大一数学下学期知识点

1、数学总结第八章 空间解析几何与向量代数、向量1 .概念：既有大小又有方向的量。4 4 42 .线性运算：。1向量的加减：c = a+b数乘：3 .向量与坐标间的一一对应关系r = x,y,z4 .模、方向角、投影模:二1方向角： cos a = j cos P =* cos' = j投影：（向量r在u轴上的投影）prj/或（r）u5.数量积:b cos(a, b)数量积满足交换律、分配律、结合律。6.向量积:s i n (a ,b )、曲线及空间曲线1 .曲面：（1）方程：F （x,y,z） =0（2）几种常见曲面方程圆锥面：z = , x2 y2 cos）旋转单叶双曲面:y2旋转双叶

2、双曲面:22-12 一 1c抛物柱面:=2 px椭圆柱面:2xa2b2"22双曲柱面：与-丫2 =1 a b22椭圆锥面二z人工 a2 b2222椭球面：-2-y2- -2-iabc222单叶双曲面："yr-2=1a2b2c2222xyz双叶双曲面：一22 =1abc22椭圆抛物面：三 三二z a b22双曲抛物面：与一当二za b2 .空间曲线F(x, y,z) =0(1) 一般方程：!G(x, y,z) =0x = x(t)(2)参数方程：y = y(t)z =z(t)(3)空间曲线在坐标面上的投影在xoy面上的投影 消去z彳导H (x, y) = 0H (x, y)

3、=0二投影为i三、平面及空间曲线1 .平面4(1)点法式方程： A(x Xo) +B(y y0) +C(z z0) =0 其中法向量 n =(A,B,C)(2) 一般式方程： Ax+By+Cz + D=0(3 )截距式方程：+ + = 1a b c(4 )两平面夹角： COS日=COS( ni,n2)2.空间直线(1) 一般方程:fA1x+B1y + C1z+D1 =0Ax B2y C2z D2 = 0(2)对称式方程:x -x0 _ y - y0 二 z -z0m n p方向向量s =(m, n, p)第九章多元函数微分及其应用、多元函数的极限及连续性1 .极限：设二元函数f (P) = f

4、(x,y)的定义域为D, P0(x0,y0 )是D的聚点。如果存在常 数A,对于任意给定的正数 名，总存在正数6,使得当点P(x,y卢DAU(p0a)时，都有f (p) A =|f (x, y )A Y君成立，那么就称常数A为函数f (x,y)当(x, y尸(x0, y0 )时 的极限，记作 lim f (x, y) = Ax,y >x),y02 .连续性：设二元函数f (P) = f (x, y)的定义域为D, F0(x0,y0)是D的聚点，且RW D , 如果lim f(x,y) = f (x°, y° ),则称为函数f (x,y近点兄(,丫0 )连续。x,y &

5、gt;x),y0二、多元函数微分法1 .偏导数(1)以二元函数z = f(x, y)为例，如果只有自变量 x变化，而自变量y固定，这函数对x的导数就称为二元函数 z=f (x,y网x的偏导数。函数z= f(x,y )在点(x0,y0 )处对x的偏导数，记作 盘冷,Jlxx , zx ；重，fx之。 exexz(2)偏导函数：z = f (x,y )在区域D内每一点(x, y )处对x的偏导数都存在，记作,二 xfx(x,y )。汗2 .全微分(1) Az = f (x +Ax,y + Ay) f (x, y), Az为全增量。_z a Alx By Oi P二全微分dz = A_x By(2)

6、如果z= f(x,y)在点(x, y可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数名，£z必FxFy定存在，且函数z = f (x, y )在点(x, y )的全微分为 dz = Ax +Ay。：:x 三 y一:z:z .(3)如果函数z = f(x, y)的偏导数一，一在点(x,y),则函数在该点可被分。 fxy3.求导(1)多元复合函数a.一元与多元函数复合如果函数u)及v=w (t )都在点t可导，函数z=f(u,v )在对应点(u,v)具续偏导数，则复合函数 z=f _ t ；- t 在点t可导，且对应点fit,1' tdz；z ；u ；z vJ I=+Odtfu FtA

7、ftb.多元函数与多元函数复合如果函数u=cp(x,y)及v=中(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z= f(u,v)在(u, v )具有连续偏导数，则复合函数f |_中(x, y )W (x, y )!在点(x, y)的两个偏导数z :- z：- u:- z二 v二 z二 z二 u:z:v都存在,jelW = + ,= +, ox 二 u二 x: v二 x二 y二 u二 y二 vcyc.如果函数u =<p(x,y比点(x, y 有对x及对y的偏导数，函数v =中(y)在点y可导，函数z = f(u,v )在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数fp(x,y)W(y)在点(x, y

