金融风险管理第3章

1、第三章第三章 VaR方法方法13.1 远期与期货的定价远期与期货的定价 一个农民想把他的牛卖掉，若一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格时刻牛价格为为St，如果他签订一个在，如果他签订一个在T （Tt）时刻卖）时刻卖牛的期货合同，在牛的期货合同，在t时刻这个牛期货应该如时刻这个牛期货应该如何定价？若不计其他因素何定价？若不计其他因素若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险利率投资就获得利息。利率投资就获得利息。()r T tttFS e2345例例9.1 假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布均值为200万美元，标准差为1000万美元。 分布的第

2、一个分位数为2-2.3310，即-2130万美元。 对于6个月展望期，在99%置信度下的VaR为2130万美元。6例例 9.2 假定一个1年的项目的最终结果介于5000万美元损失和5000万美元收益之间，5000万美元损失和5000万美元收益之间的任意结果具有均等的可能。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀分布，损失大于-4900万美元的可能性为1%。 对于1年的展望期，在99%置信度下的VaR为4900万美元。7例例9.3&9.4 假定一个1年的项目有98%的概率收益为200万美元，1.5%的概率损失为400万美元，0.5%的概率损失为1000万美元。 在这

3、一累计分布下，对应于99%累计概率的点为400万美元，因此，对于1年展望期，在99%置信度下的VaR为400万美元。 99.9%的置信水平下的VaR为多少呢？ 99.5%的置信水平下又会怎样呢？8例例9.3&9.4的累计损失分布的累计损失分布9VaR与预期损失与预期损失 VaR是为了展示损失会糟成什么样； 预期损失是指当市场条件变糟而触发损失时，损失的期望值为多大（有时被称为条件风险价值度C-VaR；条件尾部期望；尾部损失）； 两个具有同样VaR的投资组合，其预期损失却可能差距非常大； 预期损失计算更为复杂。10相同相同VaR不同期望损失不同期望损失VaRVaR11VaR和资本金和资本

4、金 VaR被监管当局以及金融机构用来确定资本金的持有量。 对于市场风险，监管人员所要求的资本金等于在10天展望期的99%VaR的一定倍数（至少3倍）。 对于信用风险和操作风险，巴塞尔协议中，监管人员要求在资本金计算中采用1年展望期及99.9%的置信区间。12一致性条件的风险度量一致性条件的风险度量 VaR是最好的风险度量选择吗？ 单调性：如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低于另一个交易组合，那么这里的第1个交易组合的风险度量一定要比另一个大。 平移不变性：如果我们在交易组合中加入K数量的现金，交易组合所对应的风险度量要减少K数量。 同质性：假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变

5、，但内含资产的数量增至原数量的倍，此时新交易组合的风险应是原风险的倍。 次可加性：两个交易组合合并成一个新交易组合的风险度量小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和。13VaR与预期亏损与预期亏损 VaR满足以上讨论的前3个条件，但不一定永远满足第4个条件。 预期亏损满足所有4个条件。14例例 9.5&9.7 假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的概率损失1000万美元，同时均有0.98的概率损失100万美元。 每个项目97.5%置信水平下的VaR为多少？ 每个项目97.5%置信水平下的期望损失为多少？ 组合97.5%置信水平下的VaR为多少？ 组合97.5%置信水平下的期望损失为

6、多少？15例例 9.6&9.8考虑两笔期限均为一年，面值均为1000万的贷款，每笔贷款的违约率均为1.25%，当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但我们知道回收率介于0100%的可能性为均等。当贷款没有违约时，贷款盈利均为20万美元。为了简化讨论，假设如果任意一笔贷款违约，另一笔贷款一定不会违约。在99%的置信水平下，每一笔贷款的VaR和预期损失分别为多少？在99%的置信水平下，组合的VaR和预期损失分别为多少？OutcomeProbabilityNeither Loan Defaults97.5%Loan 1 defaults, loan 2 does not defaul

7、t1.25%Loan 2 defaults, loan 1 does not default1.25%Both loans default0.00%16光谱型风险度量光谱型风险度量 VaR对于第X个分位数设定了100%的权重，而对于其他分位数设定了0权重。 预期亏损对于所有高于X%的分位数的所有分位数设定相同的。 权重光谱型风险度量可以对分布中的其他分位数设定不同的比重。 对于满足一致性条件的风险度量，其分位数的权重必须为非递减函数。17正态分布假设正态分布假设 最简单的假设是假定交易组合的价值变化在1天展望期服从正态分布，其组合价值变化的期望值为0。 通过标准差便很容易计算出VaR (1-d

