中考数学第二轮复习专题最值问题

1、中考数学第二轮复习专题最值8 / 14一、两条线段和的最小值。基本图形解析：(一)、已知两个定点：1、在一条直线 m上，求一点 P,使PA+PB最小;(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线同侧:A、A是关于直线 m的对称点。A2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB 最小。(1)两个点都在直线外侧：APQ(2)一个点在内B侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:Q B练习题：1 .如图，正方形 nABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.则 PB+PE的最小值是2.如图，O O的半径为 2,点A、B、C 在O O 上，OA OB, / AOC=60 , P

2、是 OB 上一动点，则PA+PC的最小值是3 .如图，在锐角 ABC中，AB=42, / BAC = 45 , / BAC的平分线交 BC于点D, M、N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM + MN的最小值是 .第1题第2题第3题第4题4 .如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC=90, AD / BC, AD = 4, AB=5, BC=6,点P是AB上一个动点，当 PC+PD的和最小时，PB的长为 5 .如图，MN是半径为1的。O的直径，点 A在O O上，/ AMN = 30, B为AN 弧的中点，P是直径 MN上一动点，则 PA + PB的最小值 为.第5题6 .已知A(-2, 3

3、), B(3, 1), P点在x轴上，若PA+PB长度最小，则最小值为 若PA-PB长度最大，则最大值为 .(4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A、B位于直线 m,n的内侧，在直线 ADEB周长最短，则最短周长D、E点，使得围成的四边形变式二：分别上求点P、已知点 A位于直Q点PA+PQ+QA周长最短.n、m分别上求点m,n的内侧，在直线m、 n练习题:1 .如图，/ AOB=45 , P 是/ AOB 内一点，PO=10, OB上的动点，则 PQR周长的最小值为 .2 .如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A(2,1)设M, N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样

4、的点Q、R分别是OA、B(4,一M(m, 0) , N(0 , n),使四边形 ABMN的周长最短？若存在，请求出 m =, n = (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.2 -1 口口中考赏析：1 .著名的恩施大峡谷（ A）和世界级自然保护区星斗山（ B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为 P） , P到A、B的距离之和Si=PA+PB,图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是 A,连接BA交直线X

5、于点P） , P至IJA、B的距离之和S2=PA+PB.（1）求Si、S2,并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区 P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最 小.并求出这个最小值.C2.C如图，抛物绊y匕x2x+3和通由的将道为A? M为OA断中点，若*动点 P,自M点处出发，沿直线澧到l）x轴上的某点（设勾点力E）,“沿直线运动至爆:以扬线对称轴上的某点（设为点F）,最后又沿直线运动到点 A,求使点P运小的总路程最短的点 E

6、,点F的坐标，并求出这个最短路程的长.中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：（二）、一个动点，一个定点:（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小（在图2、两点在直线同侧:PA+PB最小(在图中画出点 P和点 1、点与圆在直线两侧：点在圆上运动在O O上运动，在直B)直线同侧:A.P-mB: mP、Q是直线 m(三)、已知A、B是两个定点,m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两 点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)(1)点A、B在直线m两侧：PQ长，连接BC,A*mBBAC=45 , / BAC过 A点作

7、AC / m,且AC长等于交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。(2)点A、B在直线m同侧：m P Q 练习题2、 如图1,在锐角三角形 ABC中，AB=4夕，/的平分线交BC于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN勺最小值为角形 ABC 中3 、 如图， 在锐角三AB=,/ BAC=45 , / BAC的平分线交AB上的动点，则 BM+MN的最小值为 BC于D, M、N分别是AD和边上的中线,M是AD上的4、如图4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC动点，E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM勺最小值/A=120，点 P, Q, K 分别为7

8、、如图 5 菱形 ABCD43, AB=2, / BAD=60 , EAC上的一个动点，则 PE+PB的最小值为是AB的中点，P是对角线10、如图，菱形 ABCD 中，AB=2 ,线段BC, CD, BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.则 PB+PE的最小值是12、 如图6所示，已知正方形 ABCD勺边长为8,点M在DC上，且DM=2 N是AC上的一个动点，则 DN+MN勺最小值为.13、如图，正方形 ABCD的边长是2, / DAC的平分线交 DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的 动点，则DQ+PQ的最小值为.

9、14、如图7,在边长为2cm的正方形 ABCD中，点Q为BC边的中点，点 P为对角线 AC上一动点，连接PB PQ则 PBQW长的最小值为 cm.(结果不取近似值).15、如图，O O的半径为 2,点 A、B、C在O O上，OAXOB, / AOC=60, P是 OB上一动点，则 PA+PC的最小值是.11 / 14016、如图8, MN半彳至为1的。的直径，点 A在。0上，/ AMN= 30 , B为AN弧的中点，P是直径MN 上一动点，则 PA+ PB的最小值为()(A)2(B).(C)1(D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数 v=K (kw0)在第一象限的图象交于A

10、点，过A点作x轴的垂线，垂足为 M已知三角形OAM勺面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PBM小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0 的二根 xi , x2 (xiX2)是抛物线 y=ax 2+bx+c与x轴的两个交点B, C的横坐标，且此抛物线过点A (3, 6).(1)求此二次函数的解析式；二|(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与 AC相交于点 Q,求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点 M,当MQ+MAX得最小值时，求M点的坐标.A6)3、如图10,在平面直角坐标系

