+1）（2k+1）那么，当n=k+1时，22+42+62+（2k）2+2，=k（k+1）（2k+1）+2，=（k+1）（2k2+k+6k+6），=（k+1）（k+2）（2k+3），=（k+1），等式成立由可知，等式对任何正整数n都成立20已知函数f（x）=x3+x（1）

24、求函数g（x）=f（x）4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）ax2在（0，3上递增，求a的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，求出切线方程，求出三角形的面积即可；（3）问题转化为2a（3x+）min，根据不等式的性质求出a的范围即可【解答】解：（1）g（x）=x33x，g（x）=3（x+1）（x1），令g（x）0，解得：x1或x1，令

25、g（x）0，解得：1x1，故g（x）在（，1）递增，在（1，1）递减，在（1，+）递增；（2）f（x）=3x2+1，f（1）=2，f（1）=4，故切线方程是：y2=4（x1），即y=4x2，令x=0，解得：y=2，令y=0，解得：x=，故S=×2×=；（3）由题意得F（x）=3x2+12ax0在（0，3恒成立，故2a（3x+）min，3x+2，2a2，a21现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DEOA、CFOB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域已知OA=1km，AOB=，EOF

26、=（0）（1）若区域的总面积为，求的值；（2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当为多少时，年总收入最大？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）推导出OD=OC，DEOB，CFOA，从而RtODERtOCF，进而DOE=COF=，由此得到S区域=（0），从而能求出（2）由S区域=，求出S区域=S总S区域S区域=cos记年总收入为y万元，则y=5+5+10cos（0），y'=5（12sin），令y'=0，则=由此利用导数性质求出当=时，年总收入最大【解答】解：（1）BD=AC，OB=OA，OD=OCAOB=，DEOA，

27、CFOB，DEOB，CFOA又OE=OF，RtODERtOCFDOE=COF=，又OC=OFcosCOFSCOF=OCOFsinCOF=cosS区域=（0）由，得cos=，0，=（2）S区域=，S区域=S总S区域S区域=cos记年总收入为y万元，则y=30×cos=5+5+10cos（0），所以y'=5（12sin），令y'=0，则=当0时，y'0；当时，y'0故当=时，y有最大值，即年总收入最大22已知函数f（）=x3+x2m（0m20）（1）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）处的切线都经过点（2，lg），其中a1，求m的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求得f（x）=x3+mx2m，求出导数，讨论当6即9m20时，当26，即为3m9时，当2，即0m3时，可得f（x）的单调性；（2）求出f（x）的导数，可得A，B处的切