高中数学极值点偏移问题

1、极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且a<x1<x0<x2<b.若x1+x22x0，,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0偏移；（1） x1+x22>x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；（2） x1+x22<x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0右偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx

2、=0（fx=m)的解分别为x1,x2且a<x1<x2<b.（1） 若fx1<f(2x0-x2)则x1+x22<x0即函数f(x)在区间（a,b）上极大值点x0右偏；（即峰偏右）（2） 若fx1<f(2x0-x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0左偏;（即谷偏左）（3） 若fx1>f(2x0-x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点x0左偏;（即峰偏左）（4） 若fx1>f(2x0-x2)则x1+x22<x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0右偏;（即谷偏右） x

3、=x1+x22 x=x1+x22y=mxy=f(x)x=x0 x=x0拓展：1） 若，则的图象关于直线对称；特别地，若（或f(x)=f(2a-x)），则的图象关于直线对称2） 若函数f(x)满足x(0,a)有下列之一成立：f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中 极大值左偏（或右偏）

4、也称峰偏左（或右）极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；性质：1) 的图象关于直线对称若x1,x2(0,2a)x1x2则 x1+x2=2a<=>fx1=f(x2),(f'x1+f'(x2)=0,f'x1+x22=0);2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若x1,x2(0,2a)x1x2则fx1=f(x2)则x1+x2>2a,及f'x1+x22<0极值点偏移解题步骤：求函数f(x)的极值点x0；构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0-x) (F(x)=f(x0-x)-f(x0+x), F(x)=f(x+2x0)-f(-x) ,

5、 F(x)=f(x)-f(2x0-x)确定F(x)单调性结合F(0)=0（F(-x0)=0,F(x0)=0)判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0-x)( f(x+2x0)与f(-x); f(x)与f(2x0-x)）的大小关系;答题模式：已知函数y=f(x)满足fx1=f(x2),x0为函数y=f(x)的极值点,求证：x1+x2<2x0求函数f(x)的极值点x0；构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0-x) 确定F(x)单调性判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0-x) 的大小关系;假设F(x)在(0,+）上单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>

6、;0时f(x+x0)>f(x0-x)1.（2016年全国I高考）已知函数有两个零点. 设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe-x（xR）.() 求函数f(x)的单调区间和极值；()已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x) ()如果且证明证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,从而函数F（x）在1,+)是增

7、函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以>,即>2.3. 已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）0解：（I） （i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少. （II）设函数则当.故当， 8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由

8、（II）得从而由（I）知， 4已知函数fx=xlnx-12mx2-x (mR)若f(x)有两个极值点x1,x2且x1<x2求证:x1x2>e25. 已知函数fx =ex-ax(aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2其极值点为x°求证:x1+x2>2x1+x2<2x°x1x2<1（已知函数fx =ex-ax+a (aR) ，其图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)两点且x1<x2，求证：f'(x1x2)<0）6. 已知函数fx =ln(x+a)-ax(a>1)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1

9、<x2求证：x1+x2<07. 已知函数fx =a-1x-lnx(aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2求证：2<x1+x2<3ea-1-18. 已知函数fx =xlnx f(x1)=fx2且0<x1<x2<1求证:2e<x1+x2<11<x1+x2<2e9已知函数fx =lnx-ax(aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2求证：x1x2>e210. 已知函数fx =x-eax (a>0) f(x1)=fx2=0且x1<x2求证:x1x2<ae11. 已知函数fx

10、=lnx-ax-b(a,bR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2求证：x1x2<1a212. 已知函数fx =x2-a-2x-alnx(aR)若f(x)=c有两个不同根x1,x2求证：f'(x1+x22)>013. 已知函数fx =alnx-x2(aR)令gx=fx+ax,g(x)在(0,3)单调递增求a范围;当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)且0<x1<x2又h'(x)是h(x)导函数,>0,>0且满足+=1证明:h'(x1+x2)<014已知函数fx=lnx-

11、k-1x (kR)若x>1时讨论f(x)的单调性，并确定其极值;若对xe,e2都有f(x)<4lnx,求k范围;若x1x2且 f(x1)=fx2证明：x1x2<e2k;15. 已知函数fx=ax2+x-lnx, (a>0)讨论fx的单调性;f(x)的极值点为x°若存在x1,x2(0,+)且x1x2求证: x1+x2>2x°16. 已知函数fx=x2-1+aln1-x, (aR);讨论fx的单调性; 若f(x) 存在两个极值点x1,x2，x1<x2证明：f(x1)x2>f(x2)x1 ;17. 已知函数fx=x+alnx与g(x)=3

12、-bx在(1,1)处有相同切线；若y=2(x+n) 与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；若Fx=3x-m2+m2gx-2fx有两个极值点x1,x2，x1<x2证明：Fx2<x2-1；18. 已知函数gx=-ax2+(2-a)x+lnx, (aR)讨论fx的单调性; 若f(x)=g(x)+(a+1) x2-2x有两个不同零点x1,x2, 证明：f'(x1+x22)<0;19. 已知函数gx=xe2-ax , (aR);讨论gx的单调性;若f(x)=lng(x)-ax2 与y=m,(mR)图象有两个交点A、B,线段A、B中点为x°，证明：f'(x&#

13、176;)<0;20. 已知函数fx=ax32-lnx-23图象的一条切线为x轴；求a值；令g(x)=fx+f'(x)若存在不同x1,x2满足 gx1=g(x2),证明: x1x2<121. 已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；若xf(x)ax-1对x(0,+)恒成立,求a最大值；设f(x)Fx=1在(1,+)的实根为x° ，mx=xfx (1<xx°)xf(x) (x> x°) 若在区间(1,+)上存在mx1=m(x2),求证：x1+x22>x°22已知函数fx=ex-12x2-ax, (aR)；若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；如果函数g(x)=f(x)-(a-12)x2恰有两个不同的极值点x1,x2,证明: x1+x22<ln2a;23已知函数fx=x2-(a-2)x-alnx (aR)；讨论fx的单调性; 设函数gx=-x3-ax2+a-a24若,(0,a】使得f-f()<a成立求实数a取值范围;若方程f(x)=c有两个不等的实数根,求证：f'(x1+x22)>024. 已知函数fx=mx+1+nl