Lebesgue积分与Riemann积分的区别

1、Lebesgue积分与Riemann积分的区别Lebesgue积分与Riemann积分是非常重要的两种积分，在数学发展史上发挥过巨大的作用。Riemann积分是近代数学的核心，lebesgue积分是现代实变函数论的核心。在有界函数范围内，R积分存在以下缺陷。1）R积分与极限可交换的条件太严；2）积分运算不完全是微分运算的逆运算；3）不适宜于无界区间：R积分只能用来在有界区间内对函数进行积分；4）缺乏单调收敛。1 积分的定义1.1 L积分的定义定义1：设是上的非负可测函数。定义是E上的Lebesgue积分，是上的非负可测简单函数，积分可以是；若，则称在E上是Lebesgue可积的。设是上的可测函

2、数，若积分、中至少有一个是有限值，则称为在E上的Lebesgue积分；当上式右端两个积分值结尾有限时，则称在E上Lebesgue可积的。定义2：设E是一个Lebesgue可测集，是定义在E上的Lebesgue可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组D记并任取（约定当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在E上关于勒贝格测度的积分，记作定义3：设是（）是的有界可测函数。作E的任意分割D：，其中为互不相交的非空可测子集。设，则D的大和及小和为。设在E上的上下积分为若则称在E上是可积的，且称该共同值为在E上的Lebesgue积分，记为。定义1

3、 定义L积分的方法称为逼近法，即从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法；定义2、3定义L积分的方法可称为划分法，划分法类似于R积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上再给出L积分。1.2 黎曼积分的定义定义1：S是函数在闭区间a,b上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割；，只要它的子区间长度最大值，就有：也就是说，对于一个函数，如果在闭区间a,b上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间a,b上的积分存在，并且定义为黎曼和的极限，则称函数为黎曼可积的。该定义的缺陷缺乏可操作性，要

4、检验所有的取样分割是很难的。定义2（达布积分）：设是定义a,b上的有界函数，任取一分点组T将区间a,b分成n部分，在每个小区间上任取一点，。做和令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，S趋于有限的极限，则称它在a,b上的黎曼积分，记为定义3：S是函数在闭区间a,b上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在一个取样分割和，都有：如果有一个S满足了其中的一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，自取件长度最大值显然也会小于，于是满足：1.3 区别R积分是“竖”着分割区间a,b，而L积分是“横”着分割值域L,M。前

5、者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅较小，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。对定义域与对值域的分割是R积分与L积分的本质区别。对值域进行分割求积分的方法使E中的点分成几大类。另外，L积分理论是在测度理论的基础上建立的，测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形。而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于a,b上。这种差别是的Lebesgue积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质。2 Lebesgue积分与Riemann积分的计算符号约定：设是a,b上的有界函数，V是非退化区间，记，称

6、是在上的振幅，是在处的振幅。当函数确定时，与简记为与。几个定理：定理1：设是定义在a,b上的函数，则（1）对任意，在点连续当且仅当；（2）集合是闭集。定理2：区间a,b上的有界函数黎曼可积的充要条件是集合的测度为0。定理3：若有界函数在a,b上黎曼可积，则在a,b上也是勒贝格可积，且积分值相等，即定理2说明L积分是R积分的推广，定理3说明对于非负函数而言L积分也是R反常积分的推广，但是一般情况下L积分并不是R反常积分的推广，这主要因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。所以不能一味L积分包括了R积分就得出L积分比R积分优越的结论。然而L积分对于积分来讲确实有着本质上的进步

7、。Eg1: 设上函数计算。解：因是零测集，故在上 a.e.所以，Eg2：令则在上的R反常积分收敛且但是，；同理，。所以在上不是积分确定的，当然不然L可积。3. 从极限理论上比较分析Lebesgue积分和Riemann积分的优缺点3.1 Lebesgue测度与L积分控制收敛定理Lebesgue可测：Lebesgue测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义Lebesgue积分。可以赋予一个体积的集合被称为Lebesgue可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作。一个值为的Lebesgue测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，的所

8、有子集也不都是Lebesgue可测的。Lebesgue控制收敛定理：设为一个测度空间，是一个实值的可测函数列。如果（）逐点收敛于一个函数，并存在一个Lebesgue可积函数，使得对每个，任意对每个，任意，都有则：1. 也是Lebesgue可积的，；2. 其中的函数一般取为正值函数。函数列（）的逐点收敛和的性质可以减弱为几乎处处成立。3.2 Lebesgue积分的优点1）在R积分中逐项积分问题，也就是积分与极限过程交换顺序问题，条件非常苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号。而L积分比R积分要求的条件小得多，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就L控制收敛定理而言，只须存在控制函数，使得即可，因此在极限换序上L积分比R积分灵便得多。Eg: 狄克莱函数把0,1上的有理点一次排列成：作函数列则处处收敛于，且，在L积分意义下有Lebesgue控制收敛定理（）但不是R可积，尽管在R积分意义下，有：，（）不成立。2）在R积分中可积，有也可积，但反之不成立Eg： 在0,1上可积，但不可积，其大和为1，小和为-1，而在L积分