2019年普通高等学校春季招生考试数学试卷(北京、安徽卷)理(附解答)

1、2019年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1至 2页.第II卷3至8页,共150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）注意事项1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上.2,每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数和差化积公式凸 m日十平 日中sin sin = 2sincos22m日+中 e -Psin ? - sin =

2、2 cossin22c g日+中 8 邛cos? cos =2coscos22日+中 Q _Cpcos? - cos - -2sinsin22正棱台、圆台的侧面积公式C 1.&侧=2 c c l其中c'、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式1 .-V台体=-S SS S h其中S'、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共14小题；第（1） （10）题每小题4分，第（11）(1)复数 z1=3+i,z2一（14）题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.= 1-i,则z = z1 2在复平面内的对应点

3、位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2） 设全集 I =Q b,c,d,e）集合 M =Qc,dl N =4,d,e那么 M c n 是(B) Q(C) a,c(D) b,e22(3)双曲线4=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 b a(A) 2(B) 73(C)2(D)-(4)曲线xy=1的参数方程是x = sina, (B)x = tga, y = ctga.y = cs8./、 x=cosa, y =seca.(5) 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之 比是(A) 1:3(B) 2:3(C) 1:2(D) 2: 9(6)

4、直线a=a和直线Psin® - a )= 1的位置关系是(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)重合(7)函数 y =lg x(A)是偶函数，在区间(-毛0)上单调递增(B)是偶函数，在区间(-吗0)上单调递减(C)是奇函数，在区间上单调递增(D)是奇函数，在区间上单调递减(8)从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“ qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有(A) 120个(9)椭圆短轴长是(B) 480个2,长轴长是短轴的(C) 720个(D) 840个2倍，则椭圆中心到其准线距离是(A) 8J5(B) 46(C) 8向 (D) £)3

5、55331(10)函数y =1的最大值是2 sin x cosx(A) - -1(B) +1(C) 1 -(D) -1- -2222(11)设复数乙=2sin日+i cos日f <0 <在复平面上对应向量OZ1 ,将OZ1按<42；r r一 r , r 、，、，.， Q 一 r，1'"顺时针方向旋转一 n后得到向重OZ2 , OZ2对应的复数为z2 = r（cos中+ i sin平）,4则 tg ：=(A)出力(B) 2(C)(D)2tgi -12tgl 12tgl 12tgi -1（12）设5 P是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是(A)

6、 tgatgP <1(C) cos a +cos P > 1(B) sin a +sin P < J21(D) 2tg +P)<tg2-(13)已知等差数列an 满足a1 + a2 + a3+ a101 = 0,则有(A)a1 +a01 a0(B)a2+a10o<0(C) 23+299=0(D) a51 =51&4(14)已知函数f (x )= ax3 +bx2 +cx +d的图象如 右图，M(A) bw(-0)(B) bw(0,1)(C)b w (1,2)(D) bw (2尸)2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数 学（理工农医类）第II卷

7、（非选择题共90分）注意事项：1 .第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中,2 .答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上(15 )函数2 二y = c o s x + 的取小正周期是 ,34（16）右图是一体积为72的正四面体，连结两 个面的重心E、F,则线段EF的长是r i 100(17) ：VX锵J展开式中的常数项是(18)在空间，下列命题正确的是 (注：把你认为正确的命题的序号都填上)如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a / b如果两条直线a与平面P内的一条直线b平行，那么a / P如果直线a与平面P内的一条

8、直线b、c都有垂直，那么a ± P如果平面P内的一条直线a垂直平面V ,那么P ± V三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤(19)(本小题满分12分)在AABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.证明:2,2a - bsin A - BsinC(20)(本小题满分12分)1在直角梯形 ABCD 中，/ D=/BAD=90 , AD=DC= AB=a (如图一).将ADC沿AC折起，使D至I D'.记面ACD'为a ,面ABC为P ,面BCD'为 f(I)若二面角a _ AC P为直二面角(如图二),求二面角

9、P _BC -¥的 大小；(II)若二面角aAC-P为60 ：(如图三)，求三棱锥D'-ABC的体积.(21)(本小题满分12分)设函数 f(x)=lgx ,若 0<a<b,且 f (a )> f(b ),证明：ab<1.(22)(本小题满分12分)如图，设点A和B为抛物线y2 =4px(p )0止原点以外的两个动点，已知 OALOB, OMLAB.求点 M 的轨迹 方程，并说明它表示什么曲线.(23)(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/kW.h,年用电量为akW.h本年度计划将电 价降到0.55元/kW，h至0.75元/kW h之间，而用

