九年级数学复习——实数

1、初中数学知识复习第一讲：实数一、实数的分类："正整数''整数J零有理数负整数私限小数或无限循环小数实数八助、分数分数1I负分数无理数无理数.无限不循环小数负无理数I1、有理数：任何一个有理数总可以写成上的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特征。2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如22、3'4;特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001；特定意义的数，如无、sin45°等。3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为

2、相反数。(1)实数a的相反数是-a;(2)a和b互为相反数ua+b=0,a=-b12、倒数：(1)头数a(aw°)的倒数是一；(2)a和b互为倒数uab=1;(3)汪息0没有倒数3、绝对值：a,aa00(1)一个数a的绝对值有以下三种情况：a=<0,aa0=0a,a<<0Y0(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实装的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认，再去掉绝对值符号。4、n次方根(1)平方根，算术平方根：设a>0,称士叫a的平方根，右叫a的算术平方根。(2)正

3、数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。(3)立方根：va叫实数a的立方根。(4)一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。四、实数大小的比较1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。五、实数的运算1、加法：(1)同号两数

4、相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。4 、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数

5、。5 、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。6 、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。四、科学记数法和近似数1 、科学记数法：设|N|>1,则|N|=ax10n（其中1wav10,n为整数）。例：123000=1.23X105-123000=-1.23x1050<|N|<1,则|N|=aX10-n（其中1Wav10,n为整数）。例：0.000123=1.23X10-4-0.000123=

6、-1.23x10-42 、近似数字：注意两点：（1）精确到哪一位；（2）过程比要求精确度多保留一位实数练习题:1 .计算(2)2(2)3的结果是()A.4B.2C.4D.122222352 .下列计算错误的是()A.(2)=2B.事=2&C.2X+3X=5xD.(a)=a3.2008年5月27日，北京奥运会火炬接力传递活动在古城南京境内举行，火炬传递路线全程约12900m,将12900用科学记数法表示应为（)A.0.129X105B.1.29x104C.12.9x103D.129M1024.下列各式正确的是（)A. 3=3 B. 2- = -6C. (3)=3 D._ 0(兀2) =0

7、5 .若 m -3| +（n +2）2 =0 ,则 m + 2n 的值为（ ，2 一一6 .计算（-3）的结果是（）A. -6)A. 4B. -1 C. 0B. 6 C. -9D. 9D. 47 .方程3x+6 =0的解的相反数是（）A. 2 B. 218 .下列实数中，无理数是（）A. J4B. C.-C. 3 D. 31D.-29.估at 68的立方根的大小在（）A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间D.5与6之间10 .一种微生物大小为0.000011370000毫米，0.000011370000用科学记数法表示为()A.1.137107B.1.137108C.0.113710-

8、8D.1.13710-5再心_£_p12211 .在下列实数中，无理数是()A.B.冗C.J16D.第13题图3712 .小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是23,那么小莉的出生日期是（）A.15号B.16号C.17号D.18号13 .如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有214 .若a-2|+Vb-3+（c口）=0,则a_b+c.15 .在函数y=Jx-2中,自变量x的取值范围是.16 .数轴上点AB的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数为.aoa«.T0317 .先找

9、规律，再填数：1,1_1=11,1_1=工1,1_1=A1.1_1=±则，+，_=1122'34212'56330'78456'201120122011>2012.18.已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且|a>|b。化简：a-a+b-b-a&b77。1234万3419.右 a =(一一),4,3、耳c =（）,比较a、b、c的大小。(2)(1)" (-2)3 -3-(-)°9219941994(3) 80.12520.计算(1)(1)3+20-口+<92第二讲：代数式一、代数式1、代数式：用运

10、算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。者一个字母也是代数式。2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。3、代数式的分类：代数式有理式（无理式整式、分式单项式，多项式二、整式的有关概念及运算1、概念（1）单项式：像x、7、2x2y,这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式

11、的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。升（降）哥排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）嘉排列。（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。2、运算（1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“”号，把括号和它前面的“号去掉，括号里的各项都变号。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“号，括到括号里的

12、各项都变号。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。（2）整式的乘除：哥的运算法则：其中m、n都是正整数同底数哥相乘：am.an=am7同底数哥相除：am+a=am'哥的乘方：（am）n=amn生F那1积的乘方：（ab）n=anbn。分式乘方：-一负指数哥：零指数哥：a0=1单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另

13、一个多项式的每一项，再把所得的积相加。单项除单项式：把系数，同底数哥分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2_2ab+b2三、因式分解1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：mambmc=m(abc)(2)运用公式法：平方差公式：a2b2=(a+b)(ab)；完全平方公式：a2±2ab+b

14、2=(a±b)2(3)十字相乘法(pq型)：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(4)分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。(5)运用求根公式法：若ax2+bx+c=0(a=0)的两个根是x1、x2,则有：2axbxc=a(x-x1)(x-x2)3、因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4)最后考虑用分组分解法。四、分式1、分式定义：形如2A的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。B

15、(1)分式无意义：B=0时，分式无意义；BW0时，分式有意义。(2)分式的值为0:A=0,BW0时，分式的值等于0。(3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。(4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。(6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次哥的积。(7)有理式：整式和分式统称有理式。2、分式的基本性质：(1)(M是¥0的整式)；(2)A ：- MB- M(

