投资额与生产总值和物价指数

1、计量经济学论文板贵顺小组成员：李晓露黄小蓉黄琴 关祖敏（二OO一级金融一班）13投资额与生产总值和物价指数问题为研究某地区实际投资额与国民生产总值（GNP及物价指数的关系，收集了该地区连续32年的统计数据（见表 1）,目的是由这些数据建立一个投资额的模型，根据对未来国民 生产总值及物价指数的估计，预测未来的实际投资额。表1的数据是以时间为序的，称时间序列数据。由于投资额、国民生产总值、物价指数等许多经济变量均有一定的滞后性，比如，前期的投资额对后期投资额一般有明显的影响。 因此，在这样的时间序列数据中，同一变量的顺序观测值之间的出现相关现象（称自相关） 是很自然的。然而，一旦数据中存在这种自相

2、关序列，如果仍采用普通的回归模型直接处理，将会出现不良后果， 其预测也会失去意义，为此， 我们必须诊断数据是否存在自相关，如果存在，就要考虑自相关关系，建立新的回归模型。年份序号投资额国民生产总值物价指数190.9596.70.7167294.7621.20.7199397.4637.70.72774106.5651.80.73115113.5691.10.74366120.4722.60.75647125.7756.00.76768122.8799.00.79069133.3873.40.825410140.8887.80.845611149.3944.00.867912144.2992.7

3、0.914513150.61045.90.935514166.41077.60.960115178.51100.70.973416195.01185.91.000017211.31206.41.021418229.81326.41.057519228.71434.21.150820206.11549.21.257921236.41623.81.284722257.91718.01.323423274.61828.61.356624324.11918.31.400525355.62054.91.452626386.62163.91.504227423.02417.81.634228401.926

4、31.71.784229432.52865.31.790530451.32789.61.810231474.92954.71.951432424.53073.02.0688表1某地区实际投资额（亿元）与国民生产总值（亿元）及物价指数数据基本的回归模型建立一、多重共线性检验1 .建立普通的回归模型。记该地区第t年的投资额为Yt,国民生产总值为 Xit,物价指数为 X2t （以第十六年的物价 指数为基准，基准值为 1）, t=1, 2,，n（=32）。从表1中可以看出，随着国民生产总值的增加，投资额增大，而且两者有很强的线性关系，物价指数与投资额的关系也类似，因此可建立多元线性回归模型：Yt =

5、B 0 + P 1X 1t + 2 2 X 2t + st11）模型（1）中除了国民生产总值和物价指数外，影响Yt的其他因素的作用都包含在随机误差项st内，这里的假设 名t （对t）相互独立，且服从均值为零的正态分布t=1, 2,，n（=32）。（表2 ） 利用Eviews对参数作OLS估计，输出回归结果:Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 06/07/04Time: 22:32Sample: 1 32Included observations: 32VariableCoefficientStd. Errort-StatisticPr

6、ob.C134.732744.652103.0173870.0053X10.3335450.0593655.6185090.0000X2-339.0047113.1687-2.9955690.0056R-squared0.978445Mean dependent var232.7875Adjusted R-squared0.976958S.D.dependent var123.2718S.E. of regression18.71213Akaike info criterion8.785281Sum squared resid10154.17Schwarz criterion8.922694L

7、og likelihood-137.5645F-statistic658.1864Durbin-Watson stat1.216500Prob(F-statistic)0.000000将上述回归结果整理如下：参数估计值 '-0 =134.7327,1 = 0.3335： 2 = -339.0047将参数估计值代入（1）得到(2)Yt = 134 .73270.3335 Xit - 339 .0047 X 2t(3.0174 )(5.6185)(-2.9956)2R 2 = 0.9784 , R = 0.9770 ,F =658 .18642 .分析。由F =658.186 > F

