考研数二历年真题(2016-2002)

1、WORD格式2021年考研数学二真题一、选择题1 8 小题每题 4 分，共 32 分1当 x0时，假设 ln (1 2 x) ， (1cosx) 均是比 x 高阶的无穷小，那么的可能取值X围是A(2,) B(1,2)C(1,1)D(0,1)222 以下曲线有渐近线的是 Ay x sin xByx 2sinx Cy x sin1 Dy x2sin 1xx3设函数f ( x)具有二阶导数，g( x)f (0)(1 x) f (1)x ，那么在 0,1 上 A当f ' ( x)0时，f ( x)g( x) B当f ' ( x)0 时，f ( x) g( x) C当f( x) 0时，

2、f ( x)g( x) D当f( x) 0时， f ( x)g( x)4 曲线xt 27,上对应于 t1的点处的曲率半径是yt 24t 110 10(10105 105010025 设函数f ( x)arctan x ，假设 f ( x)xf ' () ，那么 limx2x 0 12113236 设u( x, y)在平面有界闭区域D 上连续， 在 D 的内部具有二阶连续偏导数，2 u且满足0x y2 u2u0 ，那么及y2x 2专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式 Au( x, y)的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； Bu( x, y)的最大值点和最小值点必定

3、都在区域D 的内部； Cu( x, y)的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； Du( x, y)的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上0ab0a00b7 行列式cd等于00c00d A(adbc) 2 B(adbc) 2 Ca2d2b2 c2 Da2d2b2c28设1,2,3是三维向量，那么对任意的常数k, l ，向量1k3 ， 2l 3线性无关是向量1, 2 , 3线性无关的 A必要而非充分条件 B充分而非必要条件 C充分必要条件 D 非充分非必要条件二、填空题此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分. 把答案填在题中横线上1 19x 22x5dx10

4、设f ( x)为周期为 4的 可 导 奇 函 数 ， 且 f '( x) 2( x 1), x0,2 ，那么f (7)11设zz( x, y) 是由方程 e2yzxy2z7 确定的函数，那么dz| 1 14,2 212曲线L的极坐标方程为r，那么 L 在点(r ,),处的切线方程为2213一根长为 1 的细棒位于x轴的区间0,1 上，假设其线密度( x)x 22x 1 ，那么该细棒的质心坐标 x专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式14设二次型f ( x1, x2, x3)x12x222ax1x34 x2x3的负惯性指数是1，那么a的取值X围是三、解答题15此题总分值 10

5、 分x12( e t1)t)dt(t求极限 lim11xx 2 ln(1)x16此题总分值 10 分函数 yy( x) 满足微分方程x 2y2 y'1y' ，且y(2)0 ，求y( x)的极大值和极小值17此题总分值 10 分设平面区域122400 计算xsin(x 2y2 )D( x, y) |xy, x. yxydxdyD18此题总分值 10 分设函数f (u) 具有二阶连续导数，zf (ex cosy) 满足2 z2 z(4ze x cosy)e2x假设x 2y2f (0) 0, f ' (0)0，求f ( u)的表达式19此题总分值 10 分设函数 f ( x)

6、, g( x) 在区间a.b上连续，且f ( x) 单调增加，0g( x)1，证明：xxa xa b ； 10g t dt(),aabg( t )dtb 2af ( x)dxf ( x) g( x)dx aa20此题总分值 11 分设函数 f ( x)x , x0,1 ，定义函数列1 xf1 ( x) f ( x) ， f 2 ( x)f ( f1( x) ， , f n ( x) f ( fn1 ( x),设 Sn是曲线 yf n ( x) ，直线x1, y0所围图形的面积求极限lim nSnn21此题总分值11 分专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式函数f ( x, y) 满

7、足f2( y 1)，且f ( y, y)( y 1) 2 ( 2 y) ln y ，求曲线f ( x, y)0y所成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积22此题总分值11 分1234设 A0111， E为三阶单位矩阵1203 1求方程组 AX0 的一个根底解系； 2求满足 ABE 的所有矩阵23此题总分值 11分111001111002证明 n 阶矩阵与相似11100n2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题 :1 8 小题，每题4 分，共 32 分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .1、以下反常积分中收敛

