立体几何点线面的关系及练习题

1、专题一 立体几何立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题§11 点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】1空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：有公共点：相交，记作：a

2、bA，其中特殊位置关系：两直线垂直相交无公共点：平行或异面平行，记作：ab异面中特殊位置关系：异面垂直(2)空间直线与平面：有公共点：直线在平面内或直线与平面相交直线在平面内，记作：aa 直线与平面相交，记作：aa A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交无公共点：直线与平面平行，记作：aa (3)空间两个平面：有公共点：相交，记作：a b l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交无公共点：平行，记作：a b 2空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：

3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行如果两个

4、平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【复习要求】1了解四个公理与等角定理；2理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题【例题分析】例1 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：()E、C、D1、F四点共面；()CE、DA、D1F三线共点 【分析】对于()中证明“E、C、D1、F四点共面”，可由这四点连接成两条直线，

5、证明它们平行或相交即可；对于()中证明“CE、DA、D1F三线共点”，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上证明：()连接D1C、A1B、EFE，F分另是AB，AA1的中点，EFA1B，又A1D1BC，A1D1BC，A1D1CB是平行四边形A1BD1C，EFD1C，E、C、D1、F四点共面()由()得EFCD1，直线CE与直线D1F必相交，记CE D1FP，PD1F 平面A1ADD1，PCE平面ABCD，点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点平面A1ADD1平面ABCDAD，PAD，CE、DA、D1F三线共点【评述】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据：(1)证明多点共

6、面常用公理2及其推论；(2)证明多点共线常用公理3，即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上；(3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内2、证明a，b，c三线交于一点的主要依据：(1)证明a与b相交，c与b相交，再证明两交点重合；(2)先证明a与b相交于点P，再证明Pc例2 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN平面PAD 【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE底面ABCD是平行

7、四边形，M，N分别是AB，PC的中点，MACD，E是PD的中点，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四边形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中点F，连接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc，a，aa，bbg a，g babababab(2)证明线面平行：aabb，aaaaa(3)证明面面平行：a，ba，ag ，g a，b，abA例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求证：A1CBC1 【分析】要证明“线线垂直”，可通

8、过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可证明：连接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，侧面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC1【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化例4 在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过

9、“线线垂直”进行转化证明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc，ababab(1)证明线面垂直：am，anab，b，a，lm，n，mnAa，alaaaa(1)证明面面垂直：a，a例5 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60°，E，F分别是AB1，BC的中点 ()求证：直线EF平面A1ACC1；()在线段AB上确定一点G，使平面EFG平面A

10、BC，并给出证明证明：()连接A1C，A1E侧面A1ABB1是菱形， E是AB1的中点，E也是A1B的中点，又F是BC的中点，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直线EF平面A1ACC1(2)解：当时，平面EFG平面ABC，证明如下：连接EG，FG侧面A1ABB1是菱形，且A1AB60°，A1AB是等边三角形E是A1B的中点，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC练习11一、选择题：1已知m，n是两条不同直线，a ，b ，g 是三个不同平面，下列命题中正确的是( )(A)若ma ，

11、na ，则mn(B)若ma ，na ，则mn(C)若a g ，b g ，则a b (D)若ma ，mb ，则a b 2已知直线m，n和平面a ，b ，且mn，ma ，a b ，则( )(A)nb (B)nb ，或nb (C)na (D)na ，或na 3设a，b是两条直线，a 、b 是两个平面，则ab的一个充分条件是( )(A)aa ，bb ，a b (B)aa ，bb ，a b (C)aa ，bb ，a b (D)aa ，bb ，a b 4设直线m与平面a 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )(A)在平面a 内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面a 垂直(C)

12、与直线m垂直的直线不可能与平面a 平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面a 垂直二、填空题：5在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ABBC，BAC30°，则PC_6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(只要求写出一种条件即可)7设a ，b 是两个不同的平面，m，n是平面a ，b 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn a b nb ma 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题_8已知平面a 平面b ，a b l，点Aa ，Al，直线ABl，直线ACl，直线ma ，mb ，给出下列四种位置：ABm；ACm；ABb ；ACb ，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是_三、解答题：9如图，三棱锥PABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点()求MN的长；()求证：PABC10如