数学背景知识资源

1、数学背景知识资源数的起源来源： 数的概念最初不论在哪个地区都是 1、2、3、4 这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。古罗马的数字相当进步， 现在许多老式挂钟上还常常使用。 实际上，罗马数字的符号一共只有 7 个： I （代表 1）、V（代表 5）、X（代表10）、 L（代表 50）、C 代表 100）、 D（代表 500）、M（代表 1,000 ）。这 7 个符号位置上不论怎样变化， 它所代表的数字都是不变的。 它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：1重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：“ III ”表示“ 3”；“ XXX”表示“ 30”。2右加左减：一

2、个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“ VI”表示“ 6”，“ DC”表示“600”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“ IV”表示“ 4”，“ XL”表示“40”，“ VD”表示“ 495”。3上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。其他国家和地区的人民，则是普遍认同十位进制的记数符号，即 1、2、3、4、5、6、7、8、9，遇到“零”就用黑点“·”表示，比如“ 6708”，就可以表示为“ 67·8”。后来这个表示“零”的“·”，逐渐变成了“ 0”。如果你细心观察的话

3、，会发现罗马数字中没有“ 0”。其实在公元5 世纪时，“ 0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用“ 0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握笔写字。现在世界通用的数符号1、2、3、 4、 5、6、7、 8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去， 又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲， 逐渐演变成今天的阿拉伯数字。后来人们发现， 仅仅能表示自然数是远远不行的。 如果分配猎获物时， 5 个人分 4 件东西，每个人人该得多少呢？于是分

4、数就产生了。自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。接着人们又发现很多数量具有相反的意义， 比如增加和减少、 前进和后退，为了表示这样的量， 又产生了负数。 正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。公元前 2500 年，毕达哥拉斯的学生在研究 1 与 2 的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它， 这个新数的出现使毕达哥拉斯感到震惊， 紧接着人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数， 如圆周率就是最重要的一个， 人们就把这些数称作无理数。有理数和无理数一起统称为实数。 但在解方程的时候常常需要开平方，如果被开方数负数，这道题还有解

5、吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。 于是数学家们就规定用符号“i ”表示“ - 1”的平方根，即，虚数就这样诞生了。数的概念发展到虚数以后， 在很长一段时间内， 连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是 1843 年 10 月 16 日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念。所谓四元数，就是由一个标量（实数）和一个向量（其中 x、y、z 为实数）组成的数。四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。 与此同时， 人们还开展了对“多元数”理论的研究。 到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。数学思维培养的N种方法来源： 一

6、、数学概括能力的培养数学教学中， 应当强调数学的“过程”与“结果”的平衡，要让学生经历数学结论的获得过程，而不是只注意数学活动的结果。这里，“经历数学结论的获得过程”的含义是什么呢？我们认为，其实质是要让学生有机会通过自己的概括活动，去探究和发现数学的规律。概括是思维的基础。学习和研究数学，能否获得正确的抽象结论，完全取决于概括的过程和概括的水平。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程， 概括是有层次的、 逐步深入的。随着概括水平的提高， 学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中， 教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程，及时向学生提出高一级的概括任务， 以逐步发

7、展学生的概括能力。在数学概念、原理的教学中，教师应创设教学情境，为学生提供具有典型性的、数量适当的具体材料，并要给学生的概括活动提供适当的台阶，做好恰当的铺垫，以引导学生猜想、发现并归纳出抽象结论。这里，教师铺设的台阶是否适当，主要看它是否能让学生处于一种“似懂非懂”、“似会非会”、“半生不熟”的状态。猜想实际上是在新旧知识相互作用的过程中， 学生对新知识的尝试性掌握。教师设计教学情境时，首先，应当在分析新旧知识间的本质联系与区别的基础上，紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的，安排猜想过程，促使学生发现内在规律；其次，应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系，并确定同化 ( 顺应 ) 模式

