基于小波变换的图像混合去噪法(学位论文)_百度文库

1、长春工业大学硕士学位论文基于小波变换的图像混合去噪法姓名：周明月申请学位级别：硕士专业：信号与信息处理指导教师：王宏志20070301氏春工业大学硕士学位论文摘要图像在获取和传输的过程中经常要受到噪声的污染。噪声对图像分析有着非常重要的影响，必须在分析前去除。所以，图像去噪成为图像分析和处理的重要技术。传统的去噪方法不仅滤出了图像的噪声，同时使图像细节变得模糊。小波变换是继傅琨叶变换之后的又一时频分析工具。小波变换由于在时域频域同时具有良好的局部化性质和多分辨率分析的特点，因此不仅能满足各种去噪要求，如低通、高通、随机噪声的去除，而且与传统的去噪方法相比较，有着无可比拟的优点，成为信号分析的一

2、个强有力的工具，被誉为分析信号的数学显微镜。其应用包括图像预处理、图像压缩与传输、图像分析、特征提取等图像处理的很多阶段。首先，介绍了本课题的研究目的，并介绍了目前常用的去噪方法及这些方法之间的比较。其次，在简述了小波变换的发展历史和小波变换的基本理论知识后，对以小波为工具在数字图像处理方面进行了有益的探索。再次，给出了小波边缘检测理论，接下来针对小波去噪的理论和方法着重进行了介绍，包括小波去噪的原理、方法和阈值去噪处理等方面的内容。最后，对本文的工作进行了总结。小波变换由于具有“数学显微镜”的作用，在去噪的同时能保持图像细节，得到原图像的最佳恢复。在众多的小波去噪方法中，运用最多的是小波阈值

3、萎缩法，但给出的阈值有“过扼杀”小波系数的倾向，重建误差较大。本文提出基于小波变换与中值滤波相结合的方法实现了图像去噪。该方法在去噪之前，先通过小波边缘检测确定图像边缘特征的小波系数，保留这些位置的小波系数，其不受闽值去噪影响，对其它位置的小波系数进行自适应阈值去噪，去除高斯噪声。然后对图像进行中值滤波，去除椒盐噪声。该算法的实验结果表明不仅能滤出图像中高斯噪声和椒盐噪声的混合噪声，而且能较好的保留图像的边缘细节，其滤波效果优于传统的图像去噪方法。关键词：小波变换，高斯噪声，椒盐噪声，边缘检测，图像去噪。，“”，：，长春工业大学硕士学位论文主要符号表：求和一：求函数的积分）：求随机变量的均值（

4、）：求函数的极限，）：求函数的小波变换（厂，）：求函数厂和函数的内积觋（）：求函数厂的短时傅里叶变换：求函数的极小值长春工业大学硕士学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立工作所取得的成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他个人或集体的作品成果。对本文做出重要贡献的个人和集体，均在论文中做了明确的说明，并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。论文作者签字日哦口袋殍么月长春工业大学硕士学位论文引言第章绪论随着多媒体技术的发展，计算机网络技术的广泛应用和宽带信息网的建立，信息在人们的工作、学习和生活中发挥着越来越重要

5、的作用，其中最直接、最主要的信息就是图像信息，但由于在图像的生成、传输与通信的过程中，经常会伴有随机的脉冲干扰和其它的噪声，这些噪声使图像像素点的灰度值不能正确地反映空间物体对应点的灰度值，严重影响图像的视觉效果，甚至妨碍了人们的正常识别。因此，图像噪声平滑是图像分析和计算机视觉中最基本而又十分重要的技术，图像去噪也就成为图像处理研究的一个永恒的主题。噪声可以理解为“妨碍人们感觉器官所接收的信源信息理解的因素”，它是影响图像质量的主要因素。噪声的污染使图像偏离了真实情况。因此，非常有必要在利用图像之前消除噪声。影响图像质量的噪声种类很多，有电噪声、机械噪声、信道噪声和其它噪声等等。为了抑制噪声