8、的是 A1 Bln x1xdxdx (C)dx (D)x dx2x2x2x ln x2 e22、函数f ( x)lim(1sin t )xt在 (,) 内t 0x A连续 B有可去连续点 C有跳跃连续点(D) 有无穷连续点专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式x1, x 03、设函数f ( x)cos0) ，假设 f ( x) 在x0 处连续，那么x(0,0, x0 A1(B) 01 (C)2(D) 024、设函数f ( x)在(, ) 连续，其二阶导函数f ( x) 的图形如右图所示，那么曲线 yf (x) 的拐点个数为 A 0 (B)1 (C)2 (D)3专业资料整理WORD格

9、式5、设函数f (u ， v) 满足 f (xy, y )x2y2，那么fxuA1,0(B)0，1C- 1,0(D)0 ,-12222u 1v 1与f依次是v u 1v 1专业资料整理WORD格式6、设 D 是第一象限中曲线2xy1,4 xy1 与直线yx, y3x 围成的平面区域， 函数f ( x, y)在 D 上连续，那么f (x, y)dxdy =D专业资料整理WORD格式1 A2dsin 2142sin 21 C3dsin2142sin 21f (r cos, r sin)dr B2dsin2142sin 21f (r cos, r sin)dr D3 dsin 2142sin 2f

10、(r cos , r sin ) drf (r cos , r sin)dr专业资料整理WORD格式11117、设矩阵 A= 12a，b=d ,假设集合=1,2，那么线性方程组 Axb 有无穷多个解的充14a2d 2分必要条件为 Aa, d(B) a, d(C)a, d(D) a, d8、设二次型f ( x1, x2, x3)在正交变换xPy下的标准形为2 y12y22y32 , 其中 P=(e1,e2 ,e3 ) ，假设Q (e1,e3,e2)，那么 f (x1, x2 , x3 ) 在正交变换x Py 下的标准形为(A) 2y2y2y2(B) 2y2y2y2(C) 2y2y2y2(D) 2

11、y2y2y2123123123123二、填空题：9 14小题 , 每题4分,共 24分 . 请将答案写在答题纸指定位置上.专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式xarctant,那么d2 y9、设3tt3dx2yt110、函数f (x)x2 2x在x0 处的n阶导数 f ( n ) (0)11、设函数f ( x)连续，( x)x2(1) 1，' (1)5，那么f (1)xf (t)dt, 假设012、设函数yy( x) 是微分方程y''y'2 y0 的解，且在x0 处 y(x) 取值3，那么 y(x) =13、假设函数zz(x, y) 由方程ex 2

12、 y 3 zxyz 1 确定，那么dz(0,0)=14、设 3 阶矩阵 A 的特征值为2，-2,1，B A2A E ，其中E为3阶单位矩阵， 那么行列式 B =三、解答题： 15 23 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定位置上. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15、此题总分值10 分设函数 f (x)xln(1x)bxsin x ， g (x)kx2，假设 f ( x) 与 g( x) 在x0 是等价无穷小，求 a, b, k 的值。16、此题总分值10 分设A 0， 是由曲线段y Asinx(0x)及直线 yo, xV1V2D所形成的平面区域，22，分别表示 D

13、绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，假设V1V2，求A的值。得： A817、此题总分值10 分函数f ( x, y) 满足fxy"( x, y )2(y1)ex，fx'( x,0)( x1)ex， f (0, y) y22y ，求f ( x, y)的极值。18、此题总分值10 分计算二重积分()，其中222x xy dxdyD(x, y) xy2, yxD19、此题总分值10 分函数 f (x)1t 2 dtx21 tdt ，求 f ( x) 零点的个数。11x专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式20、此题总分值11 分高温物体置于低温介质中，任一时刻该

14、物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120 C 的物体在20 C 的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至30 C ，假设要将该物体的温度继续降至21 C ，还需冷却多长时间？21、此题总分值11 分函数fx 在区间a，+上具有 2 阶导数， fa0 ， fx0 ， f '' x0 ，设 ba ，曲线 yfx 在点 b, fb处的切线与x 轴的交点是x0，0 ，证明 ax0b22、此题总分值11 分a10设矩阵 A1a1 且A3O .01a(1) 求 a 的值；(2) 假设矩阵X满足*A2AX AXA2E，E为3阶单位阵，求X.2021年全国

