运筹学试的题目及详解

1、一、填空题：每空格2分，共16分1、 线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。2、 在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4,如此说 明如果在该空格中增加一个运量运费将增加 4。3、 “如果线性规划的原问题存在可行解，如此其对偶问题一定存在可行解，这 句话对还是错？令匚4、如果某一整数规划：MaxZ=X i +X2X1+9/14X2W 51/14 -2X1+X2W 1/3X1,X2> 0且均为整数所对应的线性规划松弛问题的最优解为X1=3/2, X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X1进展分枝，应该分为X1W 1和X12。5. 在用逆向

2、解法求动态规划时，fk(sk)的含义是：从第k个阶段到第n个阶段的 最优解。6. 假设某线性规划的可行解的集合为D,而其所对应的整数规划的可行解集合为B,那么D和B的关系为 D包含B7. 下表是制订生产计划问题的一 XLP最优单纯形表极大化问题，约束条件均为型不等式其中X3,X4,X5为松驰变量XbbX1%X4X5X4300-21P 3X4/310-1/302/3X2 :101 :00:-1C-乙00-50-23213问：1写出 B'1 =1/3.02/3001对偶问题的最优解：丫=5，0，23, 0，08. 线性规划问题如果有无穷多最优解，如此单纯形计算表的终表中必然有_某一个非基变

3、量的检验数为0;9. 极大化的线性规划问题为无界解时，如此对偶问题 无解;10. 假如整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X=b不符合整数要求，INTbi是不超过bi的最大整数，如此构造两个约束条件：Xi >INTbi+ 1和Xi < INTbi，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两 个后继冋题。XbbX1关XXX6X121r 10201 :X32/3001104X510:-20116 1Cj-Zj000-40-911.知下表是制订生产计划问题的一 XLP最优单纯形表极大化问题，约束条件 均为“W型不等式其中 X4,X5,X6为松驰变量。问：（1）对偶问题的最优

4、解: 2写出 B-1 =T丫 二(4,0,9,0,0,0)二、计算题60分1、线性规划20分MaxZ=3X 1+4X2"X1+X2W 52X1+4X2W 123X1+2X2W 8X1,X2> 0其最优解为:基变量X1X2X3X4X5X33/2001-1/8-1/4X25/20103/8-1/4X11100-1/41/2c j000-3/4-1/21）写出该线性规划的对偶问题。2）假如C2从4变成5,最优解是否会发生改变，为什么？3）假如b2的量从12上升到15,最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X6,其P6=（2,3,1）T, C6=4该产品是否应该投产？为什么

5、? 解：1）对偶问题为Min w=5y1+12y2+8y3y1+2y2+3y33'y1+4y2+2y3> 4y1,y2> 02）当C2从4变成5时，（T 4=-9/8（T 5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于 0的，所以最优解不变。3当假如b2的量从12上升到15X =9/8 '29/81/4丿由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化 4如果增加一种新的产品，如此P6 =(11/8,7/8 , - 1/4) T(T 6=3/8>0所以对最优解有影响，该种产品应该生产2、运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。共15

6、分7-销地产地B1B2B3产量A159215A231711A 362820销量181216解：初始解为B1B2B3产量/tA1515A1111A181120销量/t181216计算检验数B1b2B3产量/tA513015A-20011A00020销量/t181216由于存在非基变量的检验数小于 0,所以不是最优解，需调整 调整为：B1B2B3产量/tA1515A1111A712120销量/t181216重新计算检验数B1B2B3产量/tA513015A02211A00020销量/t181216所有的检验数都大于等于 o，所以得到最优解3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给 4个互不相关的外商

7、投标者，规定 每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的 承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表 2所示：15 分7一、项目投标者ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317答最优解为：X= 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 总费用为50 4考虑如下线性规划问题24分Max z=-5x1+5x2+13x3 S.t. -X1+X2+3X3< 20t 12x1+4x2+10x3 w 90I X1 , X2, X3> 0 回答以下问题： 1求最优解 2求对偶问题的最优解 3当b1由20变为45,最优解是否发

