第3章 3.3　3.3.3　最大值与最小值

1、.3.3.3最大值与最小值学习目的：1.可以区分极值与最值两个不同的概念2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值重点、难点自 主 预 习·探 新 知1函数的最大值与最小值假如在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有fxfx0fxfx0，那么fx0为函数fx在定义域上的最大值最小值2求函数yfx在区间a，b上的最值的步骤第一步，求fx在区间a，b上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与fa，fb比较，得到fx在区间a，b上的最大值与最小值根底自测1判断正误：1函数的最大值一定是函数的极大值2开区间上的单调连续函数无最值3函数fx在区间a，b上的最

2、大值和最小值一定在两个端点处获得【解析】1×.反例：fxx3x22x1在0,10的最大值是f10，而不是其极大值f12.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确3×.反例：fxx2在1,1上的最大值为f00，不在区间端点获得【答案】1×23×2函数yx3x2x，该函数在区间0,3上的最大值是_【解析】y3x22x1，由y0得3x22x10，得x1，x21.f00，f11，f3279315，该函数在0,3上的最大值为15.【答案】15合 作 探 究·攻 重 难求函数的最值求函数fx2x312xx1,3的

3、最值思路探究求fx，研究fx在1,3上的极值，并与f1，f3比较确定最值【自主解答】fx6x2126x226xx由fx0得x或x.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x11，,33fx0fx10818由上表知函数fx的最小值是8，最大值是18.规律方法求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.跟踪训练1求函数fxx1x2，x0,1的最值. 【导学号：95902236】【解】易知fx13x2.令fx13x20，那么x±. 当x变化时，fx，fx的变化情况如下表： x01fx

4、0fx00由上表知fx的最大值为，最小值为0.含参数的函数最值问题a为常数，求函数fxx33ax0x1的最大值思路探究此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进展分类讨论【自主解答】 fx3x23a3x2a假设a0，那么fx0，函数fx单调递减，所以当x0时，有最大值f00.假设a0，那么令fx0，解得x±.因为x0,1，所以只需考虑x的情况101，即0a1时，当x时，fx有最大值f2a.如下表所示x0，1fx0fx2a21时，即a1时，fx0，函数fx在0,1上单调递增，当x1时，fx有最大值，f13a1.综上可知，当a0时，x0时，fx有最大值0.当0a1时，x时，fx有

5、最大值2a.当a1时，x1时，fx有最大值3a1.规律方法求函数在闭区间上的最值时，假如含有参数，那么应进展分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处获得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进展合并整理.跟踪训练2函数fxgx·hx，其中函数gxex，hxx2axa.1求函数gx在1，g1处的切线方程；2当0a2时，求函数fx在x2a，a上的最大值； 【导学号：95902237】【解】1gxex，故g1e，所以切线方程为yeex1，即yex.2fxex·x2axa，故fxx2xaex，令fx0，得xa或x2.当2a2，即0a1时，fx在2a，

6、a上单调递减，在a，a上单调递增，所以fxmaxmaxf2a，fa由于f2a2a2ae2a，fa2a2aea，故faf2a，所以fxmaxfa当2a2，即1a2时，fx在2a，2上单调递增，在2，a上单调递减，在a，a上单调递增，所以fxmaxmaxf2，fa由于f24ae2，fa2a2aea，故faf2，所以fxmaxfa综上得，fxmaxfa2a2aea.由函数的最值求参数的值范围探究问题1. 1假设对任意的x1,2，都有ax成立，那么实数a的取值范围是什么？2假设对任意的x1,2，都有ax成立，那么实数a的取值范围是什么？【提示】1a22a1.21假设存在x1,2，使ax成立，实数a的取

7、值范围是什么？2假设存在x1,2，使ax成立，实数a的取值范围是什么？【提示】1a12a2.3函数yfx，xm，n的最大值为ymax，最小值为ymin，1假设对任意的xm，n，都有afx成立，实数a的取值范围是什么？2假设对任意的xm，n，都有afx成立，实数a的取值范围是什么？【提示】1aymax2aymin4函数yfx，xm，n的最大值为ymax，最小值为ymin，1假设存在xm，n，使afx成立，实数a的取值范围是什么？2假设存在xm，n，使afx成立，实数a的取值范围是什么？【提示】1 aymin2aymaxfxxln x，gxx2ax3，对一切x0，2fxgx恒成立，务实数a的取值范

8、围；思路探究把a别离出来，转化为求函数的最值问题【自主解答】由题意知2xln xx2ax3对一切x0，上恒成立，那么a2ln xx，设hx2ln xxx0，那么hx.当x0,1时，hx<0，hx单调递减，当x1，时，hx0，hx单调递增，所以hxminh14，对一切x0，2fxgx恒成立，所以ahxmin4.即实数a的取值范围是，4规律方法1“恒成立问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用别离参数法进展转化fx恒成立fxmax；fx恒成立fxmin.对于不能别离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可2此类问题特别要小心“最值能否获得到和“不等式中是否含等号的情况，以此来确定

9、参数的范围能否获得“跟踪训练3函数fxxcos xsin x，假设存在实数x0,2，使得fxt成立，那么实数t的取值范围是_【解析】fxxcos xsin xcos xxsin xcos xxsin x.x0,2，当x0，时，fx0，fx在0，单调递减当x，2时，fx0，fx在，2单调递增fxminf，t的取值范围t.【答案】，构建·体系 当 堂 达 标·固 双 基1函数fxx312x83x3的值域是_【解析】令fx3x2120，得x±2，而f31，f317，f28，f224，那么fxmax24，fxmin8.【答案】8,242设函数gxxx21，那么gx在区间0,1上的最小值为_. 【导学号：95902238】【解析】gxx3x，由gx3x210，解得x1，x2舍去当x变化时，gx与gx的变化情况如下表：x01gx0gx0单调递减极小值单调递增 0所以当x时， gx有最小值g.【答案】3函数fxexsin x在区间上的值域为_【解析】fxexsin xcos x，x，fx0，fx在上是单调增函数，fxminf00，fxmaxfe.【答案】4函数fxx3x2xa在区间0,2上的最大值是3，那么a的值为_【解析】fx3x22x1，令fx0，解得x舍去或x1， 又f0a，f1a1，f2a2，那么f2最大，即a23