6、，改善图像质量，便于高层次的处理，在处理图像前都要进行降噪预处理。图像去噪的目的是尽可能保持原始信号主要特征的同时，去除信号中的噪声。在常用的图像噪声去除方法中，存在一个至今尚未得到很好解决的问题，即在噪声去除的同时，引起图像的边缘模糊，在保留和增强图像边缘的同时，又增强了图像的噪声。因此，寻找能够兼容去除噪声和保留图像边缘的图像滤波算法一直是这一领域的热门课题。本文以小波变换作为图像信号的分析工具，研究图像信号滤波技术问题，完成了省教育厅杰出青年计划，“基于高阶统计量的图像分析方法研究”的部分内容。图像去噪发展状况一般情况下，成像系统获取的图像（即原始图像）由于受到种种条件限制和随机干扰，往

7、往不能在视觉系统中直接使用，必须在视觉信息处理的早期阶段对原始图像进行灰度校正、噪声过滤等图像预处理。从对图像信号进行滤波过程中所采用的滤波方法来分，图像噪声过滤技术主要有两种方法：空间域法和频率域法。空间域方法主要是在空间域内对图像像素直接运算处理。频率域方法就是在图像的某种变换域，对图像的变换值进行运算，如先对图像进行傅里叶变换，再对图像的频谱进行某种计算（如滤波等），最后将计算后的图像逆变换到空日域。（）空间域法长春工业大学硕士学位论文空间域方法指在空间域内直接对像素灰度值进行运算处理。其处理原理见图卜，（，），）为输入含噪图像函数，）为空域处理函数，（，），）为输出去噪图像函数。图图像

8、去噪的空间域法图卜可用式（）描述。，），），），）（）（）频率域法频率域法就是在图像的某种变换域内，对图像的变换值进行运算，然后通过逆变换获得图像去噪效果。如先对图像进行傅里叶变换，再对图像的频谱进行某种修正，最后将修正后的图像变换值逆变换到空间域。这是一种、日接处理方法，其处理原理如图卜所示，（，）是输入图像函数，）是厂，）经变换后的频域函数（这里的变换不一定是傅里叶变换，也可是其他变换），日“，）为频域滤波函数，（，）是经过频域处理后的函数，（，）是，）经反变换后得到的空域去噪函数。图图像去噪的频率域法图卜可以用式（）描述。，矿）缈，）（，）（）从滤波器类型来分，图像噪声滤除技术可以分为线

9、性滤波器和非线性滤波器。线性滤波器以其完善的理论基础，数学处理方便，易于采用和硬件实现等优点，一直在图像滤波领域占有重要地位，其中以维纳滤波器理论和卡尔曼滤波理论为代表。近年来，非线性滤波理论在机器视觉、医学成像、语音处理等领域有了广泛的应用，同时，也反过来促使该理论的研究向纵深方向发展。非线性滤波器能够在很好地保持信号细节的同时，去除信号中噪声。现在有很多种非线性滤波器，主要包括中值滤波器、形态学滤波器、小波滤波器等。下面对图像滤波技术现状分别进行论述分析。均值滤波器对一些图像进行线性滤波可去除图像中某些类型的噪声，如采用邻域平均法的均长春工业大学硕士学位论文值滤波器就非常适用于去除通过扫描

10、得到的颗粒噪声。邻域平均是空间域平滑技术。用一像素邻域内各像素灰度平均值来代替该像素原来的灰度，即邻域平均技术。最简单的线性滤波器是局部均值运算，即每一个像素值用其局部邻域内所有值的均值置换：一姒】÷芝：九，】厩”（）其中，膨是邻域内的像素点总数。例如，在像素点，处取×邻域，得到，】吉，】（）邻域的大小控制着滤波程度，对应大卷积模板的大尺度邻域会加大滤波程度。作为去除大噪声的代价，大尺度滤波器也会导致图像细节的损失。邻域平均法有力地抑制了噪声，同时也由于平均而引起了模糊现象，模糊程度与邻域半径成正比。上述方法也可称为算术均值滤波器，除此之外还可以采用几何均值滤波器、谐波均值

