第2章 2.1 2.1.1 合情推理

1、.2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目的：1.理解合情推理的含义易混点2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进展简单的推理重点、难点自 主 预 习探 新 知1归纳推理与类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简称归纳由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简称类比特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理考虑：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示归纳推理的结

2、论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联络不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2合情推理根底自测1考虑辨析1利用合情推理得出的结论都是正确的2类比推理得到的结论可以作为定理应用3由个别到一般的推理为归纳推理答案1 232鲁班创造锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子能“锯开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子应该是齿形的该过程表达了A归纳推理B类比推理C没有推理 D以上说法都不对B推理是根据一个或几个的判断来确定一个新的判断的思维过程，

3、上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理3等差数列an中有2anan1an1n2，且nN*，类比以上结论，在等比数列bn中类似的结论是_解析类比等差数列，可以类比出结论bbn1bn1n2，且nN*答案bbn1bn1n2，且nN*4如图211所示，由假设干个点组成形如三角形的图形，每条边包括两个端点有nn1，nN*个点，每个图形总的点数记为an，那么a6_，an_n1，nN*. 【导学号：31062121】图211解析根据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a636315.由n2,3,4,5,6的图形特点归纳得an3n3n1，nN*答案153n3合 作 探 究攻 重 难数、式中

4、的归纳推理1观察以下等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_2：fx，设f1xfx，fnxfn1fn1xn1，且nN*，那么f3x的表达式为_，猜测fnxnN*的表达式为_3数列an的前n项和为Sn，a13，满足Sn62an1nN*求a2，a3，a4的值；猜测an的表达式解析1121，122212，122232123，122232421234，122232421n1n21n112n1n1.2fx，f1x.又fnxfn1fn1x，f2xf1f1x，f3xf2f2x，f4xf3f3x，f5xf4f4x，根据前几项可以猜测fnx.答案11222324

5、21n1n21n12f3xfnx3因为a13，且Sn62an1nN*，所以S162a2a13，解得a2，又S262a3a1a23，解得a3，又S362a4a1a2a33，解得a4.由知a13，a2，a3，a4，猜测annN*规律方法进展数、式中的归纳推理的一般规律1.等式或不等式进展归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中构造形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论.2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.(1)通过条件求出数

6、列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.跟踪训练1数列5,9,17,33，x，中的x等于_. 【导学号：31062122】解析因为415, 819, 16117,32133猜测x64165.答案652观察以下等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.解析通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为nn1，即nn1答案nn1几何图形中的归纳推

7、理1黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图212的规律拼成假设干个图案，那么第n个图案中有黑色地面砖的块数是_. 【导学号：31062123】图2122根据图213中线段的排列规那么，试猜测第8个图形中线段的条数为_图213解析1观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6n155n1.2图形到中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1223,5233,13243,29253，因此可猜测第8个图形中线段的条数应为293509.答案15n12509规律方法归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究

8、其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进展归纳推理解答该类问题的一般策略是：跟踪训练3如图214，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：图214通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有_根；第n个图形中，火柴棒有_根. 【导学号：31062124】解析数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒3n1根答案163n1类比推理及其应用探究问题三角形与四面体有以下相似性质：1三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由

9、三角形围成的最简单的封闭图形2三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成以下探究点：1在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积2三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的积的.1在等差数列an中，对任意的正整数n，有an.类比这一性质，在正项等比数列bn中，有_2在平面几

10、何里有射影定理：设ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，那么AB2BDBC.拓展到空间，在四面体ABCD中，DA平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对ABC、BOC、BDC三者面积之间关系，并给予必要证明思路探究1类比等差数列及等比数列的性质求解2将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面积可得SSOBCSDBC.解析1由a1a2a2n1类比成b1b2b3b2n1，除以n，即商类比成开n次方，即在正项等比数列bn中，有b

11、n.答案bn2ABC、BOC、BDC三者面积之间关系为SSOBCSDBC.证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，AD平面ABE，ADAE，ADBC，又AO平面BCD，AODE，AOBC.ADAOA，BC平面AED，BCAE，BCDE.SABCBCAE，SBOCBCOE, SBCDBCDE.在RtADE中，由射影定理知AE2OEDE，SSBOCSBCD.母题探究：1.变条件把本例2中的射影定理的表示换为“abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边类比上述定理，写出对空间四面体如图215所示性质的猜测图215解如下图，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示P

12、AB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜测射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .2变条件把本例2条件换为“在RtABC中，ABAC，ADBC于点D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜测，并说明猜测是否正确及理由解猜测：类比ABAC，ADBC，可以猜测四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD.那么.下面证明上述猜测成立如下图，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF

13、.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜测正确规律方法类比推理的一般步骤当 堂 达 标固 双 基1扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可知扇形面积公式为 【导学号：31062125】ABC D无法确定C扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S.2观察图形规律，在其右下角的空格内画上适宜的图形为图216A. B.C. D.A观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果. 3等差数列an中，an0，公差d0，那么有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，假设bn0，q1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系_解析将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4b8b5b7.答案b4b8b5b74观察以下等式：1323122,1323331232,1323334312342，根据上述规律，第四个等式为_. 【导学号：31062126】解析由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开场的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开场的连续正整数和