16、M是#0B勺整式)(3)分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算：(1)力口、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。(2)乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。(3)除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。(即是哥运算)五、二次根式1、二次根式的概念：式子ja(aA0)叫做二次根式。(1)最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。(2)同

17、类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。(3)分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。(4)有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式(常用的有理化因式有：4万与ja；ajb+cjd与ajb-cjd)2、二次根式的性质：/-212-IIa(a0)0):/(1)("a)=a(a之0)；(2)va=a=)；(3)Jab=dar'b(a>0,b>0)；(4)-a(a<0)aa"0，bS3、运算：(1)二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合

18、并同类二次根式。(2)二次根式的乘法：p'b=jab(a>0,b>0)oaa(3)二次根式的除法：的=,b(a之0,b20)二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。代数式练习题:,_,32,22,32,6,61 .计算：(ab)=()a.abb.abc.abd.ab2 .下列计算正确的是()a.a6子a2=a3B.2f1=2c.(3x2)2x3=-6x6d.(九一3)0=13 .下列因式分解错误的是()_222D. x y =(x y)22、.22.2,、Ax_y=(x+y)(xy)bx+6x+9=(x+3)C.x+xy=x(x+y)34 .若2 =3,4y

19、=5,则2 y的值为()A.-55 .化简分式b的结果为()A.1ab b2a bB. -26D. 一5B.1 +-C.1a b21ab b26 .要使 m 9 的值为0,则m的值为（ m2 -6m »97 .估算。27 -2的值（）A .在1到2之间)A . m=3 B , m=-3C. m=t 3D.不存在B.在2至IJ3之间 C.在3至IJ4之间 D.在4至IJ5之间婢 D.史)A. 2nb. 2Vbc. a + bPQ-JM_N-+0123 48 .J2的倒数是（）A.-72B.J2C.9 .若x=ja-Vb,y=<a+Jb,则xy的值为（10 .如图，在数轴上表示实数

20、J15的点可能是（）A.点PB.点QC.点MD.点N11 .下列根式中属最简二次根式的是()A.Ja2+1B.©C.J8D.J2712 .若Vx-1-V1-x=(x+y)2,则xy的值为()A.-1B.1C.2D.333313 .分解因式：2m-8m=.4mn-16mn=1323322-x+x-x=.axy+axy-2axy=.415 .计算：3x31x2=;(y32+y5=,9一216 .当x=时，分式x口的值为0.x2-x-617 .先化简，再求值：（a-2）（a+2）-a（a-2），其中a=-1.22,18 .已知x2-5x=14,求(x1X2x1)(x+1)+1的值19 .当

21、a=J2时，求_42+1的值.a2-1a2aa-120 .先化简，再求值：''a2T1工2,其中a是方程x2+3x+1=0的根.a2-4a42-aa2-2a第三讲：方程和方程组一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程1、一元一次方程(1) 一元一次方程的标准形式：ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，a，0)(2) 一玩一次

22、方程的最简形式：ax=b(其中x是未知数，a、b是已知数，a，0)(3)解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。(4) 一元一次方程有唯一的一个解。2、一元二次方程2(1) 一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(其中x是未知数，a、b、c是已知数，a，0)(2) 一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法(3) 一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。(4) 一元二次方程的根的判别式：=b2-4ac当>0时U方程有两个不相等的实数根；当=0时U方程有两个相等的实数根；当<0时U方程没有实数根，无

23、解；当)0时二方程有两个实数根(5) 一元二次方程根与系数的关系：.一.、一2_.一一.右x1,*2是一元二次万程ax+bx+c=0的两个根，那么：x+x2=_b，xx=2aa(6)以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：x2(x1+x2)x+x1x2=0三、分式方程(1)分式方程的解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊方法：换元法。(2)检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。四、方程组(1)二元一次方程组：Rx+b1y=c1一般形

24、式：?2x+b2y=c2(a1，a2,bl,b2,C1，C2不全为0)解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。(2)三元一次方程组：解法：代入消元法和加减消元法加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。提前学习一一一元二次方程的解法1 .直接开平方法(降次)：满足.咄忌q或G岫止击的形式则用直接开平方法。2 .配方法：移：常数项在等号右边，其余各项在等号左边化：二次项系数化为1配：等号左右两边同时配上一次项系数一半的平方，方程化为(询+n)-=p的形式降：方程化为一解：方程化为dx+h=而，ms41三一而两个一元一

25、次方程，并求出解。适用范围：二次项系数为1,一次项系数为偶数。A=6-4ac方程根的情况适用的求根公式A>01方程有两个不相等的实数根fr+i/fi32aA=iD方程有两个相等的实数根b=小=而D方程无实数根3 .公式法：适用所有一元二次方程，应先将方程化为一般形式ax*+bx+c=0练习：用公式法解下列方程2x2+3x+1=0x22x+1=05x23x+2=04 .因式分解法：利用因式分解将一元二次方程化为（x+m）（x+n）=0的形式第四讲：不等式与不等式组一、不等式与不等式的性质1、不等式的性质：a> b,c 为实数=a+c> b + ca>b, c> 0= ac> bc。a>b, c< 0= ac< bc.（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错2、任意两个实