11、滤波器和逆谐波滤波器。几何均值滤波器所达到的平滑度可以与算术均值滤波器相比，但在滤波过程中会丢失更少的细节。谐波均值滤波器对“盐”噪声效果更好，但是不适用于“胡椒”噪声。它善于处理像高斯噪声那样的其他噪声。逆谐波滤波器适合处理脉冲噪声，但它有个缺点，就是必须要知道噪声是暗噪声还是亮噪声，以便于选择合适的滤波器阶数的符号，如果阶数的符号选择错了可能会引起灾难性后果。维纳滤波器信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，我们需要寻找一种所谓有最佳线性过滤特性的滤波器，这种滤波器当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能精确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。维纳（）过滤就是用来

12、解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤（或滤波）方法。滤波是基于最小均方误差原则得到的一种滤波，它是一种线性滤波。假设为含噪图像信号，可以表示为一个×的矩阵（，）（，）（，一；，一（）其中（）是信号的真实值，）是噪声。现要从含噪信号中估计出真实信号，设）是滤波器的单位样本响应，是非因果的，则通过线性滤波器的时域表达式为：（，）（）（）（）如果以工与算分别表示信号的真值与估计值，而用（）表示它们之间的误差，即（”）工（珂）一（）（）可能是正的，也可能是负的，并且它是一个随机变量。因此，用均方误差来表达是合理的，所谓均方误差最，它的平方的统计平均值最小：长春工业大学硕士学位论文牛一弘

13、咖啡（舯莓妇肛聊）删采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单，不要求对概率的描述。并且在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛一类准则而言也是最佳的。维纳滤波器。的最终目标是使恢复图像与原始图像的均方误差最小。该方法能够根据图像的局部方差来调整滤波器的输出，局部方差越大，滤波器的平滑作用越强。它的滤波效果比均值滤波的效果要好，对保留图像的边缘和其他高频部分很有用，但是线性滤波器存在着计算复杂度高，不便于实时处理等缺点。中值滤波器中值滤波器。是一种常用的非线性滤波器，其基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代换“。主要功能就是让与周围

14、像素的灰度值差比较大的像素点改为与周围像素值接近的值，消除孤立的噪声点。中值滤波的基本思想是用像素点邻域灰度值的中值来代替该像素点的灰度值，该方法在去除脉冲噪声、椒盐噪声的同时又能保留图像边缘细节，这是因为它不依赖于邻域内那些与典型值差别很大的值。中值滤波器在处理连续图像窗函数时与线性滤波器的工作方式类似，但滤波过程却不再是加权运算。例如，取函数窗，计算以点，为中心的函数窗像素中值步骤如下：（）按强度值大小排列像素点。（）选择排序像素集的中间值作为点的新值。一般采用奇数点的邻域来计算中值，但如果像素点数为偶数时，中值就取排序像素中问两点的平均值。中值滤波在一定条件下，可以克服线性滤波器（如均值

15、滤波等）所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰即图像扫描噪声最为有效。中值滤波可以做到既去除噪声又能保护图像的边缘，从而获得较满意的复原效果，而且在实际运算中，不需要图像的统计特性，这也带来不少方便。但对于点、线、尖项细节较多的图像不宜采用中值滤波。形态学滤波器数学形态学。是一种应用于图像处理和模式识别的领域的新的方法，是新兴的图像分析学科。数学形态学滤波器作为图像处理领域中的一类重要的非线性滤波器己被广泛地用于图像降噪、边缘检测和模式识别等图像处理技术之中。形态滤波器是基于信号（图像）的几何结构特性，利用预先定义的结构元素（相当于滤波窗）对信号进行匹配或局部修正，以达到提取信号抑制噪声的目

