工程有限元方法动力学动力特性分析55页

1、有限元方法与应用有限元方法与应用结构结构动力有限元分析动力有限元分析 张有为张有为 工程力学工程力学系系内容回顾内容回顾 动力学两类基本问题动力学两类基本问题动载荷（又称动力分析）动载荷（又称动力分析）固有特性分析固有特性分析响应分析响应分析固固有有频频率率振振型型位位移移响响应应速速度度响响应应加加速速度度响响应应动动应应变变动动应应力力固有特性：固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；响应分析：响应分析：是计算结构对给

2、定动载荷的各种响应特性。是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。模态分析模态分析时程分析时程分析自由振动问题受迫振动问题内容回顾内容回顾km2f2lTg1fT周期(s)频率(Hz)圆频率(rad/s)频率(Hz)本节要点本节要点 动力特性分析动力特性分析 动力动力特性基本概念特性基本概念 广义特征值问题广义特征值问题 模态的物理模态的物理意义意义 模态分析手算方法模态分析手算方法 模态分析机算方法模态分析机算方法动力特性分析基本概念动力特性分析基本概念 单单自由度质量自由度质量-弹簧系统弹簧系统0mxkxfsinxxt2sinxxt 2sinsin0mxtkxt2kmkm动力特性分析基本概念动力

3、特性分析基本概念 另一另一种推导方式种推导方式0mxkxfi txxe2i txxe 20i ti tmxekxe2kmkm动力特性分析基本概念动力特性分析基本概念0mxkx二阶线性常微分方程（无阻尼自由振动）特征方程20mk2km kim 方程的通解12cossinxCtkmCtkm12sincosxCtCt 000;0 xxxv1020;/CxCv12cossinxCtCt动力特性分析基本概念动力特性分析基本概念0mxcxkx二阶线性常微分方程（有阻尼自由振动）特征方程20mck242ccmkm 方程的通解情况III：两个不等实根 和 ，通解 121212ttxC eC e情况II ：二重

4、根 ，通解12(t)txCCe1,2i情况I：共轭复根 ，通解 12(cossin)txeCtCt过阻尼临界阻尼欠阻尼动力特性分析基本概念动力特性分析基本概念21,242ccmkim 12(cossin)txeCtCt222424mkckcmmm注意：通常所说的固有频率均不考虑阻尼阻尼固有频率 欠阻尼的情况下阻尼对固有频率的影响有多大？欠阻尼的情况下阻尼对固有频率的影响有多大？动力特性分析基本概念动力特性分析基本概念2lTgsin/mxTTx l cosmyTmg0Tmg0gxxl/mxmgx l 广义特征值问题广义特征值问题 多自由度多自由度系统系统0MuKuf动力学方程2;i ti tee

5、 uuuu假设20i ti teeMuKu代入 是否是否也也可以可以消消去？去？u2KuMu整理2KM广义特征值问题固有频率模态（振型） 一共有多少组解？一共有多少组解？广义特征值问题广义特征值问题2KM 广义特征值问题广义特征值问题12M KA特征值问题特征值数：同自由度数特征向量： 与特征值成对出现 有无穷多种选取方法aa2aaK M 2aaKMT1首项归一化模态：T1 M质量归一化模态： 质量质量归一化模态是唯一的么？归一化模态是唯一的么？广义特征值问题广义特征值问题 模态模态的正交性的正交性2KMT1 M2TTKM2T K固有频率排序：123n模态矩阵：123nTT2; MI K121

6、1;1nI 为什么从小到大进行排序？为什么从小到大进行排序？模态的物理意义模态的物理意义 模态模态的物理意义的物理意义结构系统做自由振动时，节点上可能出现的完全不相关的变形形态，不相关是指某一振型变形曲线形态上的惯性力对其它振型做功为0模态的物理意义模态的物理意义 简支梁有限元模态简支梁有限元模态模态的物理意义模态的物理意义振型图模态是结构的固有属性，与载荷无关结构每一阶模态都表示结构各节点的一种运动特性：各节点之间的位移和速度保持固定比值要使结构按某一模态振动，条件是：各质点之间的初位移和初速度的比值应具有该模态的比值关系 关于固有频率和模态的几点说明关于固有频率和模态的几点说明模态的物理意