8、ay VaR=2.33s) 一个较长的T天展望期的VaR等于1天展望期VaR的 倍。 银行管理人员的交易管理行为较为活跃，因此对于银行每天计算交易组合的VaR就非常有意义。也经常会计算10天展望期的VaR。 养老基金由于交易行为不太活跃，价值测算往往每个月进行一次。T18独立性假设独立性假设 对于独立同分布的投资组合，T天展望期的方差是1天展望期方差的T倍 如果存在自相关性的影响，其乘数就从T倍增加到1322)3(2)2(2) 1(2TTTTT19自相关性的影响自相关性的影响 当存在一阶自相关性时T天的VaR同一天的VaR的比率。T=1T=2T=5T=10T=50T=250001.01.412

9、.243.167.0715.810.050.051.01.452.333.317.4316.620.10.11.01.482.423.467.8017.470.20.21.01.552.623.798.6219.3520持有期的选择和设定持有期的选择和设定 一般来说，在其他因素不变的情况下，持有期越长，组合面临的风险就越大，从而计算出的VaR值就越大，同时，持有期的选择还对VaR值的可靠性也产生很大影响。 因此，持有期的选择和设定非常重要。 持有期的选择和设定应考虑以下两个因素： 组合收益率分布的确定方式； 组合的市场流动性和头寸交易频繁程度。21VaR参量的选择参量的选择 时间展望期的选取取

10、决于组合的流动性。事实上，银行管理人员通常对市场风险使用1天的展望期，对信用风险和操作风险使用1年的展望期。基金经理通常使用1个月的展望期。 置信水平的选取通常取决于操作目的。对于市场风险通常取99%的置信水平，对于信用风险和操作风险通常使用99.9%。 一家银行要想保持自己的AA信用评级，在内部管理过程中通常就会采用高达99.97%的置信水平。因为在一年展望期内AA信用评级公司只有0.03%的破产可能。22232. 如果远期的标的资产提供确定的红利。假如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为设红利是连续支付的，红利率为q。由于。由于具有红利率具有红利率q，该资产的价格

11、才为，该资产的价格才为St，它，它等价于价格为等价于价格为()()()()()q T tr T tr q T ttttFS eeS e()q T ttS e 的无红利资产。由无红利的资产的定价公的无红利资产。由无红利的资产的定价公式可得式可得24敏感性分析敏感性分析()()()()()q T tr T tr q T ttttFS eeS e()()()()(, )r q T tr q T tttttdF S rdS eS edr注意：注意：（1）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。（2）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。）由于是指数函数，敏感性方

12、程为非线性方程。25例例3.1假设假设2年期即期年利率（连续复利，下同）年期即期年利率（连续复利，下同）为为10.5%，3年期即期年利率为年期即期年利率为11，本金，本金为为100万美元的万美元的2年年3年远期利率协议的年远期利率协议的合同利率合同利率为为11，请问，请问1.理论上理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理远期利率应为多少？该协议利率合理吗？吗？2.该远期利率协议的价值是多少？该远期利率协议的价值是多少？2611% 3 10.5% 212.0%(32)l ls sflsrtrtrtt tstl0A()lsk ttAe()()0()() = 1flslss sflss srttk

13、ttr tkrttr tfAA eeeAee27()()010.5 2(0.11 0.12)(3 2)11,000,00018065.31flss sk rttr tfAeeee由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。远期合约的价值总是从多方的视角来看的！远期合约的价值总是从多方的视角来看的！2

14、83.2 期货合约期货合约远期的组合远期的组合 三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货清算所，逐日盯市将履约期限缩短为清算所，逐日盯市将履约期限缩短为1天。天。 若若7月月1日购买了日购买了1份份83天的期货合约，当日期货天的期货合约，当日期货价格为价格为0.61美元，次日为美元，次日为0.615美元。这等价于美元。这等价于7月月1日购买了一份期限为日购买了一份期限为83天的远期合约，其交割价天的远期合约，其交割价格为格为0.61美元美元7月月2日远期合约以日远期合约以0.615美元被清算，并被一份期限为美元被清算，并被一份期限为82天，交割价格为

15、天，交割价格为0.615美元的新的远期合约所代替。美元的新的远期合约所代替。 思考：思考：远期能否看成是期货的组合？远期能否看成是期货的组合？29讨论：期货与远期的差异讨论：期货与远期的差异 假定一个假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有蒲式耳小麦期货和远期只有3日期限，多方损益日期限，多方损益日期日期期货价格期货价格（元）（元）远期现金流远期现金流期货现金流期货现金流7月月1日日4007月月2日日4.105007月月3日日40-50030讨论：期货与远期的差异讨论：期货与远期的差异1. 如果利率固定，则期货合约和远期合约等如果利率固定，则期货合约和远期合约等价。（价。（CIR定理）定理）2