15、硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :1 8 小题，每题4 分，共 32 分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .11、当x0时，假设 ln (12x) ， (1cosx) 均是比 x 高阶的无穷小， 那么的取值X围是 A(2,) B(1,2)C(1,1)D(0,1)222、以下曲线中有渐近线的是专业资料整理WORD格式 Ayxsin xB Cyxsin 1Dxyx2sin xy x2 sin 1 x专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式4、曲线xt27,上对应于 t1 的点处的曲率半径是yt 24t1A10B10

16、C10 10D5 105010025、设函数f ( x)arctan x ，假设 f ( x) xf( ) ，那么 limx2x0A1B2C1D13236、设函数u( x, y)在有界闭区域D 上连续，在 D 的内部具有2u02 阶连续偏导数，且满足x y2 u2 u0，那么及y2x2 Au(x, y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 Bu(x, y)的最大值和最小值都在D 的内部取得 Cu(x, y)的最大值在D的内部取得，u(x, y)的最小值在D的边界上取得 Du(x, y)的最小值在D的内部取得，u(x, y)的最大值在D的边界上取得0ab07、行列式a00b0cd0c00d A(

17、 ad bc)2 B(ad bc)2 Ca2d2b2c2 Db2c2a2 d 28、设1,2 ,3为 3 维向量，那么对任意常数k,l ，向量组1k 3 , 2 l 3线性无关是向量组1 ,2,3线性无关的（ A必要非充分条件（ B充分非必要条件专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式（ C充分必要条件（ D既非充分也非必要条件二、填空题：9 14 小题,每题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上 .11.9、2dxx2x 510、设f ( x)是周期为4的可导奇函数，且f (x)2( x1), x 0,2 ，那么f (7)11、设zz( x, y) 是由方程 e2 y

18、zx2y2z7确定的函数，那么 dz 11).4(,2212、曲线L的极坐标方程是r，那么 L 在点(r , ) (, ) 处的切线的直角坐标方程22是.13、一根长为1 的细棒位于x 轴的区间0,1上，假设其线密度 (x)x22x 1 ，那么该细棒的质心坐标 x.14 、设二次型f (x1, x2 , x3 )x12x222ax1x34x2 x3的负惯性指数为1 ，那么a的取值X围是 .三、解答题：15 23 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定位置上 . 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、此题总分值10 分x12(et1) t dt t求极限lim1x2 ln(1

19、1)xx专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式16、此题总分值10 分函数 y y( x) 满足微分方程x2y2 y1y ，且y(2)0 ，求 y(x) 的极大值与极小值.17、此题总分值10 分设平面区域 D(x, y) 1 x2y24, x0, y0 ，计算x sin(x2y2)dxdy .Dxy18、此题总分值10 分设函数 f (u) 具有2阶连续导数，zf (ex cos y) 满足2 z2 z(4zex cos y)e2 x.x2y2假设 f (0) 0 ， f (0)0 ，求 f (u) 的表达式.19、此题总分值10 分设函数 f ( x) ， g(x) 在区间 a

20、, b 上连续，且 f (x) 单调增加，0g( x)1 .xg (t)dtxa ，x a, b ；证明： I0aba a g (t ) dtf (x)dxb IIf (x)g( x) dxaa20、此题总分值11 分设函数 f ( x)x， x0,1 .定义数列1xf1 ( x) f ( x) ，f2 (x)f ( f1 (x) ， f n ( x)f ( fn 1 (x) ，记 S 是由曲线 yf(x) ，直线x 1及 x 轴所围平面图形的面积，求极限lim nSn.nnn21、此题总分值11 分函数f ( x, y) 满足f2( y 1) ，且f ( y, y)( y 1)2(2 y)l

21、n y.求曲线f (x, y)0 所y专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式围图形绕直线y1旋转所成旋转体的体积.22、此题总分值11 分1234设 A 0111 ,E 为 3阶单位矩阵.1203（ I求方程组Ax 0的一个根底解系；（ II求满足AB E的所有矩阵B .23、此题总分值 11 分111001111002证明： n 阶矩阵与相似 .11100n2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题： 18 小题，每题4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . 1设cos x1x sin (