7、义模态的物理意义在一般初始条件下，结构的振动是由各阶模态的简谐振动叠加而成的复合振动模态阶数越高，所对应的固有频率越高，阻尼作用造成的衰减也就越快，所以高振型只在振动初始才比较明显，以后则基本衰减通常工程设计中仅考虑较低的几个至几十个振型，其中，第一阶固有频率又被称为基频，在工程中最被广泛关注模态模态分析方法分析方法模态分析模态分析：确定：确定机械结构机械结构的固有振动特性的固有振动特性，每一个模态具有特定的，每一个模态具有特定的固有频率固有频率、阻尼比阻尼比和和模态振型，模态振型，这些模态参数可以由计算或试验分这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为析取得，这样一

8、个计算或试验分析过程称为模态分析模态分析分析目的：分析目的：固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据 模态分析（动力特性分析）模态分析（动力特性分析）1阶振型阶振型2阶振型阶振型3阶振型阶振型桥梁模态分析3.69Hz4.14Hz4.15Hz模态分析方法模态分析方法高速列车车体模态分析模态分析方法模态分析方法 2KAMA 广义特征值问题的求解广义特征值问题的求解行列式展开法行列式展开法幂法幂法反幂法反幂法综合法综合法子空间迭代法子空间

9、迭代法Lanczos法等法等中小规模问题中小规模问题大规模问题大规模问题模态分析方法模态分析方法 Matlab求解命令求解命令 全部模态Mat_Psi,Mat_lambda=eig(Mat_K,Mat_M);Mat_omega=sqrt(Mat_lambda);在确保质量阵、刚度阵严格对称的情况下可自动排序并质量归一化不可用于稀疏矩阵 部分模态（通常为前几十阶）Mat_Psi,Mat_lambda=eigs(Mat_K,Mat_M,50,sm);Mat_omega=sqrt(Mat_lambda);固有频率有时需要重新排序模态分析方法模态分析方法 有限元有限元软件算例软件算例重力坝截面结构如图

10、所示，坝高120m，坝底宽为76m，坝顶10m，两侧的坡度如图所示。大坝抗震性能分析的计算条件如下：（1）假设大坝的基础是嵌入到岩基中，地基是刚性的。（2）大坝采用的材料参数为：弹性模量35GPa，泊松比0.2，容重25KN/m3（3）计算分析大坝水位为120m模态分析方法模态分析方法模态分析方法模态分析方法 典型问题典型问题 ( )( )0MX tKX t123000000mMmm 122223333400kkkKkkkkkkk模态分析方法模态分析方法 1 行列式展开法行列式展开法这是一种直接解法，首先从频率方程的严格数学定义，要求系数矩阵这是一种直接解法，首先从频率方程的严格数学定义，要求

11、系数矩阵的行列式为零并计算出自振频率，然后再计算振型的行列式为零并计算出自振频率，然后再计算振型 20KMA 20KM2121222232323343000kkmkkkkmkkkkm123000000mMmm 122223333400kkkKkkkkkkk模态分析方法模态分析方法 1 行列式展开法行列式展开法2121222232323343000kkmkkkkmkkkkm131mm22m 1k 2k 3k 41k 22221012210012模态分析方法模态分析方法 1 行列式展开法行列式展开法222210122100122642242()572(2)(31)0f1510.618221.414

12、23151.618221350.3822222.023352.6182模态分析方法模态分析方法 1 行列式展开法行列式展开法2122123223(2)0(22)0(2)0AAAAAAA 20KMA12123231502( 15)01502AAAAAAA 1510.618221222302101221012AAA 模态分析方法模态分析方法 1 行列式展开法行列式展开法1231.01.6181.0AAA11.0A 2151.6182A31.0A 11.01.6181.0T12123231502( 15)01502AAAAAAA 模态分析方法模态分析方法 1 行列式展开法行列式展开法21221232

13、23(2)0(22)0(2)0AAAAAAA21.4142212320200AAAAA 21.00.01.0T1231.01.00AAA 模态分析方法模态分析方法 1 行列式展开法行列式展开法 31.00.6181.0T2122123223(2)0(22)0(2)0AAAAAAA3151.618212123230( 15)00152152AAAAAAA 11.0A 220.61815A 31.0A 模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法通过构造迭代格式，计算系统的最高自振频率通过构造迭代格式，计算系统的最高自振频率1M 1SMK 2SAA 2KAAM 12MKAA 12iiSAA迭代格式迭代格