16、的。利用数学形态学对物体几长春工业大学硕士学位论文何结构的分析过程就是主客体相互逼近的过程。形态学滤波器将开启和闭合结合起来进而滤出噪声。在形态学中，膨胀一般是给图像中的对象边界添加像素，在进行膨胀操作时，输出像素值是输入图像相应像素邻域内所有像素的最大值。在二进制图像中，如果任何一个像素值为，那么对应的输出像素值为。腐蚀则是删除图像边界元素，输出像素是输入图像相应像素邻域内所有像素的最小值。在二进制图像中，如果任何一个像素值为，则对应输出像素值为。由于膨胀和腐蚀并不是互为逆运算，所以可以将它们结合使用。开启就是先对图像进行腐蚀，然后对腐蚀后的图像结果作膨胀运算。闭合是先对图像做膨胀运算，然后

17、对膨胀运算的结果做腐蚀运算。开启消除了尺寸较小的亮细节，闭合消除了尺寸较小的暗细节。首先对噪声图像进行开启操作，选择结构要素矩阵比噪声的尺寸大，开启的结果是消除了背景上尺寸较小的亮细节。然后是对前一步得到的图像进行闭合操作，消除图像上的尺寸较小的暗细节。开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与开运算相反，它一般能融合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。此方法适用的图像类型是图像中的对象尺寸比较大，且没有细小的细节。小波滤波器小波变换作为一种有效的时间（空间）尺度分析方法，近年来受到广泛的关注。其应用已遍及信号和图像分析处理的多个研究领

18、域。小波变换应用于信号去噪是人们十分感兴趣的课题之一”。小波变换的分析窗口大小固定但其形状可变，小波变换是时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这种自适应性正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，所以小波变换被誉为“数学显微镜”。小波变换时域和频域同时具有良好的局部化性质，并且具有边缘检测的能力，因此利用小波变换去除图像噪声的同时，可提取并保存对视觉起主要作用的边缘信息。由小波变换的特性可知，高斯噪声的小波变换仍然是高斯分布的。它均

19、匀分布在频率尺度空间的各个部分。信号由于其带限性，它的小波系数仅仅集中在频率尺度空间的有限部分。从信号能量观点来看，在小波域上，所有的小波系数都对噪声有贡献。也就是噪声的能量分布在所有的小波系数上，而只有小部分小波系数对信号能量有贡献。所以把信号分为两类：第一类小波系数仅仅由噪声变换后得到的，这类小波系数幅值小，数目较多。第二类小波系数由信号变换得来，并包含噪声变换的结果，这类小波系长春工业大学硕士学位论文数幅值大，数目较少。根据信号小波分界的这个特点，通过这种小波系数幅值上的差异来降低噪声。对信号的小波系数设置一个阈值，大于这个阈值的认为属于第二类小波系数，同时含有信号和噪声的变换结果。可以

20、简单的保留或者进行后续操作。而小于这个阈值的小波系数认为是第一类小波系数，即完全由噪声变换而来，应该去掉这些系数。这样达到了降低噪声的目的，保留了大部分包含信号的小波系数，可以较好的保留图像细节。图像噪声模型图像噪声的主要来源有以下方面：（）敏感元器件内部产生的高斯噪声。这是由于器件中的电子随机热运动而造成的电子噪声，这类噪声很早就被人们成功的建模并研究。一般用零均值高斯白噪声来表征。（）光电转换过程中的泊松噪声。这类噪声是由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起的，在强光情况下，影响更为严重。常用具有泊松密度分布的随机变量作为这类噪声的模型。在光照较强时，泊松分布趋向于更易描述的高斯分布

