布拉格定律(Bragg's Law)

1、固態物理許嘉倫（89864002）布拉格定律（Braggs Law）要說明布接格定律，首先就要先從X光的繞射開始說明起。依據原子排列的規則與否可分為晶體（Crystalline）與非晶體兩類（Amorphous）。由於在晶體內部之組成的原子（或分子）是有規則且有順序性的排列在每個平面方向上，即稱為具有高度的週期性。這些結晶物質表現（物理、光學、機械及電學性質）都直接的受到晶體內部原子排列變化的影響。所以我能們說X光的散射能力是取決於原子內的電子數。Friedrich使用了不均勻的X光，對於繞射上就比較難以解釋，最後是由Bragg父子在晶體實驗分析時，從散射的X光分佈情況，認為可以將繞射現象解釋

2、為入射光被晶面反射（鏡面反射），入射角等於反射角。考慮兩個原子平行平面，X光的入射角度為，X光的波長就像被鏡子反射一樣，可以發現其X光的入射角度與反射角度是相同的，如圖上A點，為部份從表面原子被反射的光束，我們將A、C點視為晶格點，假定干擾光束在發生了，兩束光同步進行入射，其入射距離是有所不同的，因此，反射的產生，也會有時間差，一旦波長差是該光線波長的整數倍時，繞射現象將會發生。由圖可知，路徑與的波長就不相同。當必要條件為：要等於波長的整數倍（），因此我們可以推導出：最後，可以得到我們可稱此為布拉格方程式或是常聽到的布拉格定律。【Ref.】1. X光繞射原理及其應用，林麗娟，X光材料分析技術與

3、應用專題，（.tw/AD/ADImages/./TF-XRD001.pdf）。2. 工研院奈米辭典（.tw/dict/index.jsp）。3. LAIDLER、MEISER、ANCTUARY，PHYSICAL CHEMISTRY（FOURTH EDITION）HOUGHTON MIFFLIN。庖立互斥原理（Pauli exclusion principle）當兩個原子接近時，其電荷分佈會逐漸的重疊，以致於改變系統的靜電能。當其距離太接近時，這種重疊的能量會產生排斥的效果，這主要是由於庖立互斥原理（庖立不相容原理）。所謂的electron spin

4、即為在wave function中，得到氫原子時必需去調整。存在兩個eigen-function 與，其滿足正交條件，wave function主要是描述能源與軌道角動量電子，必須包含自旋，所以 total wave function為：Where depending on the electron spin is in the state。對於一個電子而言，依據正交的特性，對於電子自旋是不會影響到spin-less probability density，Whererefers to the spin variables，當更多的電子存在時，其形勢就會有所改變。在量子力學當中，是不能區分相同

5、的粒子，當兩個粒子交換時，其probability density是不會改變的，即。當產生了一個operator時就交換兩個相同的粒子，wave function就會是對稱的或是反對稱的，我們可以把粒子的自旋分為兩類：fermions以及bosons。所以可以把此原理說明成一個原子中沒有任何二個電子具有閜同的四個量子數，即為一個原子中最多只能有兩個電子佔據同一個能態，而且這兩個電子的自旋方向必須是相反的。如果兩個子電子在原子中有相同的，和值時（即有兩個電子在相同軌域中），則必有不同的值。假設存在兩個自旋狀態與，同時也有同樣可以有第二自旋狀態與，則我們可以馬上的看出來當兩個自旋具有相同的狀態時，

6、則是違反anti-symmetrization principle，total wave function為：or所以，此原理表明，當軌域被填入兩個電子之後，其他電子只可以填往其他能階較高的空置軌域（如下圖所示）。【Ref.】1. LAIDLER、MEISER、ANCTUARY，PHYSICAL CHEMISTRY（FOURTH EDITION）HOUGHTON MIFFLIN。2.3.張煥宗、王志傑、邱勝賢、陳振中、曾韋龍，普通化學，東華書局。4. Raymond Chang，General Chemistry/3e，Princeton/Mc Graw Hill原子間的主要鍵結（Primar

7、y Interatomic Bounds）- 離子鍵（Ionic Bounding）、共價鍵（Covalent Bounding）與金屬鍵（Metallic Bounding）離子鍵（Ionic Bounding）：是金屬+非金屬的鍵結法，出現於由金屬與非金屬元素所組成的化合物當中，元素位於週期表的兩端，左邊的金屬元素原子極易捨棄價電子而轉移給陰電性強的非金屬原子，此過程中所有原子都因獲得安定的鈍氣組態，並各自形成陽離子或陰離子。庫侖力（coulombic）是造成陰陽離子互相吸引的力。相互吸引力的原子間距離的函數為：互斥則為：、與都為常數，值的取決在於特定的離子系統，。離子鍵無方向性。離子鍵能

8、相當大，通常在600到1500KJ/mol（38 eV/原子）之間。共價鍵（Covalent Bounding）：是非金屬+非金屬的鍵結法，是由兩個子共同彼此的價電子所組成，以達到安定的電子組態。形成鍵結的二個原子，每個原子至少要分享一個電子，並與對方共用這些價電子。對某特定的原子而言，價電子的數目可決定其共價鍵結的數目。共價鍵具有角度與方向性。原子間的鍵結可能具有部份離子鍵和部份共價鍵。金屬鍵（Metallic Bounding）：是金屬+金屬的鍵結法，存在於金屬材料及其合金當中，金屬材料其子的價電子並不是被特定的任一原子束縛住，而是可以自由地在整個金屬中漂移。自由移動的價電子群可視為屬於整

9、個金屬，在整個金屬內部會成電子海（sea of electrons）或電子雲（electron cloud）。金屬鍵是無方向性的。【Ref.】1.William D. Callister,Jr.，Fundamentals of Materials Science and Engineering/2e，WILEY偶極矩（Dipole moments）所謂的偶極矩可以說明電子的分佈狀態，分子不對稱或是電荷分佈不均勻而產生了偶極矩，根據上圖所示，令為偶極矩，可以得到偶極矩與電荷的關係式為電荷的強度（）與其距離（）的乘積：偶極矩就不存在的情況： 分子結構是以中心點為對稱點 電子的分布均勻【Ref.】1

10、. .tw/rdcweb/lib/h/g_000651.htm2. 3. LAIDLER、MEISER、ANCTUARY，PHYSICAL CHEMISTRY（FOURTH EDITION）HOUGHTON MIFFLIN。布里淵區（Brillouin Zone）布里淵區要從倒晶格開始說起，所謂的布里淵區就是在定義在動量空間當中，倒晶格的原胞，倒晶格的原胞的取法與通常取維格納-賽茲原胞取法相同，在倒晶格空間裡，也就是在或的空間中，任選一個從原點到某一倒晶格點的向量，在向量的中點作一個垂直平面，這個平面就形成布里淵區，可分為第一、第二、第三等等的布里淵區。在個點陣空間當中，從原點出發，不穿越任何布拉格繞射面所能到達的點的集合，亦即倒晶格向量的垂直平面所圍出來的最小體積，就稱為第一布里淵區（如下圖中之1所示）。其他的跟第一布里淵區是相近的，但只是比較複雜而以。第一布里淵區其波向量的值會滿足於下面的式：（如下圖所示）【Ref.】1.http:/phycomp.technion.ac.il/nika/fermi_surfaces.html 2./zh-tw/%E5%B8%83%E9%87%8C%E6%B8%8A%E5%8C%BA