11、中，点 A的坐标为（1,百）,AOB0勺面积是看.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、。B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使AOC勺周长最小？若存在，求出点 C的 坐标;若不存在，请说明理由；4.如图，抛物线 y=x求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; 当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求 在抛物线的对称轴上取两点P、Q （点最小，求出P、Q两点的坐标.-x+3和y轴的交点为 若有一动点P,自M点处出发，沿直线运动到A, M为OA的中点, x轴上的某点（设为点E）,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F）,最后又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最

12、短的点 E,点F的坐标，并求出这个最短路程的长.(1)(2)(3)CF的长；Q在点P的上方），且 PQ = 1,要使四边形 BCPQ的周长19 / 14是x轴上的两个动点，则当 a为何值时，四边形6.如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A(2, 3) , B(4, 1)若C(a, 0), D(a+3, 0)ABDC的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中，矩形 MCE的顶点o在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半 轴上，OA=3 OB=4 D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，当 CD印周长最小时，求点 E的坐标；值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基

13、本图形解析：1、在一条直线m上, (1)点A、B在直线求一点P,使 m同侧：PA与PB的差最大;延直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三 一PBVAB,而PA PB=AB此时最大，因此点(2)点A、B在直线m异侧：P为所求的点。- m长AB交边，PA(2)若E、F为边OA的两个动点，且 EF=2,当四边形CDEF勺周长最小时，求点 E、F的坐标.解析：过B作关于直线 m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PBPA-PB最大值为AB.练习题1 .直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点 A (4, -1)、B (3, 4)的距离之差最大，则 P点的坐标是2 .已知A、B两个村庄的坐

14、标分别为(2, 2) , (7,4), 一辆汽车(看成点 P)在x轴上行驶.试确定 下列情况下7车(点 P)的位置：(1)求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？(2)汽车行驶到什么点时，到 A、B两村距离相等？O p汇3.如图，抛物线y=- x2-x+ 2的顶点为A,与y轴交于点B.求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA- PB WB ;(3)当PA- PB最大时，求点 P的坐标.4.如图，已知直线与y轴交于点 A,与x轴交于点D,抛物线y=2+ bx+ c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1, 0).(1)求该抛物

15、线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM MC|的值最大，求出点 M的坐标.5、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(4, 1)和(一2, 5);点P是y轴上的一个动点,点P在何处时，PA+ PB的和为最小？并求最小值。点P在何处日I PA-PB I最大?并求最大值。6.如图，直线y=x+2与x轴交于点C,与y轴交于点B, 点A为y轴正半轴上的一点，O A经过点B和点O,直线BC 交。A于点D.(1)求点D的坐标；(2)过O, C, D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标.若不存在，请说明理由.P,使线段 PO与PD之差的值最7、抛

16、物线的解析式为交x轴与A与B,交y轴于C,P,使APC周长最小，若存在，求其坐标。在其对称轴上是否存在一点在其对称轴上是否存在一点Q,使I QB QC I的值最大，若存在求其坐标。8、已知：如图，把矩形 OCBA放置于直角坐标系中， OC=3, BC=2,取AB的中点 M ,连接 MC,把 MBC 沿 x 轴的负方向平移 OC 的长度后得到 DAO .(1) 试 直 接 写 出 点 D 的 坐 标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P作PQ，x轴于点Q,连接OP.若以 O、 P、 Q为顶点的三角形与DAO 相似，试求出点 P的坐标；试问在抛物线的

17、对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大？kl s9、如图，已知抛物线 Ci的解析式为y=-x 2+2x+8,图象与y轴交于 D 点，并且顶点 A 在双曲线上.(1) 求 过 顶 点 A 的 双 曲 线 解 析 式； (2)若开口向上的抛物线 C2与。的形状、大小完全相同，并且 C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C2一定经过A点；(3)设(2)中的抛物线 C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于 E点，当D O E、F四点组成M使|MD-MP|的值最大.的四边形的面积为 16.5时，先求出P点坐标，并在直线 y=x上求一点(2)若抛物线与x轴的另一交如图，已知1)点为C ,

18、抖蚪云找.-求 此 抛求点C关于直线经过 A(3 , 0) , B(0 , 4),物 线 解 析 式AB的对称点C的坐标(3)若点D是第二象限内点，以物线的对称轴上是否存在一点一点D为圆心的圆分别与 x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H,问在抛P,使得|PH PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。好题赏析:原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求 PA + PB + PC的最小值.例题：如图，四边形 ABCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意 一点，将BM绕点B逆时针旋转604到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：AMBE

19、NB;(2)当M点在何处时，AM + CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；(3)当AM+BM+CM的最小值为+ 1时，求正方形的边长.变式：如图四边形 ABCD是菱形，且/ABC = 60, ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60 得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是( )若菱形ABCD的边长为1,则AM+CM的最小值1;工A AMB0ENB;二 、./ XIS四边形AMBE=S四边形ADCM ;连接AN,则ANBE;?T/当AM + BM + CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2.A.

20、B.C. SC三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知 的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到 线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在 ABC中，/ C=90 , AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上，当点 A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是()A.Ay12 -1 -I_ L-2-1D O 1234 5s1*52C.D. 62、已知：在AB阱，BC=a, AC=h以AB为边作等边三角形 ABD.探究下列问题：(1)如图1,当点D与点C位于直线 AB的两侧时，a=b=3,且/ ACB=60 ,则CD=;