21、，其标准差仍等于均值的平方根。（）感光过程中产生的颗粒噪声。在显微镜下检查可发现，照片上光滑细致的影调，在微观上呈现的是随机的颗粒性质。对于多数应用，颗粒噪声可用高斯过程（白噪声）作为有效模型。在大多数情况下，这三种常见的噪声源均可以视为高斯分布。数字信号和图像中存在着各种噪声，主要分为两大类：高斯噪声和非高斯噪声。非高斯噪声主要是脉冲噪声，或者称为噪声和椒盐噪声。非高斯噪声模型研究的分类为模型、多变量模型及噪声模型、乘性噪声模型和信号相关噪声模型。图像数据一般都含有高斯噪声和非高斯噪声，或者其中之一为主要的噪声。一幅图像在实际应用中可能存在各种各样的噪声，这些噪声可能在传输中产生，也可能再量

22、化等处理中产生。噪声产生的原因决定了它的分布特性及它和图像信号的关系。根据噪声和信号的关系可将其分为两种形式：（）加性噪声），（，），）（，）（）式中，）为信号，一，）为噪声，影响信号后的输出为（，）。加性噪声一般是由发生源产生并与图像重叠，在输出端表现出来。形成的波形是噪声和信号的叠加，其特点是噪声和信号无关，如一般的电子线性放大器的噪声、信道噪声及光导摄像管的摄像机扫描图像的噪声就属于这类噪声。不论输入的信号大小，其输出总是与噪声叠加。（）乘性噪声窖），）瓜）瓜，）（）其输出是两部分的叠加，第二个噪声项受，）的影响，）越大，则第二项越大，即噪声项受信号的调制。如光量子噪声、底片颗粒噪声都随

23、噪声信号增大而增大。乘法性噪声模型的分析计算都比较复杂，乘性噪声对图像起到调制作用，如果图像灰度变化和噪声很小时，乘性噪声可近似看作是加性噪声。通常，总是假定信号和噪声是相互独立的“。本论文的噪声模型选择为加性噪声模型。综上所述，本文选择的为加性噪声模型，并且噪声为高斯噪声和椒盐噪声的混合。本文的主要研究内容图像去噪是图像处理研究的一个永恒主题。图像在获取和传输过程中，往往受到噪声的干扰，降噪的目的是最大限度的保留原始信号的主要特征。大多数图像去噪方法，从本质上来说都是低通滤波的方法。低通滤波方法是一把双刃剑，在去除噪声的同时，也会消除图像部分有用的高频信息，各种图像去噪方法就是在去噪和保留图

24、像细节上保持平衡。因此对保边界的非线性滤波算法比较活跃。中值滤波是一种非线性滤波技术，能有效的抑制椒盐噪声，对图象边缘也有较好的保护作用，但是对高斯噪声的效果不佳。小波阈值去噪方法是众多图象去噪方法中的佼佼者，它利用图象的小波分解后，各个子带图象的不同特性，选取不同的阈值，从而达到较好的去噪效果，而且小波变换去除高斯噪声效果十分理想。基于这一思想，本文提出了基于小波变换的图象混合去噪方法，将中值滤波和小波阈值去噪相结合，去除椒盐噪声和高斯噪声。本文设计出基于小波变换的图像去噪算法，其研究内容包括以下几个方面：（）对图像信号进行性态分析，为图像信号去噪提供理论依据。（）研究了小波的基本理论与方法

25、，重点研究了小波变换在图像处理中的应用，充分利用小波变换良好的时频特性，及其低熵性、多分辨率性、去相关性、选基灵活性等特点，将小波多尺度边缘检测与小波阂值去噪结合起来，很好的去除图像中的高斯噪声。（）在以上工作基础上，设计出了本文基于小波变换的图像混合去噪算法。与传统的去噪算法相比，该算法在较好的抑制噪声的同时，保留和增强了图像边缘细节。（）对所提出的图像去噪算法进行计算机仿真，证明和评价其去噪效果。第章小波变换的基本知识小波变换的发展概况小波变换（）应用广泛，如多媒体小波通信、隐蔽通信或水印加密，低比特率的图像压缩编码，雷达图像多尺度边缘检测与目标纹理识别，医学脑部图像多分辨率定位及其统计分