14、式如何进行归一化！如何进行归一化！ 为什么迭代得到的是最大的特征值？为什么迭代得到的是最大的特征值？模态分析方法模态分析方法 为什么迭代得到的是最大的特征值？为什么迭代得到的是最大的特征值？ 2SAA 2KAAM 112233nnAaaaa 1122332222111222333nnnnnSAaSaSaSaSaaaa在一般初始条件下，结构的振动是由各阶模态的简谐振动叠加而成的复合振动模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法123000000mMmm 122223333400kkkKkkkkkkk131mm22m 1k 2k 3k 41k 100020001M 210121012K 模态分析方法模

15、态分析方法 2 幂法幂法100020001M 210121012K 110000.50001M 110021021000.501210.510.5001012012SMK 模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法 (0)(1)210110.510.51001211SAA (0)111A 12iiSAA 2100.510.5012S 如何进行归一化！如何进行归一化！如何选取初值！如何选取初值！模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法 (1)2101210.510.50120.5012121SA (2)10.51A (1)101A 22模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法 (2)21012.510.

16、510.50.51.52.50.601212.51SA (2)10.51A (3)10.61A22.5模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法 (3)21012.610.510.50.61.62.60.61501212.61SA (3)10.61A (4)10.6151A22.6模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法 (4)21012.61510.510.50.6151.6152.6150.61801212.6151SA 22.615 (4)10.6151A (5)10.6181A模态分析方法模态分析方法 2 幂法幂法 (5)21012.61810.510.50.6181.6182.6180.6

17、1801212.6181SA 22.618 (5)10.6181A (6)10.6181A模态分析模态分析方法方法 2 幂法幂法232.618 310.6181T111111120.52.50.62.60.6152.6150.6182.6180.618111111 如何判断迭代收敛！如何判断迭代收敛！模态分析方法模态分析方法 3 反幂法反幂法通过构造迭代格式，计算系统的最低阶自振频率通过构造迭代格式，计算系统的最低阶自振频率21 1KAMA MAKA 1K 1TKM 1KMAA TAA 2KAAM迭代格式迭代格式 ( )(1)iiTAA模态分析方法模态分析方法 3 反幂法反幂法 10.750.

18、50.250.51.00.50.250.50.75K 10.750.50.251000.751.00.250.51.00.50200.52.00.50.250.50.750010.251.00.75TKM100020001M 210121012K 模态分析方法模态分析方法 3 反幂法反幂法 (0)0.751.00.251210.52.00.5132 1.50.251.00.75121TA ( )(1)iiTAA (0)111A 0.751.00.250.52.00.50.251.00.75T 2 (1)11.51A模态分析方法模态分析方法 3 反幂法反幂法 (1)0.751.00.2512.5

19、10.52.00.51.542.5 1.60.251.00.7512.51TA (1)11.51A (2)11.61A2.5模态分析方法模态分析方法 3 反幂法反幂法 (3)0.751.00.2512.610.52.00.51.64.22.6 1.6150.251.00.7512.61TA (2)11.61A2.6 (3)11.6151A模态分析方法模态分析方法 3 反幂法反幂法 (4)0.751.00.2512.61510.52.00.51.6154.2312.615 1.6180.251.00.7512.6151TA2.615 (4)11.6151A (4)11.6181A模态分析方法模态

20、分析方法 3 反幂法反幂法 (5)0.751.00.2512.61810.52.00.51.6184.2362.618 1.6180.251.00.7512.6181TA2.618 (4)11.6181A (4)11.6181A模态分析方法模态分析方法 3 反幂法反幂法2.6182110.382 111.6181T11111112 1.52.5 1.62.6 1.6152.615 1.6182.618 1.618111111 模态分析方法模态分析方法 4 综合法综合法利用结构本身的对称与反对称特点，假设振型为含有未知量的形式，利用结构本身的对称与反对称特点，假设振型为含有未知量的形式，直接从广

21、义特征值方程出发，一次解出半数或者全部特征值直接从广义特征值方程出发，一次解出半数或者全部特征值对于对称结构，数学上可以证明振型必呈对称或者反对称形式对于对称结构，数学上可以证明振型必呈对称或者反对称形式，因此，因此假设假设对称振型为对称振型为T11rA是待求量，并将假设振型代入广义特征值问题是待求量，并将假设振型代入广义特征值问题r22101100112102001210011rr 模态分析方法模态分析方法 4 综合法综合法广义特征广义特征值问题值问题22101100112102001210011rr 将前二行展开将前二行展开222222rrr210rr 151.6182ar150.6182br 模态分析方法模态分析方法 4 综合法综合法假设反对称振型为假设反对称振型为151.6