10、户期望电价为0.4元/kW.h经测 算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系 数为K)该地区电力的成本为0.3元/kW，h.(I)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y与实际电价x的函数关系(II)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注：收益=实际用电量x (实际电价-成本价)(24)(本小题满分14分)二一 一 1 7 f x , x u P 一,一，一，2 J已知函数f x =-f2 x,x J,在下面坐标系上画出y=f(x )的图象; ,“一 ，1 f 一其中 fg=-2 x-十 1, f2 x = 2x + 2

11、.(II)设 y = f2(xKM!的反函数为 y 二 g x , a 二1,a2= g(a1)，<2an = g(an4 ,求数列Qn1的通项公式，并求？亶2门；的若X0"°,小f (x0 , f (x1)= Xo ,求 Xo.2000年普通高等学校春季招生考试(北京、安徽卷)数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解 法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和

12、难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过 该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再 给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基础运算.第(1) ( 10)每小题4分，第(11) ( 14)题每小题5分，满分60分.(1) D(2)A(3) C(4) D(5)C(6) BB(8) B(9) D(10)B(11) A(12)D(13) C(14) A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.(15)(16) 2<2(17) 210(1

13、8),三、解答题(19)本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函 数简单的变形技能.满分12分.证明：由余弦定理a2 =b2 c2 - 2bcco A,b2 = a2 +c2-2acco B,3 分a2 - b2 = b2 - a2 - 2bccos A 2accos B22a - b acoB-bcosA八八整理得一2一 = 6分cca s i nA b s i rB八八依正弦定理，有=，=,9分c s i nC c s i iC2, 2a -bs i nAco B -s i iBco A二2=cs i nc= SinA - B)12 分s i iC(20)本小题主要考

14、查空间线问关系，及运算、推理、空间想象能力.满分12分.解：(I)在直角梯形ABCD中，由已知，DAC为等腰直角三角形，AC = ,2a,. CAB =45过 C 作 CH LAB ,由 AB=2a ,可推得 AC=BC= 2a. ACXBC2 分取AC的中点E,连结DE ,则 DE LAC又 v二面角aAC - P为直二面角，DE ± P又 丁 BC匚平面PBC± DEBC±a ,而 DCua,BC ± D C4 分/D'CA为二面角0 BC-尸的平面角.由于/DCA = 45 二,二面角P-BC-为45：6分(II)取AC的中点E,连结DE,

15、再过D'作D'O_LP ,垂足为O,连结OEv AC ± D E , AC± OE丁. /DEO为二面角a-AC-P的平面角，D EO = 60.1-2在 RtADOE 中，DE =AC = Ja , 22一 1 , , VD SBC SBC 'D O ,31 1 _ _=-1 AC BC D O3 21 2a .2a -6 a 646 312分二a .12(21)本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析 问题解决问题的能力证明：由已知< 0 <a <b,J两分12分.f(x)=|lgxlg x, (1 w x

16、 C -)-lg x, (0 < x < 1.a、b不能同时在区间h,")上，又由于0 < a < b ,故必有aw (0,1);6分若b，0,1 ),显然有ab<18分若 bw 1,y),由 f (a ) f(b)>0,有-lg a - lg b > 0 ,故 lg ab < 0 ,ab <1.12 分(22)本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基 本方法以及方程化简的基本技能.满分12分.解：如图，点A, B在抛物线y2=4px上,2 22设 AlTyJBfep,yB,OA、OB的斜率分别为“a、k&#

17、176;B，2分OA 二普金,kOB小y A、ay4p由 OALAB,得 Qa koB =16p-=14分NaVb依点A在AB上，得直线AB方程/2、y a(yA+yB 1y -yA)=4p x 一 一 ,6 刀、4P J由OM，AB ,得直线OM方程 y = yA +yB x 8分-4P设点M(x,y ),则x,y满足、两式，将式两边同时乘以 ,并利 4P用式整理得-x-y2A + yyA(x2 + y2 )= 0. 10分4P由、两式得-YaYb - x2 y2 =0. 4p由式知，YaYb=-16p2.22x y - 4 Px = 0因为A、B是原点以外的两点，所以x#0.所以M的轨迹是以(2p, 0)为圆心，以2P为半径的圆，去掉坐标原点.12 分(23)本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分k解：(I):设下调后的电价为x兀/kwh,依