26、析，太空中不同尺度天体图像对象检测与分类。从不同的角度认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。信号最初是以时间（空间）的形式来表达的。除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。频率的表示方法是建立在傅里叶分析（）基础之上的，由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时问域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，即傅里叶类型的变换对瞬态或非平稳信号的局域特性是无能为力的，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，在傅罩叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换（）或加窗傅里叶变换（）、变换、小波变换等。，傅里叶变换

27、“”有它明显的缺陷，那就是无时间局部信息。也就是说，信号任何时刻的微小变化都会牵动整个频谱。而实际信号往往是时变信号、非平稳过程，了解它们的局部特性往往是很重要的。人们很自然地首先想到通过预先加窗的办法使频谱反映时问局部特性，这就是短时傅里叶变换（，缩写为）。短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数占（幻在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使“幻（幻在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定

28、了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换可以用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到不确定准则的限制，时频窗的面积不小于固定值，这也就从另一个侧面说明了短时傅瞿叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。变换是海森伯不确定准则下的最优的短时傅里叶变换。高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。具有高斯窗函数的短时傅罩叶变换就是变换。与短

29、时傅里叶变换一样，变换也是单一分辨率的。世纪初，哈尔（）对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基非常长春工业大学硕士学位论文感兴趣。年他发现了小波，并被命名为哈尔小波（），他最早发现和使用了小波。世纪年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家提出了小波变换（）的概念。进入世纪年代，法国的科学家和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。于年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放（）与平移（）均为（，的整数）的倍数构造了（）空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。小波变换的主要算法则是由法国的科学家在年提出。他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率

30、的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅里叶变换在经典傅里叶分析中的地位。，和等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。例如，于年最先揭示了小波变换和滤波器组（）之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。在信号处理中，自从和发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信号（如声音信号，图像信号等）处理中得到极其广泛的应用。“小波”即小区域的波“”，就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与变换相比，小波变换是时问（空间）频率的局部

31、化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了变换的困难问题，成为继变换以来在科学方法上的重大突破。小波变换是傅里叶变换的继承和发展，是泛函分析的重要范例。它的突出特点是时频分辨率可以互相转换。对高频信号成分用窄窗小波基，以较高的采样密度抽样，可分析信号中非平稳成分，很适合图像分析。对低频信号成分用宽窗小波基，以较稀的采样密度抽样，可分析信号中平稳成分。小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析（）的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难。小波变换是

32、一种时间一尺度分析方法，而且在时间、尺度（频率）两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。所以，小波变换被称为分析信号的显微镜。短时傅里叶变换傅里叶变换对于线性时不变系统，傅里叶变换（，缩写为）无疑是最有力的工具。信号舟）的傅里叶变换（）弛）“（）巾）寺（）咖（）频域信号（）不提供任何有关时域信息，无法由它知道，）在任一点附近的状态。（，）随时间的任何变化都涵盖在（）所有频率之中。要得到，（，）的傅里叶变换，必须在整个时间轴上对，（）和朋进行混合，因

33、此傅里叶变换没有能力抽取个信号的局域性质，即它没有能力抽取或定位信号在某个时刻附近的瞬变特性。任何有限频段上的信息都不足以确定任何小时问范围的函数）“。与傅里叶类似，以无限长余弦函数为基的“”也同样缺乏时频局域性质。傅里叶类型的变换对瞬态或非平稳信号的局域性质是无能为力的，于是人们研究了短时傅里叶变换。短时傅里叶变换由于傅里叶变换只在频域有局部分析的能力，而在时域内不存在局部分析的能力，故于年引入短时傅里叶变换（）短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间问隔，用傅里叶变换分析每个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。短时傅里叶变换（）定义为玎，）（一一加出（）。，如）（）它相当于