16、. 如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。考虑例子中，考虑例子中，2日的利息远高于日的利息远高于3日，结果如日，结果如何？何？ 显然，多方偏好期货合约，则期货合约价显然，多方偏好期货合约，则期货合约价值上升，反之则反。值上升，反之则反。31 一般来说，远期与期货存在一定的差异：一般来说，远期与期货存在一定的差异：如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么，如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么，在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可以忽略不计。以忽略不计。随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变随着到期时间的延长，

17、二者价格的差异可能变得比较显著。得比较显著。 若标的资产价格与利率正相关，则期货合约若标的资产价格与利率正相关，则期货合约价值高于远期，反之则反价值高于远期，反之则反利率上升利率上升标的资产价格上升标的资产价格上升多头获利实现多头获利实现（盯市）（盯市）再投资收益增加再投资收益增加利率下降利率下降标的资产价格下降标的资产价格下降期货多头亏损期货多头亏损以低成本融资以低成本融资32CIR定理：期货与远期等价定理：期货与远期等价 CIR定理定理： 如果如果利率固定（利率固定（Constant），那么远期价格与期货价格相同。那么远期价格与期货价格相同。 证明的思路：期货是一连串不断更新的远证明的思路

18、：期货是一连串不断更新的远期。根据无套利定价的原理，可以让远期期。根据无套利定价的原理，可以让远期和期货相互复制。和期货相互复制。 CIR的思路：以期货组合复制远期，由远的思路：以期货组合复制远期，由远期推断期货。期推断期货。远期：到期日结算（中间没有现金流）远期：到期日结算（中间没有现金流）期货：每日结算（每日都有现金流）期货：每日结算（每日都有现金流）33证明：（证明：（by Cox，Ingersoll，Ross）假设期货合约的有效期为假设期货合约的有效期为n天，用天，用Fi表示表示第天第天i末（末（0in-1）的期货价格，）的期货价格，表示表示每天的无风险利率（常数）。不计交易费每天的无

19、风险利率（常数）。不计交易费用，考虑下述投资策略用，考虑下述投资策略1.第第0天末（即合约开始的时候）持有天末（即合约开始的时候）持有e单位的单位的期货多头期货多头2.第第1天末把头寸增加到天末把头寸增加到e23.第第2天末把头寸增加到天末把头寸增加到e34.第第n-1天末把头寸增加到天末把头寸增加到en3435也可以作如下分析：也可以作如下分析： （1）在第）在第0天末（第天末（第1天初）买进天初）买进e单位的期单位的期货货 （2）在第）在第1天末（第天末（第2天初）把头寸增加到天初）把头寸增加到e2，结清上一日的，结清上一日的e单位单位 （3）在第）在第2天末（第天末（第3天初）把头寸增加

20、到天初）把头寸增加到e3，结清上一日的，结清上一日的e2 单位单位 .（n）在第）在第n1天末（第天末（第n天初）把头寸增加天初）把头寸增加到到en单位，结清上一日的单位，结清上一日的e(n-1) 单位单位 。36 尽管VaR可以有效地描述组合的整体风险状况，但对金融交易者来说，可能还远远不够，因为实际中的金融交易者经常要根据市场情况不断地对组合中各资产的头寸进行调整。 这就需要金融交易者进一步了解构成组合的每项资产头寸以及每项资产头寸的调整变化对整个组合风险的影响。 于是，我们将VaR扩展到：边际VaR、增量VaR、成分VaR。边际边际VaR、增量、增量VaR、成分、成分VaR37边际边际V

21、aR、递增、递增VaR及成分及成分VaR 假定一投资组合有若干组成成分，其中第假定一投资组合有若干组成成分，其中第i个成分为个成分为Xi 边际边际VaR 递增递增VaR：一个新的交易的出现或某现存交易的退出：一个新的交易的出现或某现存交易的退出对投资组合的对投资组合的VaR的影响。的影响。 成分成分VaRixVaRiixxVaR38成分成分VaR的性质的性质 资产i 的成分VaR恰好为资产i 对组合VaR的贡献份额，即在一个大的资产组合中，成分VaR等于增量VaR。 投资组合的成分VaR的总和等于投资组合的整体VaR（欧拉定理）。 成分VaR常用于将整体VaR分配到子交易组合，甚至到单一交易中。39VaR的聚合的聚合 同样