相似矩阵的性质及应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上 华 北 水 利 水 电 大 学 相似矩阵的性质及应用 课 程 名 称： 线性代数 专 业 班 级： 成 员 组 成：联 系 方 式： 2013年11月 6 日摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结

2、果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that

3、part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the i

4、ntegrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polyn

5、omial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matr

6、ix; Jordans normal form; characteristic value; characteristic vector引言： 矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。1.矩阵相似的定义与基本性质 1.1矩阵相似的定义设A,B是n阶方阵,如果存在可逆阵

7、P使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似. 若矩阵A相似于对角阵,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使,为A的n个特征值. 令为非奇异矩阵，考察矩阵的线性变换 令线性变换的特征值为，对应的特征向量为，即 将式代入上式，即有或 令或，则式可以写作 比较和两式可知，矩阵A和具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即。由于矩阵和的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：设 、都是阶方阵，若有可逆方阵，使，则称是 的相似矩阵。或者说矩阵与相似。对进行运算 称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。1.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性

8、：。 对称性：则。传递性：及可得：。如果阶矩阵,相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。相似矩阵另外的一些特性： 1)相似矩阵有相同的秩。 2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。4)则，、（若，均可逆）、从而，有相同的特征值。 5).若A与B都可对角化,则A与B相似的充分条件是A与B由相同的特征多项式.6). A的属于同一特征值的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应的特征向量.7). A的属于不同特征值的特征向量线形无关.8). 实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.9). 若是实对称矩阵A的r重特征值,则A

9、对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.10).任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似.11).对n阶方阵A，以下三条等价:A可对角化;A有n个特征值（重根按重数计），且r（1）重特征值;A有n个线性无关的特征向量.12).对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法. 1.3相似矩阵与若尔当标准形 虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形。由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。 定义：形如 的方阵称为阶

10、若尔当块。其中可以是实数，也可以是复数。 定理：矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵。 每个阶复矩阵都与一个若尔当标准形相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵唯一决定。 复矩阵可对角化的充要条件是的特征矩阵的初等因子全为一次式。2. 相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.2.1 将常系数线性微分方程组 (2-1) 写成矩阵形式 (2-2)其中u=(,为系数矩阵,令(3-2)式的解u=, (2-3)即 (=.将(2-3)式代入（2-2

11、）得=,化简得,即(2-3)式中为A的特征值,X为对应的特征向量;若A可对角化,则存在n个线性无关的特征向量于是得到(2-2)式的n个线性无关的特解.u=, u=, u=.它们的线性组合 c+c+c, (2-4)(其中为任意常数)为(2-1)式的一般解,将(2-4)式改写成矩阵形式u=,记 c=(),= ()p=,则(2-1)式或(2-2)式有一般解 (2-5)对于初值问题 (2-6)解为 (2-7)因为t=0代入(2-5)式得 c=.例2 解线性常系数微分方程组已知初始值为: 解 本题的初始值问题为其中 ,可得A的约当标准形,即有可逆矩阵= ,使.由(2-7)式,该初值问题的解为 (2-8)

12、其中 (2-9) (2-10)将(2-10)式代入(2-9)式得 (2-11)再将(2-11)式及代入(2-8)式得2.2 对于阶线性齐次常系数微分方程 (2-12)可令于是可得与方程(2-12)同解的方程组 (2-13)式(2-13)可写成矩阵形式 (2-14)其中,于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程 (2-15)解 令于是(2-15)式可变成等价的方程组即其中 ,可求得的特征值为，对应的特征向量分别为于是由上例知, 从而 其中为任意常数.3 相似矩阵在现实生活中的应用例3.污染与环境发展的增长模型发展与环境已成为21世纪各国政

13、府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解 设x是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第个期间的污染和工业发展水平分别记为x和y,它们之间的关系是：t=1,2, (3-1)记 A= , , 则(3-1)的矩阵形式为 t=1,2, (3-2) 如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平=利用(3-2)就可以预测第k个期间该地区的污染和工业发展水平,这是因为由(3-2) 可得这表明可通过求得,为此考察A能否对角化,计算出A的特征多项式.=|=由

14、A有2个相异的特征值1和4知,A能对角化,所以可用性质来计算.对于,解可得A属于1的一个特征向量对于解可得A属于4的一个特征向量令有A=所以 = (3-3)就是所要的预测结果,对不同的值代入(4-3)即可求得.例如：若，有,(实际上此时就是属于4的特征向量,所以若有这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.例 4. 人口流动模型假设某省城人口总数保持不变,每年有20的农村人口流入城镇,有10的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k年该省城的城镇人口和农村人

15、口分别设为,据题意有即 则 为计算,仍考察能否对角化. 计算出的特征多项式由于有2个相异的特征值1和0.7知,能对角化,所以可用性质来计算.对于解可得属于1的一个特征向量;对于解可得属于0.7的一个特征向量.令,有, 利用 ,可得从而有 数列的极限为这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有为城镇人口,为农村人口. 4.矩阵相似在代数方面的应用.例5.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有成为熟练工。设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和

16、，记成向量。（1） 求与的关系式并写成矩阵形式:=;（2） 验证，是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3） 当时，求。解：（1）按题意有化简得对其用矩阵表示即为 =，于是（2） 令，则由知，线性无关。因。故为的特征向量，且相应的特征值。因，故为的特征向量，且乡音的特征值为。（3） 由于有=A=。 由，有。于是有 又，故=。因此有=结束语 本文通过对矩阵相似性质与应用问题的深入探讨，我们获益非浅，一方面对于矩阵相似的定义以及相关理论的熟练掌握。特别是将矩阵相似与可对角化矩阵这两个问题紧凑的联系在一起。将矩阵问题应用定义定理转化为与一个相似对角型矩阵或者是若尔当标准型进而使问题研究简

17、化。 由于矩阵相似的性质特性决定其应用范围相当广泛。比如其在微分方程、自动控制理论基础等领域的应用，使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来。提高对相似矩阵深入的研究。 参考文献1 上海交通大学数学系主编.线性代数.北京：科学出版社，2007.92 陈志杰,陈咸平, 瞿森荣等编.高等代数与解析几何习题精解.北京：科学出版社, 2002. 23 刘丁酉. 高等代数习题精解. 合肥:中国科学技术出版社, 2004. 94 杨奇, 田代军, 韩维信. 线性代数与解析几何. 天津: 天津大学出版社, 2002, 105 戴华.矩阵论.南京：南京航空航天大学出版社M.2001.86许以超。线性代数与矩阵论M.北京：高等教育出版社，19927同济大学数学教研室编.线性代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，19998 Da