34、对巾）施加一个滑动窗嘶一）后，再做傅里叶变换，这里。（）谁一埘（）为短时傅里叶变换的基函数。短时傅里叶变换时间一频率窗的宽度对于所观察的所有频率的谱具有不变特性，这一点不适应于非平稳信号的高频与低频部分的特性分析。测不准原理“：对于一个任意的单位能量信号，（），设它的傅里叶变换为（），设它的时间和频率域中心均在原点，即几，（定义它的时问和频率域宽度为，（）以（咖（）则存在不等式乙詈，只有当，（）拦一时，不等式的等号成立。乃测不准原理说明，不可能在时域和频域都获得任意的观察精度。要使频域分辨率提高，必然会牺牲时域分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到不确定

35、准则的限制，时频窗的面积不小于固定值，这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。小波变换可以根据分析的需要，协调这对矛盾，它在低频区看到更多的频率细节，在高频区看到更多的时间细节。连续小波变换小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，它的波形如图（）所示。图（）是大家所熟悉的下弦波。图（）所示的小波具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，波形可以是不规则的，也可以是不对称的，在整个时间范围里的幅度平均值为零。而正弦波和余弦波具有无限的持续时间，它可从负无穷扩展到正无穷，波形是平滑的，它的振幅和频率也是恒定的。傅里叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正

36、弦波，因此正弦波是傅里叶变换的基函数。同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。可以说，凡是能够用傅里叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅里叶变换的正弦波。（）正弦波图正弦波和小波（）小波小波函数的确切定义为：设，础）为平方可积函数，也即嘶），则按如下方式生成的函数族虬，。（）：长春工业大学硕士学位论文协件）（）称为连续小波或分析小波。毋）叫基小波或母小波（）“”。其中是尺度参数，是时移参数。改变的值，对函数。）具有伸展和收缩的作用，起着平移的作用。小波却）必须满足以下

37、容许性条件，即其傅里叶变换纵）满足条件兰！小，（）：称式（）为小波函数的可容许性条件。将任意空间的函数（）在小波基下进行展开，称这种展开为函数，（）的连续小波变换（，简写），其表达式为吁）。（扫（等弘，（），（）（）式中是尺度因子，是位移，其中击攻了（）其重构公式（逆变换）为，（）古砉嘎）去攻等弘（）其中，：丝甄。，即对矾）提出的容许条件。由连续小波变换的定义可知，小波变换同傅里叶变换一样，都是一种积分变换。同傅里叶变换相似，我们称（，）为小波变换系数。由于小波基不同于傅单叶基，因此小波变换与傅里叶变换有许多不同之处。其中最重要的是：小波基具有尺度因子和平移因子两个参数。尺度因子的作用是对基本

38、小波进行伸缩。改变则改变小波变换的分析区间。或者等价地说，从时域观点看，改变就改变小波变换的时域分辨率。对于确定的，），由小波变换的内积定义，阡，）反映了信号（，）在基函数（）圭竿上的投影。阡，）一方面反映了附近（）的性质，另一方面它也具有抽取（，）在附近的某一频率成分的能力，因此，小波变换是一个时频联合分析的工具。对小波变换的时频特性小结如下：增加，降低，展宽，时域窗变宽，能够观测更长时间区间，同时矿（盯¨，）变窄，在频域能够观测更窄的频域窗，且频率中心向低频移动。这相当于对于低频情况，小波变换对时间看的粗一些，观看，（）粗貌，对频域看得细一些。“减小，增大，变窄，时域窗变窄，能够

39、观测更短时间区间，同时妒（口）变长春工业大学硕士学位论文宽，在频域能够观测更宽的频域窗，且频率中心向高频移动。这相当于对于高频情况，小波变换对时间看的细些，对频域看得粗一些。这是数学显微镜的能力。由以上分析可以得到小波变换的时频平面的分割。如图所示。图小波变换的时频平面的分辨率示意图由母小波生成的小波。（）在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以）还应满足殷函数的约束条件挑枷一（）故矿（）是一个连续函数。这意味着，为了满足重构条件式，尹（）在原点必须等于，即妒（）广碰净为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件外，还要求小波如）的傅里叶变换满足下面的稳定性条件：彳芝陋叫叫占