8、，从而确定猜想的主要内容；再次，要尽量设计多种启发路线，在关键步骤上放手让学生猜想，使学生的思维真正经历概括过程。概括的过程具有螺旋上升、 逐步抽象的特点。 在学生通过概括获得初步结论后， 教师应当引导学生把概括的结论具体化。 这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程， 是对新知识进行正面强化的过程。 在这个过程中， 学生的认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露，也最容易引起学生形成适应的刺激。在概括过程中，要重视变式训练的作用，通过变式，使学生达到对新知识认识的全面性；还要重视反思、系统化的作用，通过反思，引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程，检查得失，从而加深对数学原理、

9、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入。数学的表现方式是形式化的逻辑体系， 数学理论的最后确立依赖于根据假定进行抽象概括的能力。 因此，教师应当引导学生学会形式抽象，实际上这是一个高层次的概括过程，在这个过程中，学生的逻辑推理能力可以得到很好的培养。二、重点放在培养学生的思维品质上心理学家认为， 培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。数学的性质决定了数学教学既要以学生思维的

10、深刻性为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。 数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。对于那些容易混淆的概念，如正数与非负数、空集F 和集合 0 、锐角和第一象限的角、充分条件和必要条件、映射与一一映射、 sin(arcsinx) 与 arcsin(sinx) 等等，可以引导学生通过辨别对比，认清概念之间的联系与区别， 在同化概念的同时， 使新旧概念分化，从而深刻理解数学概念。通过变式教学揭示并使学生理解数学概念、方法的本质与核心。在解题教

11、学中，引导学生认真审题，发现隐蔽关系，优化解题过程，寻找最佳解法等等。数学思维的敏捷性， 主要反映了正确前提下的速度问题。 因此，数学教学中， 一方面可以考虑训练学生的运算速度， 另一方面要尽量使学生掌握数学概念、 原理的本质， 提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，另外还要使学生掌握速算的要领。 例如，每次上课时都可以选择一些数学习题， 让学生计时演算； 结合教学内容教给学生一定的

12、速算要领和方法；常用的数字，如 20 以内自然数的平方数、 10 以内自然数的立方数、特殊角的三角函数值、无理数 、 、 lg2 、 lg3 的近似值都要做到“一口清”；常用的数学公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有关公式、对数和指数的有关公式、三角函数的有关公式、各种面积、体积公式、基本不等式、排列数和组合数公式、二项式定理、复数的有关公式、斜率公式、直线、二次曲线的标准方程等等，都要做到应用自如。实际上，速算要领的掌握和熟记一些数据、公式等，在思维活动中是一个概括的过程， 同时也训练了学生的数学技能， 而数学技能的泛化就成为能力。数学思维功能僵化现象在学生中是大量存在的，

13、这与学生平时所受的思维训练有很大关系。教师在教学过程中过分强调程式化和模式化；例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求学生按部就班地解题，不许越雷池一步；要求学生解答大量重复性练习题，减少了学生自己思考和探索的机会，导致学生只会模仿、 套用模式解题。灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力。因此，为了培养学生的思维灵活性， 应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间， 使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用，在概念教学中， 使学生用等值语言叙述概念， 数学公式教学中， 要求学生掌握

14、公式的各种变形，都有利于培养思维的灵活性。另外，思维的灵活性与思维的敏捷性是相互依存的，因此数学教学中采取措施 ( 如编制口答练习题 ) 加快学生的思维节奏，对于培养学生的思维灵活性也是很有好处的。创造性思维的培养， 首先应当使学生融会贯通地学习知识， 在解题中则应当要求学生独立起步， 养成独立思考的习惯。 在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问，能够提出高质量的问题是创新的开始。 数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。批判性思维品质的培养， 可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。 要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用

15、了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。批判性思维的培养，有赖于教师根据学生的具体情况，有针对性地设计反思问题，以引起学生的进一步思考。什么是数感及数感的培养来源：王旭光：中小学教学研究2006 年第 10 期数感是指对数的含义、计数技能、数的顺序大小、数的多种表达方法、模式、数运算及结果的准确感知和理解等。数感是人的一种基本的数学素养 , 它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础 , 是将数学与现实问题建立联系的桥梁。在数学教学中发展学生的数感是极其重要的。 因为建立数感可以理解为让学生学会 “数

