高考重点突破：基本不等式训练题

1、基本不等式训练题试卷第5页，总3页、单选题1.在下列函数中，最小值为2的是（1 A. y - xxB.y 二 sinxsinx31(0 x -) 2C.x2 3y 二一 x2 2D.y = 2x 122x2.设z都是正数，则三个数A.至少有一个不小于2 B.至少有一个大于C.都大于2 D.至少有一个不大于253.已知 x - 2,则 f(x)=x2 - 4x 52x4A.最大值 B. 最小值C. 最大值1 D.最小值4.F列函数中，最小值为4的是（A.y=x+B.y=sinx+sinx(0<x< 兀)C.y=ex+4e x D.x2+lx2+l5 .下列函数中，最小值为4的个数为（

2、）y=x + -；y = sin x+ (0< x< % )；丫二14e x;y = log 3x+4log x3.A. 4 B. 3 C. 2 D. 16 .设x, y满足x+ 4y=40,且x, y都是正数，则1g x+ lg y的最大值是()A. 40 B. 10 C. 4 D. 27.函数1y x 4x（x 0加得最小彳1时，x的值为（A.B.C. 1 D. 28.A.已知23x>0y>0XyJXy2,则x+y的最小值是（）B. 1 C.已知x,y都是正D.则x+ y的最小值等于A.B. 42C.3 22D. 4 2 210.A.下列函数中,4y 二 x x的最

3、小值为4的是C.B.4小 _、y = sinx (0 x )sinxD.y= 3 + 4ex二、填空题11 .函数 -的最小值是:12 .已知实数x, y满足x2-xy y2 = 1,则x* y的最大值为,0113 .已知x> 1,则f（x）= x + -的最小值是 x -114 .已知正数x、y满足一x+; =1,则x + 2 y的最小值是15 .函数y =（x> -1）的最小值是试卷第2页，总3页三、解答题16 . (1)已知a>0, b>0,且4a + b=1,求ab的最大值;(2)若正数x, y满足x + 3y = 5xy,求3x + 4y的最小值;5(3)已知

4、 x< 4，求 f(X)=4x 2 +14x- 5的最大值;logix- 12x1 4x17 .(本小题满分14分)解不等式(1)3；(2)a < a 。18 .已知定义在(0J*)上函数f (x)对任意正数 m,n 都有1一、 1,1、八f(mr) = f(m)+f(n)-2,当 X> 1 时，f (x) > 2 ,且 f (2户0(1)求f的值;解关于x的不等式：f(x)+ f(x3)>2.19 .已知不等式 2 | x-3 | + | x-4 | <2a.(I)若a=1,求不等式的解集；(II)若已知不等式的解集不是空集，求 a的取值范围.(x + T

5、P + T20 .已知两正数满足，求 工 1的最小值.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考答案第9页，总9页参考答案,等号成立时【解析】A选项x可以是负数.B选项y±2jsinx,，=2 sinx时sinx = 1,在定义域内无法满足.C选项y = Jx2十2十、1，2,等号x 2成立时病3=1 ,在实数范围内无法满足.由基本不等式知D选项正确.2. A【解 析】 由 题 意， 得x + + y + + z + = 'x+ "1+ y + +'z +）】之2+2+2 = 6 （当且仅当y+1,z + °至少有一个不z xy z x V

6、 x） y）V zjx = y =z =1时取等号），所以三个数x, y小于2.故选A.3. D【解析】2x-212 x-2=1当x -2即x = 3或1 （舍去）时，f （x ）取得最小值1x -2故选D4. C【解析】对于A,当xT 一的时，yT 8 ,无最小值；对于B,令t= sinx ,由0cx<兀知0<t <1,易知y =t+1在0<t <1时, t单调递减，ymin = 2 ,故不成立；对于D , y=Jx21l+ 2上2G，当且仅当X=1时“二”成立，易知最 .义1小值为242 ,不成立.故选C点睛：注意重要不等式取最到最值的条件.5. D【解析】-

7、,当时，显然最小值不是，故不正确一,一 ,此寸，这不可能，故不正确。,当且仅当时等号成立。,当，此时 当，0,故不正确。故选点睛：在运用基本不等式时需要满足“一正、二定、三相等”，首先 在定义域内的取值是正数，其次两数的和或者积是定值，当取到最值 时当且仅当两数相等，通过这三个条件可以对条件进行判定。6. D【解析】: x+4y=40,即xy?100,当且仅当x=4y=20取等号。故lg x+lg y的最大值是2.故选：D.点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相 等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量 的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均

8、相等， 取得最值.7. B【解析】X x >0, x + 2 Jx=1 ,4x 、 4x当且仅当x=工时取等号，此时x， 4x2故选：B.8. C【解析】试题分析：由题知，x + y+«y = 2 ,又x a 0, y A0,知x+y < 2 , 又x+y +x ； y至x十y+i/xy = 2得x + y/ ,故本题答案选C.考点：基本不等式.9. C【解析】（x + y j 2+1 =9+且+3叵3=26+3 ,故选C. 、xyjxy V x y10. D【解析】A.当x < 0时函数无最小值；B.抛物线开口向下无最小值；C. y =sinx+-4 ±