8、 0.05(2,29) =3.33 (显著性水平=0.05),表明模型从整体上看投资额和解释变量间线性关系显著。3 .检验(表3)X1tX2tX1t 1.0000000.997349X2t 0.9973491.000000由表3可以看出，解释变量之间存在高度线性相关。4 .修正(逐步回归法)(1)用OLS方法逐一求出 Y对各个解释变量的回归。A.经分析在两个一元回归模型中投资额Yt对国民生产总值 X1t的线性关系强，拟合程度较好，即Yt = 2.71070.1562 X 1t(0.3360) (32.1384)R2 =0.9718 ,S.E = 21.0524 , F = 1032 .880B

9、.将解释变量X2t代入上式，得 AY t - 134 .73270 .3335 X 1t - 339 .0047 X 2t(3.0174 )(5.6185)(-2.9956)R2 = 0.9784 , S.E =18.7121 , F = 658 .1864(2)由上式中可知 X1t, X2t,截距项对Yt的影响都比较显著，虽然 X2t和X1t间存在共 线性但它们之间的共线性对模型的影响不是很显著，Yt对X 2t和X1t的回归模型已为最优，所以保留原模型中的所有变量，得如下模型：AYt = 134 .73270.3335 X 1t - 339 .0047 X 2t异方差检验：1 .用OLS估计

10、法估计参数(见表 2)。2 .异方差检验：(1)图示法。E2为残差的平方，由 GNE喻令生成。(见图1,图2)400030001X 2000（图1）1000 _0 41r-01000200030002.5E22.01.51.00.5100020003000（图2）E2结论：由上图可以看出，X1与E2; X2与E2关系并不十分密切，可以初步判断该模型可能不存在异方差。(2) Goldfeld-Quandt 检验。将各数据按解释变量的大小顺序排列，然后将排列在中间的 8个数据删除掉，余下的数据分为两个部分。在Sample菜单里，将时间定义为1 12,然后用OLS方法求得下列结果：Yt = 156

11、.14640.31159 X 1t - 350 .0366 X 2t(3.0797 )(5.2902)(-2.8977)22R 2 = 0.9659 e1 = 147 .2631由以上回归可以看出 e e12为147.2631再在Sample菜单里将将时间定义为21-32 ,然后用OLS方法求得下列结果：Y t = 191 ,58790.3241 X it - 358 .6843 X 2t(1.9904)(3.1741)(-1.7901)22R2 : 0.8978e2 = 7200 .1772由以上结果可以看出 e e2为7200.1772求 F 统计量：F = 工 e2 = 7200 .17

12、7 = 48 ,8933 ,2147 .2631e1查F统计表，给定显著性水平为0.05 ,得临界值F 0.05(9,9) =3.18 ,比较F =48,8933 > F0.05(9,9) =3.18,则拒绝H。，表明随机误差显著的存在异方差。(3)ARCH 检验。设ARCH佥验过程的阶数 p=3,运用OLS方法对残差平方 E2进行辅助回归，输出的结果为:Dependent Variable: E2Method: Least SquaresDate: 06/09/04Time: 12:37Sample(adjusted): 4 32Included observations: 29 af

13、ter adjustingendpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C140.4022120.60481.1641510.2554E2(-1)-0.1030310.179031-0.5754930.5701E2(-2)0.2567040.1681781.5263860.1395E2(-3)0.5424450.1784343.0400310.0055R-squared0.347635Mean dependent var349.4096Adjusted R-squared0.269352S.D.dependent var603.97

14、55S.E. of regression516.2660Akaike info criterion15,45856Sum squared resid6663264.Schwarz criterion15,64716Log likelihood-220.1492F-statistic4.440711Durbin-Watson stat1.820320Prob(F-statistic)0.012385从输出的辅助回归函数中得到R 2 = 0.3476 ,从而可以计算出：(n - P ) R 2 = 29 * 0 .3476 = 10 .0804 ，查？ 2 分布表,给定 口 =0.05 ,自由度为

15、P=3,得临界值2 2 0.05 ( 3) = 7.812 2因为(n - P )R 2 = 10 .0804>7_ (3) = 7.81，所以拒绝H。，表明模型中0 . 05随机误差项存在异方差。3 .异方差修正模型对数变换对于变量Yt和Xit, X2t分别用lnY和lnXit,lnX2t取代，则有ln Yt = P 0 + P 1 lnX 1t + p2 ln X 2t + t(3)并对其使用OLS得到以下结果：(表4)Dependent Variable: LYMethod: Least SquaresDate: 06/08/04Time: 15:25Sample: 1 32Inc