16、学地” 思考 , 这对每个人都是非常重要的。本文试图从体验、比较、表达与交流、解决问题四个方面来阐述数感的培养。一、在体验中培养学生数感布鲁纳强调 : “数学知识不是一个简单的结果 , 而是一个过程。 ”学生的年龄特点决定他们的思维在认知活动中正从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。 因此教师在教学中应根据他们的这种思维特点进行教学 , 以生活实际和学生的经历、 体验帮助他们理解抽象的概念 , 建立数感。数概念是数学概念中的一个最重要的成分, 数概念的掌握表明了学生理解了数与算术的本质 , 从一个侧面反映了思维力的发展水平 , 标志着真正意义上的数学学习的开始。 可以让学生说一说自己身边的数、 生

17、活中用到的数、 如何用数表示周围的事物等 , 使学生感到数学就在身边 , 运用数可以简单明了地表示许多现象。在认识 100 万的教学中 , 我们可以通过让学生查找几个大数 , 创设一个现实情景 , 引起学生对大数的神秘感受 , 体会大数是生活中客观存在的。 比如 , 如果每人每天节约一分钱 , 全国12 亿人口每天就可以节约1200 万元 , 以一个失学儿童每年400元的学费计算 , 它可以解决30000 失学儿童一年的学费。在这种情境中 , 学生不仅对大数有了具体的体会, 还对节约用钱有了感受。数学课程标准在第三学段指出“: 能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。”如果像传统教法那样,

18、 把概念灌输给学生 , 就割裂了知识与生活之间的联系。那么,在学生的头脑中 ,这些概念只是一种符号 , 使知识失去了其真实的生活意义。因此,在教学中一定要注意把知识与生活实际相联系,让学生在生活中充分地感知、 充分地体验 ,再加以适当的抽象概括, 避免产生死记硬背、生搬硬套的现象。二、在比较中培养学生数感在具体的情境中把握数的相对大小关系, 不仅是理解数的需要 , 同时也会加深学生对数的实际意义的理解,使学生在比较中有了多、少、多一些、少一些、相当于这样的几倍的认识 , 使数感得到发展。例如 , 在认识 100 万中进行大数目估算时 , 教师请学生们试着估算一下一本语文书上有多少个字? 一摞纸

19、有多少张 ? 一把瓜子有多少颗 ? 学生在估算时很少有人会凭空估计 , 大多数学生都能自觉地把要估算的数平均分成若于份 , 数出其中的一份是多少 , 再看大数相当于一份的多少倍。 当学生把一份的数量与大数进行比较时 , 观察并感受到大数相当于小数的几倍 , 体会了大数的多少 , 同时也了解了大数在现实生活中的应用。 在这样的估算训练中 , 学生估算能力逐渐提高 , 能够见到生活中的事物 , 很快和数建立起联系 , 体会了数的大小、 多少的实际意义 , 对数的感知能力也会逐步提高。三、在表达与交流中培养学生数感数学课程标准 强调“ : 要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物 , 通过观察、操作、解决问题等丰富的活动 , 感受数的意义 , 体会数用来表示和交流的作用 , 初步建立数感。 ”在教学中为学生创设问题情境 , 让学生在讨论的过程中互相启发、 互相学习、 互相借鉴 , 体会数可以用来表示和交流信息 , 使学生在交流对数的感知时 , 拓展思维 , 丰富自己对数的认识 , 体会数学的价值 , 从而促进数感的形成。学会倾听 , 从别人对某些数量的描述中发现问题、思考问题也是一种交流。例如 , 在认识 100 万的实际测量中 , 教师让学生测量教室的长和宽 , 学生用不同的方式测出了教室的长和宽。 在课堂交流的时候 , 展示了多种多样的测