22、x) ，其中(x)，那么当 x0 时，( x) 是2 A比x高阶的无穷小 B比x低阶的无穷小 C与x同阶但不等价的无穷小 D与x等价的无穷小 2设函数yf (x) 由方程 cos( xy)ln yx1 确定，那么 lim nf ( 2) 1nnA2B1C1D2sin x,0 x， F (x)x 3设函数f (x)=f (t )dt ，那么2,x 20 Ax是函数 F (x) 的跳跃连续点 Bx是函数 F ( x) 的可去连续点专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式 CF ( x)在x处连续但不可导 DF ( x)在x处可导11,1xe 4设函数f (x)=(x1)，假设反常积分1

23、f ( x)dx 收敛，那么1,xex ln1x A2B2C20D02 5设zyfxzzf ( xy) ，其中函数可微，那么xyxy A2 yf( xy) B2yf(xy ) C2f (xy) D2 f ( xy)xx 6 设Dk是 圆 域D(x, y) | x2y21在 第 k象限的局部，记I k( yx) dxdy(k 1,2,3, 4) ，那么DkAI10BI20CI30DI40 7设矩阵 A,B,C均为 n阶矩阵，假设 ABC,那么 B可逆，那么专业资料整理WORD格式（ A矩阵 C 的行向量组与矩阵（ B矩阵 C的列向量组与矩阵（ C矩阵 C的行向量组与矩阵（ D矩阵 C 的行向量组

24、与矩阵A 的行向量组等价A 的列向量组等价B 的行向量组等价B 的列向量组等价专业资料整理WORD格式1a1200 8矩阵aba与 0b0相似的充分必要条件为1a1000（ Aa 0,b 2（ Ba 0,b为任意常数（ Ca 2,b 0（ Da 2,b为任意常数二、填空题：9 14 小题，每题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .专业资料整理WORD格式12专业资料整理WORD格式(9)lim(2ln(1x) )x1xx(10)x， 那么 yf (x)设 函 数f ( x)t的反函数xf1( y) 在y0处的导数1 e d t1dxdyy 0(11) 设封闭曲线L 的极坐标方程

25、为r cos3() ，那么L所围成的平面图形的面积66为专业资料整理WORD格式xarctan t(12) 曲线yln1t上对应于 t1的点处的法线方程为2专业资料整理WORD格式(13) y1e3xxe2 x， y2exxe2x， y3xe2 x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件y x 00 yx 01的解为y14设A(aij ) 是 三 阶非零 矩阵 ，| A |为A的 行列 式 ， A ij为 aij的 代数 余子 式， 假设aijA ij 0(i, j1,2,3), 那么 A_三、解答题：1523 小题，共94 分 .请将解答写在答题纸 指定位置上 .解容许写出文

26、字说明、证明过程或演算步骤 . 15此题总分值10 分当 x0时，1cos x cos 2x cos3 x 与 axn为等价无穷小，求n与 a 的值。 16此题总分值10 分1设 D 是由曲线yx3，直线xa(a 0) 及x轴所围成的平面图形， Vx ,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，假设VyVx，求a的值。10 17此题总分值10 分设平面内区域D 由直线x 3y, y3x 及 xy8围成.计算x2 dxdy 。D 18此题总分值10 分设奇函数f (x) 在 1,1 上具有二阶导数，且 f (1)1.证明：I存在0,1，使得 f ( ) 1；II存在0,1，使得 f (

27、) f ( ) 1。专业资料整理WORD格式13专业资料整理WORD格式 19此题总分值11 分求曲线 x3xy y31(x0, y0) 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 20此题总分值11 分设函数 f (x) ln x1，x I求f ( x)的最小值 II设数列 xn满足 ln xn11，证明 lim xn存在，并求此极限.xnn 21此题总分值11 分设曲线 L 的方程为y1 x21 ln x(1 x e) ，42 1求L的弧长； 2设D是由曲线L，直线x1, xe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。 22此题总分值11 分1a01，当 a, b 为何值时，存在矩阵 C 使得

28、AC CAB ，并求所有矩阵设 A, B1b10C 。（ 23此题总分值 11 分22a1b1fx1 , x2 , x3 2 a1 x1 a2 x2a2,b2设二次型a3 x3b1x1 b2 x2 b3 x3，记。a3b3 I证明二次型f对应的矩阵为2TT； II假设,正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型2y12y22。专业资料整理WORD格式14专业资料整理WORD格式2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :18小题 , 每题4 分 , 共 32 分 . 以下每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的 , 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .(1)曲线 yx2x 的渐近线条数()x21(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(2)设函数 f (x)(ex1)(e2 x2)( enxn) ，