8、 )的两个偏导数都存在，则：z二 z 二 u:xu ：:x-z _ 二 z 二 u 二 z 二 v-y 二 u 二 y 二 v 二 yd.复合函数的某些中间变量又是复合函数的自变量z= f (u,x,y), u=9(x,y),所以-z汗 ：:u 汗 ：:z 汗 ：:u 汗=1十=1+C ? 0LLLLLLLx二 u二 x二 x二 y二 u二 y二 y4.全微分形式不变性设函数z = f(u,v )具有连续偏导数，u= x, y v =x，zz .dz =du dv u.:v：zz=dx dy:x；:y；z Fu；z jv=( 一 一FuFxA jx)dx+W.:u ；z十.:v(2)隐函数的求

9、导一个方程:F (x, y )=0,dy =dx方程组:.r.cuFxGxFvGvcvFuGuFxGxexFuFvexFuFvGuGvGuGvFyFvFuFycu _GyGvcvGuGyyFuFvFuFvGuGvGuGv则F x,y,u,v =oG x,y,u,v =oFxFy5.几何应用(1)空间曲线的切线与法平面x =邛H ):y = t t: '匕，z=o(t)r的切线为x-xoy - yoz-4' t法平面为 :'t (x-xo) - ' t (y-yo)-' t (z-zo) =0(2)曲面的切平面与法线若为隐式方程F(x,y,z)=。则在点(

10、xo,yo,z )处切平面为 Fx(xo,yo,zo)(x-xo) Fy(xo,yo,zo) y-y0Fz(%,yo,Zo) z-Zo)= O法线为x-xoy - yoz - zoFx(xo, yo,zo) Fy(xo, yo,zo)Fz(x0, yo,z°)若为显式方程z = f(x, y),则在点(%, y oz 0处曲面的法向量为n = fxxo, y o ,fy x ”)o-, ),1由此可算出曲面的切平面方程及发现方程。(3)方向导数与梯度方向导数:甘f (% +tcosa, yo+tcosP )一 f (xo, yo )y d仰t=fx xo，yo cos二fy x

11、76;,yo cos'-其中cosot , cosP为方向l的方向余弦梯度：gradf %,yo )=fx %,y° i fy x0,yo jI Mna 0,yo)=gradf xo，yo ee =(cos： ,cos ：)6.多元函数的机制及其求法(1)极值：f (x,y )Y f (x0,yo )或 f (x,y > f (%,yo )在(x°, y° )的邻域内，点 p(x0,yo )称为函数极值点。设z=f(x,y)在(x0, y0 )具有偏导数，且在点(x0,y0区有极值，则fx xo,yo =fy xo,yo =0设函数z=f(xy在点(

12、%,%)的某邻域内且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(xo,yo)=fy(x0,y0) = 0,令 fxx (xo,yo户 A,fxy(x0,y0产 B,fyy(x0 ,y0尸C, 则f (x,y近(xo,yo )处是否取得极值的条件为:a.若AC - B2 > 0,当A <0时有极大值；当A >0时有极小值b若AC -B2 <0,无极值2b.若AC -B =0,需另作讨论。(2)求法拉格朗日乘数法：引进一个拉格朗日函数L(x,y产f (x,y )+泗(x,y )然后解方程组fx(x,y)+x(x,y)=0* fy(x,y )+心y(x,y)=oRx,y )=0第十章 重

13、积分一i、多重积分1.二重积分 n(1)概念： f x, yd；：=lim Z： f ；,门 L i = f x, y dxdy D0 i IDf (x, y )叫做被积函数，f (x,y )d。叫做被积表达式，da叫做面积元素，x,y叫做积分变量，D为积分区域。(2)应用：平顶柱体体积V= ! f x, y d-D平面薄片质量：m =x, y d；D(3)计算方法：分为两种直角坐标系：当积分区域为D为X型时，即中i(x)WyE%(x),aExWb,则I = f x,y d二Db-2 xf x,y dy当积分区域为 D为Y型时，即中“yjExEHly cEy Ed则f x,y dxd1-2 y

14、I 二 口 f x,y d；二，可”极坐标系：当积分区域为 中“a产pQ(e), « <e <P时，有-2 -I = f x,y d二=. d ” f pcospsinu pdp2.三重积分n(1)概念：f x, y, z dv = lim ' f1力，n, i vj,)0 i 4(2)计算方法：直角坐标系：积分区域C ： 4(x,y >zWz2(x,y),将闭区域C投影到xoy面上得到平面闭区域Dxy, Iz2 x,yz2'= f x,y,z dv 二 d二Dxyz1x,yf x, y,z dzb y2 xz2 x,y=a%、f x'y,zdz柱面坐标：I = f x,y, z dv ： 111 F i