9、2 JsinxL -4- =4 ,当且仅当sinx = ±2时等号成立，方程 sinx - sinx无解，不成立；D. y=ex+4e.之2灰彳 =4,当且仅当ex=2时等号成立，满足.故选D.点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备 三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数； 二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相 等：含变量的各项均相等，取得最值.11. 一【解析】由基本不不等式可得- -当且仅当 -即一时取等号.即答案为 一12. 2【解析】试题分析：因为x2 + y2-xy=1,所以x2 + y2=1+xy,所以2 (x+

10、y2=1+3xy<1+ 31 x+ y ,即(x+yfw4,解得： 一2Mx + yM2,所 I 2 J，以x + y的最大值为2 .考点：基本不等式.13. 3【解析】x>1：x-1>0由基本不等式可得， f (x尸x +工=x-1+,+1之2'/(x11 H + 1=3 , x -1x-1.x-1当且仅当x-1=,即x-1=1时，x=2时取等号“二” x -1答案为3.点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备 三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相 等：含变量的各项均相

11、等，取得最值.14. 18【解析】试题分析：x+2y = (x + 2y)9+=10+皿+学之10 + 206 = 18<x y J x y考点：均值不等式求最值15. 9【解析】 一 ，+ 一 y ,等号仅当一，即=时成立.当= 时，函数 一 取得最小值为9.116. (1)动的最大值正；(2)五+打的最小值为5; (3)函数F =4工一2 +1口的最大值为1【解析】试题分析：(1)根据基本不等式的性质可知 物+3 3 2d茄，进而求得国的最 大值.I 3 1I3'+ - = 1 卜(2)将方程变形为5 5K代入可得次+打=伽+4的与，5幻=13 3jc 4i' _ 十

12、1 + b x 35 51双然后利用基本不等式求解。(3)先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等 式求得函数的最大值和此时x的取值即可试题解析：(1),1 = 4。+方占 2 7 = 4 而2 j_7 < 4 _. < 16 ,_ j.当且仅当G=§,b三5时取等号，1故函的最大值为五/ o - - x+3v = 5xi:x>0.>0I X )。讯。3x _ 12 v当且仅当”'一以即工=%=1时取等号x < (3) 14 . 5-4x>0: =2- 4x-5 = -(5-4t+15-4r5-4x ) + 3 <-2

13、/”物，5-4# + 3 = 1当且仅当57H = 5-4工，即北三】时，上式成立，故当."1时,)工=1二函数¥ = 4x-2 + 口的最大值为1.考点：基本不等式17. (1) 4x|0<x<1； (2) 当 a>1 时，x|x<l;当 0< a <1 时x| xl 3【解析】试题解析：(1 ) 10gl x>1 =log1 0 ex J即解集为3八 313s 1X | 0 :二 X :二一：， 3(2) a2x4<a4当 a>1 时，有 2x+1<4 一 x,.xlxcl当 0<a<1 时，有 2

14、x+1>4x,/. x| x >1考点：本题考查解指数、对数不等式点评：解决本题的关键是利用指数、对数的单调性求解18. (1) f(2)=1 ； xw(1,f【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性、利用函数的单调性解不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，令m = n=1,即可求出f(1)=，而f(1)=f(2-)，再展 22开，即可求出f(2)的值；第二问，利用函数单调性的定义，利用已知表达式，判断函数f(x)的单调性，而f(x) +f(x + 3)= f (x2十3x)+3,所 2以原不等式可以转化为f(x2 +3x) a f (4

15、),再利用函数的单调性解不等式.试题解析：(1 )f(1) = f(1) + f(1)-1 ,所以 f(1)=，而22f(2x1) = f (2) +f (1) 1 解得 f (2) =1 222(2)任取 x1，x2 三(0,2 ),且 x1 < 用，则 f (x2) f (x1)= f Cx2)- x12因为 x1,x2 ,所以 x2 >1 ,则 f (0) >f (x2) - f (x1 ) > 0x1x12所以 f (xpB (0)上是增函数，因为 f(4) = f(2) + f (2)-1=9 2 2所以 f （x） f （x 3） - f （x2 3x） - 1 22'x>0即 f（x2+3x） >3 = f（4） 所以 x + 3>0，解得 xw（1,y）x2 +3x >4考点：函数的单调性、利用函数的单调性解不等式.19. （I）-; （II）-.【解析】试题分析：（1），转化为，或，或，由此即可求出结果；（2）设,则二，所以由此即可求出结果.试题解析：解（1）,，或，或 ，-或解得，.不等式的解集是设，则，即的取值范围为-.考点：绝对值不等式.【方法点睛】（1）理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点尤到原点离.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）口”力恒成立（