16、luded observations: 32VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.LX11.5715110.2442296.4345750.0000LX2-0.8888410.378298-2.3495790.0258C-5.8590481.714789-3.4167750.0019R-squared0.984995Mean dependent var5.316077Adjusted R-squared0.983960S.D.dependent var0.526034S.E. of regression0.066621Akaike info

17、 criterion-2.490531Sum squared resid0.128713Schwarz criterion-2.353118Log likelihood42.84850F-statistic951.8544Durbin-Watson stat0.934445Prob(F-statistic)0.000000可以知道通过对数变换后， 数值之间的异方差大大的变小， 又由检验结果的拟合度可以知道, 该模型拟合效果很好。三、自相关检验：1.用OLS估计方法求模型（3）的参数估计ln Yt = P 0 + P i ln X it + P 2 ln X 2t + 8t（3）从表4可以得到以

18、下估计值ln Yt = -5.85901 .5715 In X it - 0.8888 In X 2t_22- lR = 0.9850 , R = 0.9840 ,F = 951 ,8544从回归结果看，基本模型（3）的拟合度非常之高（R 2 = 0 ,9850 ）,应该是很满意了。但是，这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列。实际上，在对时间序列数据作回归分析时，模型的随机误差项 8t有可能存在相关性，违背了模型关于8t （对时间t）相互独立的基本假设。如在投资额模型中， 国民生产总值和物价指数之外的因素（比如政策等因素）对投资额的影响包含在随机误差项&t中，如果它的影响成为

19、8t的主要部分，则由于政8t可能会出现策等因素的连续性，它们对投资额的影响也有时间上的延续，即随即误差项 （自）相关性。2.自相关性的诊断与模型的改进 （1）图示法。残差et = in Yt 一 in Y t可以作为随即误差项 st的估计值，运用 Eviews可以直接得 到模型（2）的残差et ,同时画出了 et et _1的散点图，能够从直观上判断季的自相关性。（见图3)0.20.10.0-0.1-0.2-0.10.00.10.2-0.2RESID图3 et et _1的散点图从图3中可以看出残差et呈线性自回归，表明随即误差项8t存在自相关。（2） 口吐验。根据表4估计结果，由 DW=0.

20、9344，给定显著性水平 0 = 0.05 ,查Durbin-Watson表，n=32,k'（解释变量个数）=2,得下限临界值dL= 1.309，上限临界值du = 1 .574 ，因为DW统计量为0.9344< d l = 1 . 309 。根据判定区域知，这时随机 误差项存在正的自相关。（3） 相关的修正。广义差分法。:DW:由 DW=0.9344，根据 P = 1 DW，计算出 P = 0.53282GENR DY=LY-0.5328*LY(-1)GENR DX1=LX1-0.5328*LX1(-1)GENR DX2=LX2-0.5328*LX2(-1)(表5)Depend

21、ent Variable: DYMethod: Least SquaresDate: 06/08/04Time: 18:57Sample(adjusted): 2 32Included observations: 31 after adjustingendpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C-3.6026011.125913-3.1997150.0034DX11.8346360.3425735.3554600.0000DX2-1.2998230.509904-2.5491520.0166R-squared0.948592Mea

22、n dependent var2.522311Adjusted R-squared0.944920S.D.dependent var0.242080S.E. of regression0.056814Akaike info criterion-2.806297Sum squared resid0.090380Schwarz criterion-2.667524Log likelihood46.49760F-statistic258.3306Durbin-Watson stat1.665688Prob(F-statistic)0.000000然后再用OLS方法估计其参数，结果为：DY 二 一3.60261.8346 DX 1- 1.2998 DX 2(4)(-3.1997 )(5.3555 )(-2.5492 )R 2 = 0.9486 , F = 358 . 3306 , DW = 1 .6657这是我们发现经用广义差分法后，DW直有明显白提高，DW=1.6657与上述的du =1.574相比，已经不存在