8、生变化。 4求新解增加一个变量X6, c6=10, a16=3, a26=5,对最优解是否有影响 5C2有5变为6,是否影响最优解。答：最优解为1)Cj-5513009CBXbbX1X2X3X4X50X420-1131020/30X59012410019Cj-Zj-55130013X320/3-1/31/311/30200X570/346/322/30-10/3170/22Cj-Zj-2/32/30-13/3013X3185/33-34/33012/11-1/225X235/1123/1110-5/113/22-68/3300-1/11-1/11最优解为 Xi=185/33,X 3=35/11

9、2) 对偶问题最优解为Y= 1/22,1/11,68/33,0,03)当b仁45时X= 45/11'-1匕/90由于X的值小于0,所以最优解将发生变化4P6 =(3/11,-3/4) T(T 6=217/20>0所以对最优解有影响5当 C2=6=-137/33(T 4=4/11(T 5=-17/22由于T 4大于0所以对最优解有影响5求如下列图的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是Cj , f j 15 分(6,0)6考虑如下线性规划问题20分Max z=3xi+x2+4x3s.t.6xi+3x2+5x3< 93xi+4x2+5x3< 8X1 , X2, X

10、3> 0回答以下问题：1丨求最优解；2直接写出上述问题的对偶问题与其最优解；3假如问题中X2列的系数变为3, 2T,问最优解是否有变化;4C2由1变为2,是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。Cj31400CbXbbX1X2X3X4X5 :0X49635100X5834501Cj-Zj314000X413-101-14X38/53/54/5101/5Cj-Zj3/5-11/500-4/53X11/31-1/301/3-1/34X37/5 n011-1/52/5Cj-Zj0-20-1/5-3/5最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/52)对偶问题为Min w=9y1+8y261

11、+3y2>3J 3y1+4y2> 1 5y1+5y2> 4y1y2> 0对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/53)假如问题中X2列的系数变为3, 2T 如此 P2 =(1/3,1/5) T(T 2=-4/5 v 0所以对最优解没有影响4C2由1变为2(T 2=-1 V 0所以对最优解没有影响7.求如下列图的网络的最大流和最小截集（割集），每弧旁的数字是(5,3)(7,5)V2(5,4)V4解：8某厂I、n、川三种产品分别经过A B C三种设备加工。生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力与每件产品的预期利润见表：inm设备能力（台.h）A111100B10

12、45600C226300单位产品利润（元）10641）建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。（15分）2）产品川每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品川每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。（4分）3）产品I的利润在多大 X围内变化时，原最优计划保持不变。（2分）4）设备A的能力在什么 X围内变化时，最优基变量不变。（3分）5）如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h，预期每件为8元，是否值得生产。（3分）6）如合同规定该厂至少生产10件产品川，试确定最优计划的变化。（3分）解：1建立线性规划模型为：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x 3 w

13、10010x1+4x2+5x 3< 6002x1+2x2+6x3 w 300xj > 0,j=1,2,3获利最大的产品生产计划为:X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6) '(100/3,200/3,0,0,0,100) ' Z*=2200/350/6元，最优计划的2产品川每件利润到20/3才值得生产。如果产品川每件利润增加到变化为：X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6） '（175/6,275/6,25,0,0,0） '*=7753产品I的利润在6,15变化时，原最优计划保持不变。4设备A的能力在60,150变化时，最优基变量不变。5新产

14、品值得生产。6最优计划的变化为：X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6） '（190/6,350/6,10,0,0,60 ）9给出成性规划问题：（15分）Min z=2x 1 +3x 2+6x 3X1+2X 2+x 3 >2-2x 1+x 2+3x 3 <-3xj >0j=1,，4要求：（1）写出其对偶问题。（5分）利用图解法求解对偶问题。（5分）利用的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。（5分）解：1该问题的LD为:MaxW=2y1-3y2y1-2y2 w 22y1+y2 w 3y1+3y2 w 6y1 > 0, y2 w 02) 用图解法求得 LD 的最优解为：Y*=(y1,y2) ' =(8/5,-1/5)' W*=19/53) 由互补松弛定理：原问题的最优解为：X*=(x1,x2,x3) '=(8/5,1/5,0)'10.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点（销地）出售，各-工厂的生产量，各销售点的销售量（单位.t）以与各工厂到各销售点的单位运价（元/t）示于下表中，要求研究产品如何调运才能使总运量最小？（10分）B1B2B3B4产量A141241132A22103920A38511644销量1628282496 96解：最优调运方案为：A