40、（岛）砷其中，一。另外。不难比较出连续小波变换与短时傅里叶变换存在如下区别：（）从基函数的角度看，短时傅里叶变换具有正交特性，基函数由连续三角正交基肿构成，由此带来的结果是：在处理非平稳信号时，由于频率成分比较丰富，故利用短时傅里叶变换展开时其系数的能量必然包含很宽的范围；而小波变换则不一定要求其正交特性，基函数也可以取非三角函数，因此，在更宽松的条件下可以取到合适的小波，使得按照小波变换展开时其系数的能量比较集中，这一点对于图像与数据的压缩是相当重要的性质。（）从频率角度来看，小波函数住。（）与短时傅里叶变换中的基函数弦一朋同为带通滤波器组，但是，小波变换对应的带宽是可调的，而短时傅里叶变换

41、对应的带旦长春工业大学硕士学位论文宽是恒定的。（）从时频分辨率的角度看，短时傅里叶变换中当窗口函数给定后，其时间分辨率和频率分辨率在信号的整个时频段为恒定常数，且相空间中的时频窗口是固定不变的。而小波变换可以较好地解决时间分辨率同频率分辨率的矛盾，在信号低频段取高的频率分辨率和低的时间分辨率，而在信号高频段采样则取低的频率分辨率和高的时间分辨率。在相空间中，小波变换对应的时频窗口的面积固定不变，但是，时窗和频窗相对改变。其具体做法是在高频时使用短时窗和宽频窗，而在低频时则使用宽时窗和短频窗。这就是小波变换的自适应分辨分析特性，符合人类对分析非平稳信号特性的要求。连续小波变换是一种线性变换，它具

42、有以下几个方面的性质：（）叠加性设巾），（）空间，为任意常数，且如）的为暇），（）的为，），则）（）（）的为（，）瓦，），（口，）（）（）时移不变性设）的为，（，），则）的为（，）。即延时后的信号（）的小波系数可将原信号“）的小波系数在轴上进行同样时移即可。（）尺度转换设）的，（，），则专】的是厩旧万）五（）即当信号在时域作某一倍数伸缩时，其小波变换在，两轴上也作同一倍数伸缩，形状不变。（）内积定理设。），）空间，它们的分别为阡），阡呵（。，），即，）“而似死（）暇，）一似。）则有内积定理：，胛，）（）（）其中：警。（）自相似性对应于不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是相似的。（）冗

43、余性连续小波变换中存在信息表达的冗余度。长春工业大学硕士学位论文离散小波变换连续小波变换存在信息冗余，我们希望只计算离散位移和尺度下的小波变换值，并通过离散位移和尺度下的小波变换值重构原信号。在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择（，的整数）的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换（），它是离散小波变换（，简写为）的一种形式“。先讨论尺度离散化。目前通用的办法是对尺度按幂级数作离散化。取一个合理的值，使尺度因子只取的整数次幂，即

44、仅取，；，“再看位移离散化。当尺度取（也就是）时，可以某一基本间隔作均匀采样，取位移，各位移为。在时，相应妇。在这些离散位置的小波伸缩平移系构成。如舡妇批，舭。：。如扯。），。（）【这里表示全部整数的集合。离散化小波变换系数则可表示为户。爿学：。玉扣一。）（）盯由公式得到离散尺度和位移处的小波变换缈，）（，（一勋。）（）其重构公式为（）乃，）（）是一个与信号无关的常数。最典型的取值是，则得到小波伸缩平移系为，尹¨）兰一谁一）（）称为二进小波（）。需要强调的是这一离散化都是针对连续的尺度参数和平移参数的，而不是针对时间变量的。二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量。而且二进小波对信号的分析具有变焦的作用。假如放大倍数；其对应观测到信号的某部分的内容。如果想进一步观看信号更小的细节，需要